江苏省无锡市XX中学2016-2017学年八年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、第 1 页（共 28 页）2016-2017 学年江苏省无锡市 XX 中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题1.3 的平方根是（ ）A9 B C D2下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是 （ ）A8，12，20 B2，3，4 C8，10，6 D5，13，153如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4已知等腰三角形的一个外角等于 100，则它的顶角是（ ）A80 B20 C80或 20 D不能确定5如图所示：数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ ）A +1 B +1 C D 16请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的

2、示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出AOB=AOB 的依据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS7如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADAB，CD=3，AB=9，AD=5，点 P 是腰 AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，其最小值为（ ）第 2 页（共 28 页）A13 B C D8已知如图等腰ABC，AB=AC，BAC=120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC，下面的结论：APO+DCO=30；OPC 是等边三角形；AC=AO+AP；S ABC =S 四边形 AOCP其中正确的是（ ）A

3、B C D二、填空题9. = ；立方根是 5 的数是 10若 2m1 没有平方根，则 m 的取值范围是 11若一个正数的平方根是 2a+1 和a4，则这个正数是 12等腰三角形的周长是 24，其中一边长是 10，则腰长是 13如图，把ABC 绕着点 C 顺时针旋转 35，得到ABC，AB交 AC 于 D 点若ADC=90，则A= 度14若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 3cm 和 4cm，则它的面积是 15某直角三角形三条边的平方和为 800，则这个直角三角形的斜边长为 16如图所示，三角形 ABC 的面积为 1cm2AP 垂直B 的平分线 BP 于点 P则三角形 PBC 的面积是 第 3

4、 页（共 28 页）17在 RtABC 中，C=90，若 AB=20，AC=16，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，且 BD：CD=5：4，则点 D 到线段 AB 的距离为 18如图，AOOM，OA=8 ，点 B 为射线 OM 上的一个动点，分别以 OB，AB 为直角边，B 为直角顶点，在 OM 两侧作等腰 RtOBF、等腰 RtABE，连接 EF 交 OM 于 P 点，当点 B 在射线 OM 上移动时，PB 的长度为 19如图，两个边长为 6 的等边三角形拼出四边形 ABCD，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t 秒将线段

5、CE 绕点 C 顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段 CF当 t= 时，DF 的长度有最小值，最小值等于 三、解答题（共 70 分，解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.）20计算：（1）（3） 2 +第 4 页（共 28 页）（2） | 2| 21解方程：（1）25x 2=9；（2）（x+3） 3=822如图，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下列要求画出图形（1）从点 A 出发的一条线段 AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2 ；（2）以（1）中的 AB 为边的一个等腰ABC，使点 C 在格点上，且三边中至少有两

6、边的长度都是无理数回答：符合条件的点 C 共有 个，并在网格中画出符合条件的一个点 C23已知ABC 中BAC=130，BC=18cm，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，与 AB、AC 分别交于点 D、G求：（1）EAF 的度数（2）求AEF 的周长24如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC求证：ABECBD；若CAE=30，求BDC 的度数第 5 页（共 28 页）25如图，在ABC 中，AB=AC，BC=8，E 是 AC 的中点，且点 B 与点 E 关于直线 l 对称，EFBC

7、 于F，若 CF=2，EF=3，直线 l 与 BC 交于点 D，求 BD 长26定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒已知ACD=90，MN 是过点 A 的直线，AC=DC，DBMN于点 B，如图（1）易证 BD+AB= CB，过程如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 EACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE四边形 ACDB 内角和为 360，BDC+CAB=180EAC+CAB=180，EAC=BDC又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE= CB又BE=

8、AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB= CB（1）当 MN 绕 A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明（2）MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30，BD= 时，则 CD= ，CB= 第 6 页（共 28 页）2016-2017 学年江苏省无锡市 XX 中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（2015 李沧区一模）3 的平方根是（ ）A9 B C D【考点】平方根【分析】如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数

9、；零的平方根是零，负数没有平方根【解答】解：（ ） 2=3，3 的平方根 故选 D【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根2下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是 （ ）A8，12，20 B2，3，4 C8，10，6 D5，13，15【考点】勾股定理的逆定理【专题】推理填空题【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案【解答】解：A、8 2+122=208，20 2=400，三角形不是直角三角形，故本选项错误；B、2 2+32=13，4 2=16，三角形不是直角三角形，故本选项错

10、误；C、8 2+62=100，10 2=100，8 2+62=102，故办选项正确；D、5 2+132=194，15 2=225，三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选 C【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是 a、b、c（c 最大）满足 a2+b2=c2，则三角形是直角三角形第 7 页（共 28 页）3如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形据此可知只有

11、第三个图形不是轴对称图形【解答】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有 2 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意第四个图形有 1 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有 3 个故选：C【点评】本题考查了轴对称与轴对称图形的概念轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合4已知等腰三角形的一个外角等于 100，则它的顶角是（ ）A80 B20 C80或 20 D不能确定【考点】等腰三角形的性质【专题】分类讨论【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为 180，可求出顶角的度数

12、【解答】解：若 100是顶角的外角，则顶角=180100=80；若 100是底角的外角，则底角=180100=80，那么顶角=180280=20故选 C【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180、三角形外角的性质求解5如图所示：数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ ）第 8 页（共 28 页）A +1 B +1 C D 1【考点】实数与数轴【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示1 的点和A 之间的线段的长，进而可推出 a 的值【解答】解：图中直角三角形的两直角边为 1，2，斜边长为 = ，那么1

13、 和 A 之间的距离为 ，那么 a 的值是： 1，故选：D【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离6请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出AOB=AOB 的依据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS【考点】作图基本作图；全等三角形的判定与性质【分析】由作法易得 OD=OD，OC=OC，CD=CD，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等【解答】解：由作法易得 OD=OD，OC=OC，CD=CD，依据 SSS 可判定C

14、ODCOD（SSS），则CODCOD，即AOB=AOB（全等三角形的对应角相等）故选 D【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键第 9 页（共 28 页）7如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADAB，CD=3，AB=9，AD=5，点 P 是腰 AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，其最小值为（ ）A13 B C D【考点】轴对称-最短路线问题；直角梯形【分析】作点 C 关于 AD 的对称点 C，连接 BC与 AD 相交于点 P，根据轴对称确定最短路线问题，点 P 即为使 PC+PB 最小的点

15、，过点 C作 CEAB 交 BA 的延长线于 E，求出 BE、CE，再利用勾股定理列式求出 BC，即为 PC+PB 的最小值【解答】解：如图，作点 C 关于 AD 的对称点 C，连接 BC与 AD 相交于点 P，由轴对称确定最短路线问题，点 P 即为使 PC+PB 最小的点，PC+PB=BC，过点 C作 CEAB 交 BA 的延长线于 E，ABCD，ADAB，ADC=90，又CEAB，四边形 ADCE 是矩形，AE=CD=CD=3，CE=AD=5，BE=AE+AB=3+9=12，在 RtBCE 中，由勾股定理得，BC= = =13，即 PC+PB 的最小值=13故选 A第 10 页（共 28

16、页）【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，直角梯形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并准确确定出点 P 的位置是解题的关键8已知如图等腰ABC，AB=AC，BAC=120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC，下面的结论：APO+DCO=30；OPC 是等边三角形；AC=AO+AP；S ABC =S 四边形 AOCP其中正确的是（ ）A B C D【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】利用等边对等角，即可证得：APO=ABO，DCO=DBO，则APO+DCO=ABO+DBO=

17、ABD，据此即可求解；证明POC=60且 OP=OC，即可证得OPC 是等边三角形；首先证明OPACPE，则 AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP过点 C 作 CHAB 于 H，根据 S 四边形 AOCP=SACP +SAOC ，利用三角形的面积公式即可求解【解答】解：连接 OB，AB=AC，ADBC，BD=CD，BAD= BAC= 120=60，OB=OC，ABC=90BAD=30，OP=OC，OB=OC=OP，APO=ABO，DCO=DBO，APO+DCO=ABO+DBO=ABD=30；故正确；APC+DCP+PBC=180，APC+DCP=150，APO+DCO=30，OPC+OCP

18、=120，第 11 页（共 28 页）POC=180（OPC+OCP）=60，OP=OC，OPC 是等边三角形；故正确；在 AC 上截取 AE=PA，PAE=180BAC=60，APE 是等边三角形，PEA=APE=60，PE=PA，APO+OPE=60，OPE+CPE=CPO=60，APO=CPE，OP=CP，在OPA 和CPE 中，OPACPE（SAS），AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP；故正确；过点 C 作 CHAB 于 H，PAC=DAC=60，ADBC，CH=CD，S ABC = ABCH，S 四边形 AOCP=SACP +SAOC = APCH+ OACD= APCH+ O

19、ACH= CH（AP+OA）= CHAC，S ABC =S 四边形 AOCP；故正确故选 D第 12 页（共 28 页）【点评】本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线二、填空题9. = 2 ；立方根是 5 的数是 125 【考点】立方根；平方根【分析】分别根据平方根和立方根的概念直接计算即可求解【解答】解： =2；5 3=125立方根是 5 的数是 125【点评】本题考查了平方根和立方根的概念注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根即为它的算术平方根立方根的性质：（1）正数的立方根是正数（2）负数的立方根是负数（3）0 的立方根是 010若 2m1 没有平方根，则

20、 m 的取值范围是 m 【考点】平方根【分析】根据平方根的定义可知 2m10，解不等式即可【解答】解：负数没有平方根，2m10，解得：m 第 13 页（共 28 页）故答案为：m 【点评】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根11若一个正数的平方根是 2a+1 和a4，则这个正数是 49 【考点】平方根【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可得出 2a+1a4=0，求出 a 即可【解答】解：一个正数的平方根是 2a+1 和a4，2a+1a4=0，a=3，2a+1=7，这个正数为 72=49，故答案为：49【点评】本题考查了平

21、方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数12等腰三角形的周长是 24，其中一边长是 10，则腰长是 10 或 7 【考点】等腰三角形的性质【专题】分类讨论【分析】由于已知的长为 10 的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理【解答】解：当腰长为 10 时，底长为：24102=4；1041010+4，能构成三角形；当底长为 10 时，腰长为：（2410）2=7；107710+7，能构成三角形；故此等腰三角形的腰长为 10 或 7故填 10 或 7【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若

22、条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论13如图，把ABC 绕着点 C 顺时针旋转 35，得到ABC，AB交 AC 于 D 点若ADC=90，则A= 55 度第 14 页（共 28 页）【考点】旋转的性质【分析】根据旋转的性质，可得知ACA=35，从而求得A的度数，又因为A 的对应角是A，则A 度数可求【解答】解：ABC 绕着点 C 时针旋转 35，得到ABCACA=35，ADC=90A=55，A 的对应角是A，即A=A，A=55故答案为：55【点评】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相

23、等，旋转前后图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角14若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 3cm 和 4cm，则它的面积是 12cm 2 【考点】直角三角形斜边上的中线【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出 AB，根据三角形面积公式求出即可【解答】解：在 RtACB 中，ACB=90，CE 是ACB 中线，CE=4cm，AB=2CE=8cm，ACB 的面积是 ABCD= 8cm3cm=12cm2，故答案为：12cm 2第 15 页（共 28 页）【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和三角形面积的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半15某直角三角形三条边的平方和

24、为 800，则这个直角三角形的斜边长为 20 【考点】勾股定理【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长【解答】解：在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又已知三边的平方和为 800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为， =400，斜边长= =20，故答案为 20【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键16如图所示，三角形 ABC 的面积为 1cm2AP 垂直B 的平分线 BP 于点 P则三角形 PBC 的面积是 cm2 【考点】

25、等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的面积；全等三角形的判定与性质【分析】过点 P 作 PEBP，垂足为 P，交 BC 于点 E，由角平分线的定义可知ABP=EBP，结合BP=BP 以及APB=EPB=90即可证出ABPEBP（ASA），进而可得出 AP=EP，根据三角形的面积即可得出 SAPC =SEPC，再根据 SPBC =SBPE +SEPC= SABC 即可得出结论【解答】解：过点 P 作 PEBP，垂足为 P，交 BC 于点 E，如图所示AP 垂直B 的平分线 BP 于点 P，ABP=EBP第 16 页（共 28 页）在ABP 和EBP 中， ，ABPEBP（ASA），AP

26、=EPAPC 和EPC 等底同高，S APC =SEPC，S PBC =SBPE +SEPC= SABC = cm2故答案为： cm2【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出 SPBC = SABC 是解题的关键17在 RtABC 中，C=90，若 AB=20，AC=16，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，且 BD：CD=5：4，则点 D 到线段 AB 的距离为 【考点】勾股定理；角平分线的性质【分析】利用勾股定理列式求出 BC 的长，再求出 CD 的长，过点 D 作 DEAB 于 E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得

27、DE=CD【解答】解：C=90，AB=20，AC=16，BC= = =12，BD：CD=5：4，CD=12 = ，第 17 页（共 28 页）AD 平分BAC，DE=CD= ，即点 D 到线段 AB 的距离为 故答案为： 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键18如图，AOOM，OA=8 ，点 B 为射线 OM 上的一个动点，分别以 OB，AB 为直角边，B 为直角顶点，在 OM 两侧作等腰 RtOBF、等腰 RtABE，连接 EF 交 OM 于 P 点，当点 B 在射线 OM 上移动时，PB 的长度为 4 【考点】全等三角形的判定与性质【分析】过 E

28、 作 EMOP 于 M，首先证明ABOBEN，得到 BO=ME；进而证明BPFMPE，即可解决问题【解答】解：如图，过点 E 作 ENBM，垂足为点 N；AOB=ABE=BME=90，ABO+BAO=ABO+MBE，BAO=MBE；ABE、BFO 均为等腰直角三角形，AB=BE，BF=BO；在ABO 与BEN 中，第 18 页（共 28 页），ABOBEN（AAS），BO=ME，BM=AO；而 BO=BF，BF=ME；在BPF 与MPE 中，BPFMPE（AAS），BP=MP= ；而 BM=AO，BP= AO= 8 =4 ，故答案为：4 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判

29、定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答19如图，两个边长为 6 的等边三角形拼出四边形 ABCD，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t 秒将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段 CF当 t= 9 时，DF 的长度有最小值，最小值等于 3 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质第 19 页（共 28 页）【分析】由ECF=BCD 得DCF=BCE，结合 DC=BC、CE=CF 证DCFBCE 即可得；当点 E 运动至点 E时，由 DF=BE知此时 DF 最小，求得 BE

30、、AE即可得答案；【解答】解：ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四边形 ABCD 是菱形，DC=BC，在DCF 和BCE 中，DCFBCE（SAS），DF=BE；如图 1，当点 E 运动至点 E时，DF=BE，此时 DF 最小，在 RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE= ，设 AE=x，则 BE= x，AB=2x=6，则 AE=x=3DE=6+3，DF=BE=3 ，故答案为：9，3 ；【点评】此题是旋转的性质，主要考查等边三角形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键三、解答题（共 70 分，解答时

31、应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.）20计算：（1）（3） 2 +（2） | 2| 第 20 页（共 28 页）【考点】实数的运算【分析】（1）根据平方、算术平方根以及立方根进行计算即可；（2）根据绝对值、算术平方根进行计算即可【解答】解：（1）原式=99+3=3；（2）原式=3+ 25= 4【点评】本题考查了实数的运算，掌握平方、算术平方根以及立方根运算法则是解题的关键21解方程：（1）25x 2=9；（2）（x+3） 3=8【考点】立方根；平方根【分析】（1）先把方程化为 x2= 的形式，直接开平方即可求解；（2）把 x3 作为一个整体直接开立方即可求解【解答】解：（1）x 2=

32、，x=x= ；（2）（x+3） 3=8，x+3= ，x+3=2，x=1【点评】此题主要考查了平方根和立方根的运用要熟练掌握它们的性质和解法才会在方程中灵活的运用22如图，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下列要求画出图形第 21 页（共 28 页）（1）从点 A 出发的一条线段 AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2 ；（2）以（1）中的 AB 为边的一个等腰ABC，使点 C 在格点上，且三边中至少有两边的长度都是无理数回答：符合条件的点 C 共有 4 个，并在网格中画出符合条件的一个点 C【考点】勾股定理；无理数；等腰三角形的性质

33、【分析】（1）根据勾股定理，作两直角边都是 2 的直角三角形的斜边即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等利用网格结构作出 AB 的垂直平分线，经过的格点到 A、B 的距离是无理数的都是符合条件的顶点 C【解答】解：（1）如图所示 AB 即为所作；（2）如图所示，满足条件的点 C 有 4 个，故答案为 4【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握网格结构与等腰三角形的判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质是解题的关键23已知ABC 中BAC=130，BC=18cm，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，与 AB、AC 分别交于点 D、G求：第 22 页（

34、共 28 页）（1）EAF 的度数（2）求AEF 的周长【考点】线段垂直平分线的性质【分析】（1）由 DE 垂直平分 AB，FG 垂直平分 AC，可得 EB=EA，FA=FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得BAE+FAC 度数，继而求得答案；（2）由AEF 的周长等于 AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC，即可求得答案【解答】解：（1）DE 垂直平分 AB，FG 垂直平分 AC，EB=EA，FA=FC，BAE=B，FAC=C，ABC 中，BAC=130，B+C=50，BAE+FAC=50，EAF=BAC（BAE+FAC）=80；（2）BC=18cm，AEF 的周长为：AE+

35、AF+EF=BE+CF+EF=BC=18cm【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用24（10 分）（2016 陕西一模）如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC求证：ABECBD；若CAE=30，求BDC 的度数第 23 页（共 28 页）【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质【专题】证明题【分析】利用 SAS 即可得证；由全等三角形对应角相等得到AEB=CDB，利用外角的性质求出AEB 的度数，即可确定出BDC 的度数

36、【解答】证明：在ABE 和CBD 中，ABECBD（SAS）；解：在ABC 中，AB=CB，ABC=90，BAC=ACB=45，ABECBD，AEB=BDC，AEB 为AEC 的外角，AEB=ACB+CAE=30+45=75，则BDC=75【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键25如图，在ABC 中，AB=AC，BC=8，E 是 AC 的中点，且点 B 与点 E 关于直线 l 对称，EFBC 于F，若 CF=2，EF=3，直线 l 与 BC 交于点 D，求 BD 长第 24 页（共 28 页）【考点】轴对称的性质【分析】连接

37、 DE，利用轴对称得出 BD=DE，利用 BC=8，CF=2，可得 DF=6BD，利用勾股定理得出（6BD） 2+32=BD2，即可得出 BD 的值【解答】解：如图，连接 DE，点 B 与点 E 关于直线 l 对称，BD=DE，BC=8，CF=2，DF=82BD=6BD，EFBC 于 F，EF=3，DF 2+EF2=DE2，即（6BD） 2+32=BD2，解得 BD= 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是正确作出辅助线，得出 BD=DE26定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（2016 秋崇安区校级期中）已知ACD=90，M

38、N 是过点 A 的直线，AC=DC，DBMN 于点 B，如图（1）易证 BD+AB= CB，过程如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 EACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE四边形 ACDB 内角和为 360，BDC+CAB=180EAC+CAB=180，EAC=BDC又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE= CB第 25 页（共 28 页）又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB= CB（1）当 MN 绕 A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并

39、对图（3）给予证明（2）MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30，BD= 时，则 CD= 2 ，CB= +1 或 1 【考点】三角形综合题【分析】（1）过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，证明ACEDCB，则ECB 为等腰直角三角形，据此即可得到 BE= CB，根据 BE=ABAE 即可证得；（2）过点 B 作 BHCD 于点 H，证明BDH 是等腰直角三角形，求得 DH 的长，在直角BCH 中，利用直角三角形中 30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得【解答】解：（1）如图（2）：ABBD= CB理由如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，

40、ACD=90，ACE=90DCE，BCD=90ECD，BCD=ACEDBMN，CAE=90AFC，D=90BFD，AFC=BFD，CAE=D，在ACE 和DCB 中， ，ACEDCB（ASA），AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE= CB第 26 页（共 28 页）又BE=ABAE，BE=ABBD，ABBD= CB如图（3）：BDAB= CB理由如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，ACD=90，ACE=90+ACB，BCD=90+ACB，BCD=ACEDBMN，CAE=90AFB，D=90CFD，AFB=CFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB

41、，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE= CB又BE=AEAB，BE=BDAB，BDAB= CB（2）MN 在绕点 A 旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第 1 个图：由（1）得：ACEDCB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，AEC=45=CBD，过 D 作 DHCB则DHB 为等腰直角三角形BD= BH，BH=DH=1直角CDH 中，DCH=30，CD=2DH=2，CH= 第 27 页（共 28 页）CB= +1；若是第二个图：过 D 作 DHCB 交 CB 延长线于 H解法类似上面，CD=2，得出 CB= 1；故答案为：2， +1 或 1第 28 页（共 28 页）【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、含 30角的直角三角形的性质；证明三角形全等和三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键