2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试参考答案与评分标准（A卷）

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1、1 2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨暨 2024 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 一试（一试（A 卷）参考答案及评分标准卷）参考答案及评分标准 说明：说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步

2、骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，分为一个档次，第第 10、11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1.若实数1m满足98log(log)2024m，则32log(log)m 的值为 答案答案：4049 解解：323898log(log)log(3log)12log(log)1220244049mmm 2.设无穷等比数列na的公比q满足01q 若na的各项和等于na各项的平方和

3、，则2a的取值范围是 答案答案：1,0(0,2)4 解解：因为数列na的各项和为11aq，注意到na各项的平方依次构成首项为21a、公比为2q的等比数列，于是2na的各项和为2121aq 由条件知211211aaqq，化简得11aq 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244aq qq 3.设实数,a b满足：集合2100AxxxaR与3BxbxbR的交集为4,9，则ab的值为 答案答案：7 解解：由于2210(5)25xxaxa，故A是一个包含4,9且以5x为中点的闭区间，而B是至多有一个端点的区间，所以必有1,9A，故9a 进一步可知B只能为4,)，故0b且34bb

4、，得2b 于是7ab 4.在三棱锥PABC中，若PA底面ABC，且棱,AB BP BC CP的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 答案答案：34 解解：由条件知PAAB，PAAC 因此223PABPAB，进而2213ACCPPA 2 在ABC中，22219131cos22 1 32ABBCACBAB BC ，故3sin2B 所以13 3sin24ABCSAB BCB 又该三棱锥的高为PA，故其体积为1334ABCVSPA 5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b若事件“7ab”发生的概率为17，则事件“ab

5、”发生的概率为 答案答案：421 解解：设掷出1,2,6点的概率分别为126,ppp由于126,ppp成等差数列，且1261ppp，故16253413pppppp 事件“7ab”发生的概率为1162561Pp pp pp p 事件“ab”发生的概率为2222126Pppp 于是22221216253411()()()333PPpppppp 由于117P，所以21143721P 6.设()f x是定义域为R、最小正周期为5的函数若函数()(2)xg xf在区间0,5)上的零点个数为25，则()g x在区间1,4)上的零点个数为 答案答案：11 解解：记2xt，则当0,5)x时，1,32)t，且t

6、随x增大而严格增大因此，()g x在0,5)上的零点个数等于()f t在1,32)上的零点个数 注意到()f t有最小正周期5，设()f t在一个最小正周期上有m个零点，则()f t在2,32)上有6m个零点，又设()f t在1,2)上有n个零点，则625mn，且0nm，因此4,1mn 从而()g x在1,4)上的零点个数等于()f t在2,16)1,16)1,2)上的零点个数，即311mn 7.设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P（异于长轴端点），记O为12PFF的外心，若12122PO FFPF PF ，则的离心率的最小值为 答案答案：64 解解：取12FF 的中点M，有12MOFF

7、，故120MO FF 记1212,PFu PFv FFd，则 121212PO FFPM FFMO FF 12211()()2PFPFPFPF 222vu，222121222cosPF PFuvFPFuvd ，3 故由条件知222222vuuvd，即22232uvd 由柯西不等式知222281(3)1()33duvuv（当3vu时等号成立）所以的离心率3684deuv 当:1:3:6u v d 时，的离心率e取到最小值64 8.若三个正整数,a b c的位数之和为8，且组成,a b c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,)a b c为“幸运数组”，例如(9,8,20240

8、0)是一个幸运数组满足10abc 的幸运数组(,)a b c的个数为 答案答案：591 解解：对于幸运数组(,)a b c，当10abc 时，分两类情形讨论 情形 1：a是两位数，,b c是三位数 暂不考虑,b c的大小关系，先在,a b c的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255CC3!600再考虑其中,b c的大小关系，由于不可能有bc，因此bc与bc的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组 情形 2：,a b是两位数，c是四位数 暂不考虑,a b的大小关系，类似于情形 1，先在,a b c的非最

9、高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600再考虑其中,a b的大小关系 若ab，则必有20ab，c的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18种填法，除这些填法外，ab与ab的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组 综上，所求幸运数组的个数为300291591 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分（本题满分16分）分）在ABC中，已知sincossincoscos22AABBC，求cosC的值 解解：由条件知22cossinsin2424CAB 4 分

10、 假如44AB，则2C，cos0C，但sin04A，矛盾 所以只可能44AB此时0,2AB，2CA 8 分 注意到2cossin024CA，故2C，所以,42AB，结合条4 件得 coscos2sin 22sincos244CAAAA 222cos1(2cos)CC ，又cos0C，化简得28(12cos)1C，解得7cos4C 16 分 10.（本题满分（本题满分 20 分）分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1xy的右顶点为A将圆心在y轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求dPA的所有可能的值 解解：考虑以0(0,)y为圆心的好圆2220000

11、:()(0)xyyrr 由0 与的方程消去x，得关于y的二次方程 2220002210yy yyr 根据条件，该方程的判别式22200048(1)0yyr，因此220022yr 5 分 对于外切于点P 的两个好圆12,，显然P 在y轴上设(0,)Ph，12,的半径分别为12,r r，不妨设12,的圆心分别为12(0,),(0,)hrhr，则有 2211()22hrr，2222()22hrr 两式相减得2212122()h rrrr，而120rr，故化简得122rrh 10 分 进而221211222rrrr，整理得 2211 22680rrrr 由于12drr，(1,0)A，22212()11

12、4rrPAh ，而可等价地写为2212122()8()rrrr，即228 PAd，所以2 2dPA 20 分 11.（本题满分（本题满分 20 分）分）设设复数,z w满足2zw，求2222Szwwz的最小可能值 解解法法 1：设i(,)zaba bR，则2iwab，故 2222242(1)i642(3)iSaabb aaabb a ，22222464aabaab 2222(1)5(3)5abab 5 分 记1ta对固定的b，记255Bb，求22()(4)f ttBtB的最小值 5 由()(4)f tft，不妨设2t 我们证明0()()f tf t，其中0tB 当02,tt时，04 2,4tt

13、 ，22200()()()(4)(4)f tf tBtBtBt 2222220000(4)(4)(28)(28)tttttttt 0（用到02tt 及228yxx在2,)上单调增）10 分 当0,)tt 时，22200()()(4)(4)f tf ttBtBtB 222200(4)(4)tttt000()8tttttt 0（用到04tt）15 分 所以200()(4)8168 516Sf tBtB 当0b（取到等号），0151at 时，S取到最小值8 516 20 分 解解法法 2：设1i,1i(,)Rzxywxyx y ，不妨设其中0 x 计算得 2222(41)(24)izwxxyxy，2

14、222(41)(24)iwzxxyxy 所以 22Re(2)Re(2)Szwwz22224141xxyxxy 5 分 利用abab，可得 8Sx，亦有 22222212(1)2(1)Sxyxyx 10 分 注意到方程282(1)xx的正根为52 当52x时，由得88 516Sx 当052x 时，由得222(1)2(1(52)8 516Sx 因此当52,0 xy时，S取到最小值8 516 20 分 解解法法 3：因为2wz=，所以我们有 222(2)241515zzzzzz ；22(2)2641515zzzzzz .从而上两式最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点15，15+，35，35+的距离

15、，所以把izxy=+换成其实部x时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f xxxxx=+在 R 上的最小值.10 分 因为15351535 +，因此我们有以下几种情况：6 1.若15x ,则2()24f xxx=,在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为(15)168 5f =+；2.若(15,35x ，则()88f xx=+，在这一区间上的最小值为(35)168 5f=+；15 分 3.若35,15x+，则2()24f xxx=+，在这一区间上的最小值为()()3515168 5ff=+=+；4.若15,35x +，则()88f xx=，在这一区间上的最小值为()15168 5f +=+；5.若35x+，则2()24f xxx=，在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为()35168 5f+=+.综上所述，所求最小值为()()35158 516ff=+=.20 分