2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺之选择压轴题（苏科版）（含答案解析）

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1、2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺选择压轴题姓名：_ 班级：_ 学号：_考点一、一元二次方程的解1（23-24九年级上江苏扬州阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+3+m）2+b=0的解是（）A-1或-4B-2或1C1或3D-5或-22（23-24九年级上江苏盐城期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解为（）A2B2C-2或2D以上都不对3（21-22九年级上江苏苏州期中）若关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+

2、2k+2=0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（）Ak0Bk0Ck-1Dk0考点二、关于一元二次方程的代数式求值4（23-24九年级上江苏连云港阶段练习）若a是方程x2+3x-1=0的一个根，则a2+3a+2022=（）A-2021B2023C2021D20225（2023浙江模拟预测）若a，b满足，且，则的值为（）ABCD6（23-24九年级上江苏宿迁阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（）ABCD考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系7（24-25九年级上江苏苏州阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（）A4B5C6D78（23-24八年级下浙

3、江期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程不可能有两个异号的实数根；当时，方程的两个实数根不可能都小于1其中正确的个数是（）A0B1C2D39（2024湖北二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（）A或1B或0CD110（2024江苏无锡一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（）A1BC3或D1或考点四、一元二次方程的结论判断问题11（24-25九年级上江苏泰州阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：若，则；若c是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）ABCD12（2024江苏宿迁

4、三模）关于x的一元二次方程有以下命题：若，则若方程的两根为和，则若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；若是该方程的一个根，则一定是的一个根其中真命题的个数（）A4B3C2D113（23-24八年级下浙江杭州期中）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（）若，则有两个相等的实数根；存在三个实数，使得；若与方程的解相同，则ABCD14（23-24九年级上江苏宿迁期中）对于一元二次方程，有下列说法：若，则方程必有一个根为1；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若c是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）A只有B只有C只有D只有15（2

5、3-24九年级上江苏连云港阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则，其中正确的（）A只有B只有CD只有考点五、一元二次方程的实际问题16（22-23九年级上江苏南京阶段练习）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）ABCD17（2024安徽马鞍山三模）俗语有云：“一

6、天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）ABCD18（2024黑龙江佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件若日利润保持不变商家想尽快销售完该款商品每件售价应定为多少元（）A45B50C55D6019（23-24九年级上山东德州期中）如图，在中，动点P从

7、点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（）ABCD20（2024四川达州模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹大禹依此治水成功，遂划天下为九州又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入尚书中，名洪范易系辞上说：“河出图，洛出书，圣人则之”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入33的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（）A

8、或B1或C或4D1或4考点六、求圆中的最值问题21（2024山东日照二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（）A27B10C23D3222（23-24九年级上浙江宁波阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（）A9BCD23（22-23九年级上江苏镇江阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以C-2,0为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（）ABCD24（2024江苏苏州

9、中考真题）如图，矩形中，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（）ABC2D125（23-24九年级上江苏扬州阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（）ABCD考点七、垂径定理求线段的长26（24-25九年级上江苏泰州阶段练习）已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上若半径是5，则弦的长度为（）A6B7C8D927（21-22九年级上江苏常州期中）如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分

10、，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（）A8B12C16D1828（23-24九年级上江苏南通期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（）A3个B4个C5个D6个29（2024九年级上江苏专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（）A2个B3个C4个D5个30（2024江苏宿迁二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（）ABCD考点八、圆的有关性质及

11、计算31（24-25九年级上江苏南京阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，则的长为（）A2B3CD32（23-24九年级上江苏无锡期中）如图，是的内接三角形，D是边上一点，连接并延长交于点E若，则的半径为（）ABCD33（2024九年级上江苏专题练习）如图，在中，为的切线，为切点，则和的面积之比为（）ABCD134（23-24九年级下江苏南京阶段练习）如图，点C是以为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），且，若，整数m的值为（）A7B5或6C6或7D5或6或735（24-25九年级上湖南长沙阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论

12、：；若点G为的中点，则；连接，若，则；其中一定正确的个数是（）A4B3C2D1考点九、点与圆的位置关系36（2024湖南衡阳一模）如图，在中，是边上的高，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（）A点D在圆C上，点A，B均在圆C外B点D在圆C内，点A，B均在圆C外C点A，B，D均在圆C外D点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上37（2024河北保定二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（）A4B7C11D15考点十、利用直线与圆的位置关系求半径的范围38（23-24九年级下河南周口开学考试）如图，为等边三角形的高，点O在

13、的延长线上，且，的半径为1，若将绕点C按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A3 次B4 次C5 次D6 次39（2024河南许昌二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D是上的一动点当点D到弦的距离最大时，点D的坐标是（）ABCD40（2024山东菏泽一模）在直角三角形中，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（）ABCD考点十一、切线的性质与判定41（23-24九年级上江苏常州期中）如图，在中，以为直径的交于点D过点C作，在上取一点E，使，连接对于下列结论：；为的切线；，其中一定正确的结论是（）ABCD42（2022河北石家庄

14、一模）如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）A甲、乙两人的作法都正确B甲、乙两人的作法都错误C甲的作法正确，乙的作法错误D甲的作法错误，乙的作法正确43（2019江苏常州二模）如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点DDFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E给出下列4个结论：CECF；ACBEDF；DE是O的切线

15、；其中一定成立的是（）ABCD考点十二、切线长定理的综合44（2024湖北武汉模拟预测）如图，在中，为中线，若，设与的内切圆半径分别为，那么的值为（）ABCD45（23-24九年级上云南玉溪期末）如图，的内切圆与，分别相切于点，且，则阴影部分（即四边形）的面积为（）ABCD46（2023浙江杭州二模）如图，点为的内心，点，分别为，上的点，且甲、乙两人有如下判断：甲：乙：当时，的周长有最小值则下列说法正确的的是（）A只有甲正确B只有乙正确C甲、乙都正确D甲、乙都错误47（2023山东济南三模）如图，已知中，内切圆半径为，则图中阴影部分面积和是( )ABCD考点十三、三角形的内心与内切圆48（24

16、-25九年级上江苏南通阶段练习）如图，在中，点在边上，过的内心作于点若，则的长为（）A8B9C10D1149（2024四川南充三模）如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，与交于点，与交于点，为的直径若，则的长为（）A2B3CD50（22-23九年级上江苏镇江期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（）ABCD51（22-23九年级上山东聊城期末）如图，在直角坐标系中，以点O为

17、圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（）A，)B(，)C(，)D，)考点十四、三角形的外接圆及外心52（2024江苏镇江一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（）ABC4D53（23-24九年级上江苏宿迁阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）AcmBcmCcmDcm54（23-24九年级上广西柳州阶段练习）在中，点P在射线上上运动，连接，

18、交的外接圆于点D，则的最小值为（）A2B4CD55（2024浙江模拟预测）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F设，若，则（）ABCD56（23-24九年级上江苏无锡期中）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（）ABCD考点十五、正多边形与圆57（22-23九年级上江苏常州期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（）ABCD58（2024九年级下江苏常州专题练习）如图，已知边长为2的正顶点A的坐标

19、为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（）A3BC4D59（2024九年级上江苏专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（）ABCD60（2024江苏苏州二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数

20、式表示为（）ABCD61（2024江苏常州二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论，其中成立的结论是（）ABCD62（2024江苏扬州二模）我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（）ABC3D考点十六、扇形的有关计算63（2024九年级上江苏专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（）ABCD64（21-22九年级上广西玉林期末）如图，在扇形中，半径，将扇形

21、沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（）ABCD65（2024广东深圳模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行中华人民共和国体育法，网上各种健身项目层出不穷如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（）ABCD66（2024辽宁铁岭三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（

22、）A1BCD267（2024江苏苏州二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（）ABCD考点十七、圆锥的有关计算68（2024甘肃武威三模）如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）ABCD69（2023湖北十堰中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A5BCD70（20-21九年级上江苏苏州阶段练习）如图，圆锥的底面半径R3，母线l5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，COB150，D为VB上一点，VD

23、现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D则蚂蚁爬行的最短路程是（）A3B4CD2参考答案考点一、一元二次方程的解1（23-24九年级上江苏扬州阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（）A或B或1C1或3D或【答案】D【分析】本题考查方程的解把方程a（x+3+m）2+b=0中的x+3看成整体，根据关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可得x+3=-2或x+3=1，求解即可【详解】关于x的方程a（x+3+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，方程a（x+3+m）2+b=0变形为a（x+3）+m2+b=0，此方程的中x+3=-2或x+3=1，解得x1=5，x2=-2，方

24、程a（x+m）2+b=0的解为：x1=5，x2=-2故选：D2（23-24九年级上江苏盐城期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解为（）A2B2C-2或2D以上都不对【答案】C【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令y-1=t，则at2+bt+c=0，得出t1=1，t2=-3，即可解答【详解】解：令y-1=t，则方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0可改写为：at2+bt+c=0，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，t1=1，t2=-3，y-1=1或y-1=

25、-3，解得：y=2或-2，故选：C3（21-22九年级上江苏苏州期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得【详解】解：，解得，这个方程有一根小于1，一根大于1，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键考点二、关于一元二次方程的代数式求值4（23-24九年级上江苏连云港阶段练习）若是方程的一个根，则（）ABCD【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代

26、入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键【详解】解：是方程的一个根，故选：5（2023浙江模拟预测）若a，b满足，且，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】将方程的两边都除以得，进而得出a，为方程的两个实数根，最后根据根与系数的关系进行求解【详解】由题意可知，将方程的两边都除以得，为方程的两个实数根，故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，将方程变形，进而得出a，为方程的两个实数根是解题的关键6（23-24九年级上江苏宿迁阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（）ABCD【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的解，把x=m代入方程求出m2-m-2=0，

27、然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等【详解】解：将x=m代入原方程得：m2-m-2=0，m2-m=2，则2023-m2+m=2023-（m2-m）=2023-2=2021，故选：B考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系7（24-25九年级上江苏苏州阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（）A4B5C6D7【答案】A【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，解得

28、：且，为整数，的最大值为4，故选：A8（23-24八年级下浙江期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程不可能有两个异号的实数根；当时，方程的两个实数根不可能都小于1其中正确的个数是（）A0B1C2D3【答案】C【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可【详解】解：，当时，方程有两个不相等的实根，故正确，当时，两根之积，方程的两根异号，故错误

29、，方程的根为，方程的两个实根不可能都小于1，故正确故选：C9（2024湖北二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（）A或1B或0CD1【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可【详解】解：一元二次方程有两个实数根，一元二次方程有两个实数根和，或，当时，解得；当，即时，解得，综上，故选：D10（2024江苏无锡一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（）A1BC3或D1或【答案】A【分析】本题考查了一元二次方

30、程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根，整理得：，解得：或，当时，原方程为，则原方程有实数根，符合题意；当时，原方程为，则原方程无实数根，不符合题意；综上：故选：A考点四、一元二次方程的结论判断问题11（24-25九年级上江苏泰州阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：若，则；若c是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）ABCD【答案】C【分析】本题主要考查一元二

31、次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键根据一元二次方程的根的含义可判断，一元二次方程的根的判别式可判断，从而可得答案【详解】解：当时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，正确若c是方程的一个根，则当，则；当，则不一定等于0，不一定正确由是一元二次方程的根，得，即，则正确故选：C12（2024江苏宿迁三模）关于x的一元二次方程有以下命题：若，则若方程的两根为和，则若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；若是该方程的一个根，则一定是的一个根其中真命题的个数（）A4B3C2D

32、1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键根据一元二次方程的解，把代入可判定命题；根据根的判别式可判定命题；根据方程的根进行验证即可判断命题；由此即可求解【详解】解：命题，当x=-1时，一元二次方程为，x=-1是方程的解，即方程有实数解，原命题为真命题；命题，当时，一元二次方程为，当x=1时，一元二次方程为，联立方程组得，解得，原命题为真命题；命题，一元二次方程有两个相等的实根，则，当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根，原命题是假命题；命题，一元二次方程的一个根式，则，若是根，则，原命题为真命题；综上所述，是真命题

33、的有，共3个，故选：B 13（23-24八年级下浙江杭州期中）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（）若，则有两个相等的实数根；存在三个实数，使得；若与方程的解相同，则ABCD【答案】B【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断；将方程的解代入即可判断【详解】解：，方程有两个相等的实数根正确；一元二次方程（为常数）最多有两个解，错误；方程的解为，将代入得，即：，将代入得，即：，则，即：正确故选：B14（23-24九年级上江苏宿迁期中）对于一元二次方程，有下列说法：若，则方程必有一个根为1；若方程有两个不相等的实根，则方程

34、必有两个不相等的实根；若c是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）A只有B只有C只有D只有【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案【详解】解：当时，方程必有一个根为，故错误，不符合题意；方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故正确，符合题意；由c是方程的一个根，得当，则；当，则不一定等于0，故不一定正确，不符合题意；若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故正确，符合题意

35、正确的结论为，故选：B15（23-24九年级上江苏连云港阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则，其中正确的（）A只有B只有CD只有【答案】B【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故正确；若方程有两个不相等的实根，则：，则：的判别式为，方程必有两个不相等的实根；故正确；若是方程的一个根，则，当时，故错误；若是一元二次方程的根，则：，；故正确；故选B考点五、一元二次方程的实际问题16（2

36、2-23九年级上江苏南京阶段练习）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）ABCD【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形直观得到面积之间的关系并用代数式表示出来是解答本题的关键根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系即可解答【详解】解：方程，即的拼图如图所示：中间小正方形的边长，其面积为25，大正方形的面积：，其边长为

37、7，因此，D选项所表示的图形符合题意故选：D17（2024安徽马鞍山三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）ABCD【答案】C【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可【详解】解：设每天遗忘的百分比为，则，解得：故选：C18（2024黑龙江佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音

38、上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件若日利润保持不变商家想尽快销售完该款商品每件售价应定为多少元（）A45B50C55D60【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得解得：，商家想尽快销售完该款商品，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元故选：B19（

39、23-24九年级上山东德州期中）如图，在中，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（）ABCD【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2则，则，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为故选：C20（2024四川达州模拟

40、预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹大禹依此治水成功，遂划天下为九州又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入尚书中，名洪范易系辞上说：“河出图，洛出书，圣人则之”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入33的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（）A或B1或C或4D1或4【答案】A【分析】本题考查幻方，解一元二次方程根据幻方的规则得出方程是解题的关键根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可【详解】解设幻方所填数如图所示，由得，由由得：，解得：，故选：A考点六、求圆中的最值问题21（2024山东日照二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（）A27B10C23D32【答案】D