2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)
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1、1 2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨暨 2024 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 加试(加试(A 卷)参考答案及评分标准卷)参考答案及评分标准 说明:说明:1评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得增加其他中间档次分为一个档次,不得增加其他中间档次 一一(本
2、题满分(本题满分 40 分)分)给定正整数r求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列1nna,满足naC对所有正整数n成立(x表示实数x到与它最近整数的距离)解解:情形 1:r为奇数 对任意实数x,显然有12x,故满足要求的C不超过12 又取na的首项112a,注意到对任意正整数n,均有1nr为奇数,因此1122nnra这意味着12C 满足要求从而满足要求的C的最大值为12 10 分 情形 2:r为偶数 设*2()rm mN对任意实数,我们证明1a与2a中必有一数不超过21mm,从而21mCm 事实上,设1ak,其中k是与1a最近的整数(之一),且102 注意到,对任意实数x及任意整
3、数k,均有xkx,以及xx 若021mm,则121makm 若1212mm,则22221mmmm,即21mmrmm,此时 2121maa rkrrrm 30 分 另一方面,取121mam,则对任意正整数n,有1(2)21nnmamm,由二项式展开可知11(21 1)(1)2121nnnmmamKmm ,其中K为整数,故21nmam这意味着21mCm满足要求 从而满足要求的C的最大值为212(1)mrmr 2 综上,当r为奇数时,所求C的最大值为12;当r为偶数时,所求C的最大值为2(1)rr 40 分 二(本题满分二(本题满分 40 分)分)如图,在凸四边形ABCD中,AC平分BAD,点,E
4、F分别在边,BC CD上,满足|EFBD分别延长,FA EA至点,P Q,使得过点,A B P 的圆1及过点,A D Q的圆2 均与直线AC相切 证明:,B P Q D四点共圆(答题时请将图画在答卷纸上)(答题时请将图画在答卷纸上)证明证明:由圆1与AC相切知180BPABACCADCAFPAC,故,BP CA的延长线相交,记交点为L 由|EFBD知CECFCBCD在线段AC上取点K,使得CKCECFCACBCD,则|,|KEAB KFAD 10 分 由ABLPALKAF,180180BALBACCADAKF,可知ABLKAF,所以KF ABALKA 20 分 同理,记,DQ CA的延长线交于
5、点L,则KE ADALKA 又由|,|KEAB KFAD知KECKKFABCAAD,即KE ADKF AB 所以ALAL,即L与L重合 由切割线定理知2LP LBLALQ LD,所以,B P Q D四点共圆 40 分 三三(本题满分(本题满分 50 分)分)给定正整数n.在一个3 n的方格表上,由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S中任意两个不同的小方格,A B,存在整数2l 及S中l个 方 格12,lAC CCB=,满 足iC与1iC+有 公 共 边21QPFDABCE21L(L)KQPFDABCE3 (1,2,1il=).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为
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