2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺之填空压轴题（苏科版）（含答案解析）

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1、2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺填空压轴题姓名：_ 班级：_ 学号：_考点一、关于一元二次方程的代数式求值1（24-25九年级上江苏宿迁阶段练习）已知m、n是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则代数式m2-3m-n+2021的值为_2（24-25九年级上江苏盐城阶段练习）若a，b是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则的值为_3（2024九年级上江苏专题练习）（1）已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1、x2，x12-5 x1-2 x2则的值为_（2）若m、n是方程x2-2x-2=0的两个实数根，则2m2+4n2-n+2022的值为_考点二、一元二次方程

2、的解4（23-24八年级下江苏南通阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是5（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为6（22-23九年级上江苏镇江阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的最大值为考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系7（24-25九年级上江苏徐州阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是8（21-22九年级江苏苏州自主招生）关于x的方程（a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是9（24-25九年级上安徽阜阳阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中

3、a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为考点四、一元二次方程的结论判断问题10（2024浙江杭州二模）关于一元二次方程，有以下命题：若，则；若该方程的两根为和1，则；若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根其中真命题是（只需填写序号）11（24-25九年级上江苏连云港阶段练习）对于一元二次方程有下列说法：若，则方程必有一个根为；若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则；其中正确的是（填序号）考点五、一元二次方程的新定义问题12（24-25九年级上江苏宿

4、迁阶段练习）规定：对于任意实数、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为13（23-24八年级下浙江宁波期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是考点六、一元二次方程的实际问题14（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示当批发商在进货

5、后第天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润15（23-24九年级下江西宜春阶段练习）如图所示，中，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，那么秒后，线段将分成面积的两部分16（2024辽宁沈阳模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，

6、如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为元17（2024山西朔州一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程18（23-24九年级下湖南岳阳开学考试）念奴娇赤壁怀古，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早逝英年两位数十位恰小个位三，个位平方与寿符”则这位风流人物去世的年龄为

7、岁考点七、点到圆的距离19（23-24九年级上江苏泰州阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为20（23-24九年级下江苏南京自主招生）已知的长为10，平面内存在两个动点P，Q，使得，以下结论正确的是的最小值是7，最大值是13；的最大值是9；的最小值是1；的最大值是10考点八、求圆中的最大（小）值问题21（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）如图，中，是的高，则；若以点C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接，点F是的中点，则线段的最小值是22（2024浙江温州三模）如图，已知中，点是边上的动点，以为

8、直径作，连接交于点，则的最小值为23（22-23九年级下江苏宿迁阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为24（21-22九年级上安徽芜湖期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是25（2024江苏盐城二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，连接并延长交于点E，若，则的最大值是考点九、垂径定理求线段的长26（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）已知的直径为10，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的弦为整数的有条27（24-25九

9、年级上江苏连云港阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接若点与圆心重合，则半径等于28（23-24九年级上江苏南京期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接BD，半径，连接，于点若，则的长为考点十、弧、弦、圆心角之间的关系29（22-23九年级下江苏南通期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是30（2024江苏扬州二模）已知锐角如图，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接CD；（2）分别以点，为圆心，CD长为半径作弧，交于点，；（3）连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，

10、所有正确结论的序号是；若，则；31（18-19九年级上江苏镇江期末）如图，圆的两条弦相交于点，、的度数分别为，的度数为，则，和之间的数量关系为考点十一、圆周角的性质及推论32（2024湖北模拟预测）已知点在上，若，则的度数为33（20-21九年级上江苏扬州阶段练习）在半径为1的中，弦AB的长等于的半径，则弦AB所对圆周角等于34（22-23八年级下浙江宁波开学考试）如图所示，在以为圆心，为直径的半圆上有，两个不同的点，点在上，且，如果弧，则弧的度数是考点十二、利用直线与圆的位置关系求半径的范围35（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）如图，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是36（23-

11、24九年级上江苏泰州阶段练习）已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为37（23-24九年级上江苏淮安阶段练习）在中，以点为圆心，为半径的圆作C，若边与C只有一个公共点，则半径r的取值范围为考点十三、切线的性质与判定38（2023九年级上江苏专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的半径为2当圆心与点重合时，与直线的位置关系为；若圆心从点开始沿轴移动，当时，与直线相切39（23-24九年级下全国课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为40（23-24九年级上江苏宿迁期中

12、）如图，半圆的直径，中，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，当半圆与的边相切时，运动时间41（21-22九年级上江苏无锡期中）如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是考点十四、切线长定理的综合42（22-23九年级上江苏无锡期中）如图，在中，：，在内自由移动，若的半径为，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为43（20-21九年级上江苏苏州阶段练习）如图，ABC中，C90，AC8，AB10，D为BC边的中点，O为AD上一点，O和AB、BC均相切，则O的半径为44（20-21九年级上江苏常州期中）如图，点是正方形的中心，与相

13、切于点，连接若，则的面积是考点十五、三角形的内切圆45（24-25九年级上江苏宿迁阶段练习）如图，在中，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，则的半径为46（22-23九年级上江苏盐城期中）以正方形的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为47（21-22九年级江苏南京自主招生）已知在中，半径为1的圆在三角形内移动，圆可以与三角形的边相切，则该圆能到达的面积为48（2024九年级上江苏专题练习）如图，在中，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为49（2024江苏扬州二模）如图，中，的内切圆半径分别记为，若，则50（23-24九年级上山东淄

14、博阶段练习）如图，点I是的内心，则的面积为考点十六、正多边形与圆51（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为（结果保留根号）52（2024广东惠州二模）如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，若，则的面积为53（2024江苏常州模拟预测）墨子天文志记载：“执规矩，以度天下之方圆”度

15、方知圆，感悟数学之美如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为54（2024河北石家庄三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放（1）；（2）已知点在边上，则的最大值为考点十七、弧长与扇形、阴影、运动的有关计算55（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）如图，在矩形中，点P在线段上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段AD上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作交直线于点M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是56（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）如图，已知，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆

16、心运动的路程是57（2023江苏镇江模拟预测）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，图中阴影部分的面积等于考点十八、圆锥的有关计算58（23-24九年级上云南德宏期末）某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为59（2021江苏扬州二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是60（20-21九年级上四川凉山阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆锥，母线，D为的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到D，则蚂蚁爬行的最短路程为参考答案12020

17、【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值将代数式变形为m2-2m-（m+n）+2021的形式是关键根据根与系数的关系得出m+n=2，由解的意义得m2-2m=1，再将m2-3m-n+2021变形为m2-2m-（m+n）+2021，代入数据即可得出结论【详解】解：m、n是一元二次方程的两个根，故答案为：20202（24-25九年级上江苏盐城阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入代数式求值即可【详解】解：由题意，得：，原式；故答案为：53（2024九年级上江苏专题练习）（1）已知一元二

18、次方程的两根为，则的值为（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为【答案】 2042【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论（2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案【详解】解：（1）一元二次方程的两根为，故答案为：（2）m，n是方程的两个实数根，故答案为：2042考点二、一元二次方程的解4（23-24八年级下江苏南通阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根

19、据题意得出，计算即可得解【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，关于x的方程的解是，解得：，故答案为：，5（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为【答案】或【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程当时，将5代入得到，然后结合得到或，然后求解即可；当时，同理求解即可【详解】解：当时，将5是关于x的方程的根，得，或或或，解得或当时，将是关于x的方程的根，得，或或或，解得或故答案为：或6（22-23九年级上江苏镇江阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的最大值为【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握配

20、方法求最大值是解题的关键；将代入，再求，利用配方法求最大值即可求解；【详解】解：将代入，可得：则当时取得最大值，故答案为：考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系7（24-25九年级上江苏徐州阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是【答案】且【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，这个方程根的判别式，解得：，实数k的取值范围为且，故答案为：且8（21-22九年级江苏苏州自主

21、招生）关于x的方程（a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是【答案】/【分析】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，根据绝对值的定义，进行分类讨论，再分别解一元一次方程熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法、分类讨论的思想是解决本题的关键【详解】解：当，即，则此时，则当，即，则此时，则综上：故答案为：9（24-25九年级上安徽阜阳阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为【答案】直角三角形【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方

22、程没有实数根原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解【详解】解：原方程可以化为：，方程有两个相等的实数根，为直角三角形，故答案为：直角三角形考点四、一元二次方程的结论判断问题10（2024浙江杭州二模）关于一元二次方程，有以下命题：若，则；若该方程的两根为和1，则；若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根其中真命题是（只需填写序号）【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故是真命题；根据题意得，则是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故是真命题【详解】解：

23、若，则，故是真命题；若该方程的两根为和1，则，故是真命题；若有两个相等的实数根，则，的判别式：，a的符号不确定，方程根的情况不确定，故是假命题；若r是该方程的一个根，则，是的一个根，故是真命题；故答案为：11（24-25九年级上江苏连云港阶段练习）对于一元二次方程有下列说法：若，则方程必有一个根为；若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则；其中正确的是（填序号）【答案】/【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，在中，令，可判断；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断；若是方程的一个根，得，如果，那么，可判断；

24、若是一元二次方程的根，可得，可判断解题关键掌握：出现方程的根时，直接代入方程即可；已知关于的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，则；如果方程有两个相等的实数根，则；如果方程没有实数根，则，反之也成立【详解】解：若，当时，得：，方程必有一个根为，故说法错误；若方程有两个不相等的实根，则，即，方程必有两个不相等的实根，故说法正确；若是方程的一个根，则，如果，那么，故说法错误；若是一元二次方程的根，则，故说法正确；正确的有故答案为：考点五、一元二次方程的新定义问题12（24-25九年级上江苏宿迁阶段练习）规定：对于任意实数、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如若关于的方程有两个不相等

25、的实数根，则的取值范围为【答案】且【分析】根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式【详解】解：，即，关于x的方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，故答案为：且13（23-24八年级下浙江宁波期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是【答案】【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出

26、关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可【详解】解：，与是“同族二次方程”，由得，代入得，解得：，则代数式的最小值是故答案为：考点六、一元二次方程的实际问题14（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示当批发商在进货后第天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润【答案】4或32/32或4【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元

27、二次方程，正确理解题意是解题的关键先用待定系数法求出与之间的函数关系式是，设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当：，解得：（舍）或当时，解得：【详解】解：当，设解析式为：，把和代入得：，解得：当时，故与之间的函数关系式是；设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当：，由上得，化简得：解得：（舍）或当时，由上得，解得：，故答案为：4或3215（23-24九年级下江西宜春阶段练习）如图所示，中，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，那么秒后，线段将分成面积的两部分【答案】2或4【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题

28、意，找出等量关系正确列方程是解题关键设运动时间为，根据题意可得，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可【详解】解：设运动时间为，则，cm，线段将分成面积的两部分，或，或，整理得：或（无实数解），解得，即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒故答案为：2或416（2024辽宁沈阳模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元

29、的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为元【答案】9【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可理解题意，正确列出方程是解答的关键【详解】解：设降低x元，由题意得出:，整理得：，解得：即：第二周的销售价格为9元故答案为：917（2024山西朔州一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方

30、程【答案】【分析】本题考查一元二次方程的应用若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程【详解】解：根据题意，得，故答案为：18（23-24九年级下湖南岳阳开学考试）念奴娇赤壁怀古，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早逝英年两位数十位恰小个位三，个位平方与寿符”则这位风流人物去世的年龄为岁【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得

31、答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为，则根据题意：，整理得：，解得，由题意，而立之年督东吴，则舍去，这位风流人物去世的年龄为岁，故答案为：考点七、点到圆的距离19（23-24九年级上江苏泰州阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为【答案】6【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径【详解

32、】解：设最小距离为m，最大距离为n，由根与系数的关系得，是内一点，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，即圆的直径是12，圆的半径是故答案为：620（23-24九年级下江苏南京自主招生）已知的长为10，平面内存在两个动点P，Q，使得，以下结论正确的是的最小值是7，最大值是13；的最大值是9；的最小值是1；的最大值是10【答案】【分析】本题考查了勾股定理，作垂线构造直角三角形是解题关键先证明，这是解答第一步利用圆外一点到圆上一点求最值即可均利用三角形三边关系判断即可【详解】解：取中点D，连，过点P作于点M，以B为圆心，为半径作，为直径设，设，则，又，如图，最小，最大，故正确

33、如图，最大，故正确如图，最小，故正确如图，最大，故错误故答案为：考点八、求圆中的最大（小）值问题21（24-25九年级上江苏无锡阶段练习）如图，中，是的高，则；若以点C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接，点F是的中点，则线段的最小值是【答案】 5 【分析】由等腰三角形的性质得，由勾股定理即可求得长度；连接，则，当最小时，最小，此时E点在线段上时，最小，从而，最后求得最小值即可【详解】解：是的高，由勾股定理得：；如图，连接，点F是的中点，点D是中点，是的中位线，当最小时，最小，当E、C、B三点共线，且E点在线段上时，最小，从而最小，而，最小值为故答案为：5；【点睛】本题考查了等腰三角形的性

34、质，勾股定理，三角形中位线，圆外一点与圆上点的最值等知识，构造辅助线，运用中位线定理是解题的关键22（2024浙江温州三模）如图，已知中，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为【答案】/【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可【详解】解：中，如图，连接，以为直径作，如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，在同一直线上时，最

35、小，即的最小值，故答案为：23（22-23九年级下江苏宿迁阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为【答案】3【分析】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形的性质，确定点位置是解题的关键过点作轴的垂线与的交点即为，垂足为点，此时的矩形的对角线有最小值，结合点坐标可求解的最小值，根据矩形的对角线相等可求解【详解】解：过点作轴的垂线与的交点即为，垂足为点，此时的矩形的对角线有最小值，的半径为2，即，四边形为矩形，即对角线的最小值为3故答案为：324（21-22九年级上安徽芜湖期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧

36、上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是【答案】/【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，点在以点为圆心，为半径的圆上，当、三点共线时，取得最小值，是直径，在中，由勾股定理得：，为的中点，在中，由勾股定理得：，又，且点为的中点，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断

37、出动点的运动轨迹是解本题的关键25（2024江苏盐城二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，连接并延长交于点E，若，则的最大值是【答案】8【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有【详解】解：如图，连接，当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边，又，即即当O，D重合时，如图，有，故综上得：，故答案为：8考点九、垂径定理求线段的长26（24-25九年级上江苏扬州阶段练习）已知的直径为10，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的弦为整数的有条【答案】4【分析】本题考查了垂径定理的应用解决本题的关键是确定过点P的弦的范围问题，需

38、构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解过点最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点的最短的弦是8，故过点的弦的长度在8和10之间，所以过点的弦中长度为整数的弦的条数为4【详解】解：如图所示，作于，在中，故过点的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，所有过点的所有弦中取整数的有8，9，10这三个数，又圆是轴对称图形，过点的弦中长度为整数的弦的条数为4故答案为：427（24-25九年级上江苏连云港阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接若点与圆心重合，则半径等于【答案】3【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点

39、，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，利用勾股定理进行求解即可【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分，点与圆心重合，为直径，在中，由勾股定理，得：，；即半径等于3；故答案为：328（23-24九年级上江苏南京期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接BD，半径，连接，于点若，则的长为【答案】【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键根据垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，得到，求得，求得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：，是的直径，故答案为：考点十、弧、弦、圆心角之间的关系29（22-23九年级下江苏南通期末）如

40、图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是【答案】【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时最小，连接，如图所示点和点关于对称，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，故答案为：30（2024江苏扬州二模）已知锐角如图，（1

41、）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接CD；（2）分别以点，为圆心，CD长为半径作弧，交于点，；（3）连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，所有正确结论的序号是；若，则；【答案】/【分析】由作图知，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得【详解】解：连接、，由作图知，故正确；，是等边三角形，故错误；，又，故正确；，且，故错误；故答案为：【点睛】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点31（18-19九年级上江苏镇江期末）如图，圆的两条弦相交于点，、的

42、度数分别为，的度数为，则，和之间的数量关系为【答案】【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角等知识，连接，求出，再利用三角形的外角的性质求即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题【详解】连接，由题意得：，又，故答案为：考点十一、圆周角的性质及推论32（2024湖北模拟预测）已知点在上，若，则的度数为【答案】或【分析】本题考查的是圆周角定理，分两种情况，由圆周角定理即可求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质求得的度数.【详解】解：如图，当点在位置时，综上，的度数为或，故答案为：或33（20-21九年级上江苏扬州阶段练习）在半径为1的中，弦AB的长等于的半径，则弦AB所对圆周角等于【答案】或【分析】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性