山东肥城市2018-2019学年度初三上学期期中模拟考试数学试题(青岛版）

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1、肥城市 2018-2019 学年度上学期期中考试初三数学试题（青岛版数学九上第一章-第三章）题号 一 二 三 总分得分说明：本试卷满分 150 分，第一卷 80 分，第二卷 70 分。一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）1. 下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图 1中的三角形与ABC 相似的是（ ）A. B. C. D. 2. 在 RtABC 中， C=90，sinA= ，BC=6，则 AB=（ ）35A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 如图 2，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中不能判断

2、ABCAED 的是（ ）A. B. C. D. = = = =图 1 图 2 图 34. 下列语句正确的个数是（ ）过平面上三点可以作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个5. 如图 3，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连线 DE，下列结论： ； ； ； =12 =12 = =14其中正确的个数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个6. 已知在ABC 中， A、B 都是锐角， ，则C 的度数是（ ）(32)2+|12|=0A. B. C

3、. D. 30 45 60 907. 如图 4，水库大坝截面的迎水坡 AD 的坡比为 4：3，背水坡 BC 的坡比为 1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽 CD=10m，则下底 AB 的长为（ ）A. 55m B. 60m C. 65m D. 70m8. 在 RTABC 中，C=90，BC=3cm，AC=4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则 C与直线 AB 的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定9. 如图 5，在等腰 RtABC 中，AC=BC =2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中2点当点 P 沿半圆从点 A 运动至

4、点 B 时，点 M 运动的路径长是（ ）A. B. C. D. 22 22图 4 图 5 图 6 10. 已知：如图 6，在O 中，OA BC，AOB=70，则 ADC 的度数为（ ）A. B. C. D. 30 35 45 7011. 如图 7，等腰直角ABC 中，AB=AC =8，以 AB 为直径的半圆 O 交斜边 BC 于 D，则阴影部分面积为（结果保留 ）（ ）A. 16 B. C. D. 244 324 32812. 如图 8，在正方形 ABCD 中， BPC 是等边三角形， BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连接 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论

5、：BE=2AE；DFPBPH； PFDPDB；DP 2=PHPC其中正确的是（ ）A. B. C. D. 图 7 图 8 图 9二、填空题（本大题共 8 小题，共 32.0 分）13. 如图 9，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB=12，AC =8，AD =6，当 AP的长度为_时，ADP 和ABC 相似14. 如图 10，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC 与 DE 相交于点 F，若 CE=2EB，S AFD=9，则 S 四边形 ABEF等于_15. 已知在平面直角坐标系中，点 A（-3，-1 ）、B（-2，-4）、C（-6，-5 ），

6、以原点为位似中心将ABC 缩小，位似比为 1：2，则点 B 的对应点的坐标为_ 16. 某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图 11，无人飞机从 A 处飞行至 B 处需 12 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75，B 处的仰角为 30已知无人飞机的飞行速度为 3 米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）_ 米图10 图11 图1217. 如图 12，点 E（0，3），O （0，0），C（4，0）在A 上，BE 是A 上的一条弦则cosOBE=_18. 如图 13，在O 中，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，且 OM 的最小值为 3则O 的半径为_19. 半径为

7、2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为_20. 如图 14，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作D，P 为 D 上的一个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为_ 图 13 图 14三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）21. （10 分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64，求建筑物的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin48 ，tan48

8、，sin64 ，tan642）710 1110 91022. （12 分）在 RtABC 中， ACB=90，CDAB ，垂足为 D，E，F 分别是 AC，BC 边上一点（1）求证： = ；（2）若 CE= AC，BF= BC，求EDF 的度数13 1323. （12 分）如图，在BCE 中，点 A 是边 BE 上一点，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点D，ADOC，点 F 为 OC 与 O 的交点，连接 AF（1）求证：CB 是O 的切线；（2）若 ECB=60，AB =6，求图中阴影部分的面积24. （12 分）如图，正方形 ABCD、等腰 RtBPQ 的顶点 P 在对角线 AC 上

9、（点 P 与 A、C 不重合），QP 与 BC 交于 E，QP 延长线与 AD 交于点 F，连接 CQ（1）求证：AP=CQ；求证：PA 2=AFAD；（2）若 AP：PC=1：3，求 tanCBQ25. （12 分）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点E 在 AB 上，且 AE=CE（1）求证：AC 2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设 O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在 O 上，求线段 PQ 的最小值答案和解析1.【答案】B【解析】解：

10、根据勾股定理， ，BC= ，所以，夹直角的两边的比为 ，观各选项，只有 B 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故选：B 可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键2.【答案】D【解析】解：在 RtABC 中，C=90， sinA= = ，BC=6， AB= = =10， 故选：D在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出 sinA，将 sinA 的值与 BC 的长代入求出 AB 的长即可此题考查了

11、解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键3.【答案】A【解析】解：DAE=CAB ，当AED=B 或ADE= C 时，ABCAED；当 = 即 = 时 ，ABCAED故选：A根据相似三角形的判定定理进行判定即可本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似4.【答案】A【解析】解：过平面上不在同一直线上的三点可以作一个 圆， 错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误； 在同圆或等 圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误； 三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确， 正确的有 1 个， 故选 A 利用确定圆的条件、

12、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项； 本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解 题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大5.【答案】B【解析】解：BE 、CD 是 ABC 的中 线， DE 是ABC 的中位线， ，正确； = ，错误； D 是 AB 的中点， = ， 由题意得，点 O 是ABC 的重心， = ， ，正确； = ，错误， 故选：B 根据三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质计算即可 本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边

13、中点的距离的 2 倍是解题的关键6.【答案】C【解析】解： ， sinA= ，cosB= ， A=60，B=60， 故可得C=180- A-B=60 故选 C 根据绝对值及完全平方的非负性可得出 sinA 及 cosB 的值，继而可得出 A 及B 的度数，利用三角形的内角和定理求解即可 此题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，属于基础题，解答本 题的关键是根据特殊角的三角函数值得出A 及 B 的度数 7.【答案】C【解析】解：DE=20m，DE：AE=4：3， AE=15m， CF=DE=20m，CF：BF=1：2， BF=40m， AB=AE+EF+BF=15+10+40=65m 故选

14、C 利用坡比的比值关系，求出 AE 与 BF 的长度即可得出下底的长 本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长8.【答案】A【解析】解：过 C 作 CDAB 于 D，如图所示： 在 RtABC 中，C=90， AC=4，BC=3， AB= =5， ABC 的面积= ACBC= ABCD， 34=5CD， CD=2.42.5， 即 dr， 以 2.5 为半径的C 与直线 AB 的关系是相交； 故选 A 过 C 作 CDAB 于 D，根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式求出 CD，得出dr，根据直 线和圆的位置关系即可得出结论 本题考查了直线和圆的位置

15、关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出 CD 的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交9.【答案】B【解析】解：取 AB 的中点 O、AE 的中点 E、BC 的中点 F，连结 OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰 RtABC 中，AC=BC=2 ，AB= BC=4，OC= AB=2，OP= AB=2，M 为 PC 的中点，OMPC，CMO=90，点 M 在以 OC 为直径的圆上，当 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；当 P 点在 B 点时，M 点在 F 点，易得四边形 CEOF 为正方形，EF=OC=2，M 点的路

16、径 为以 2 为直径的半 圆，点 M 运动的路径 长= 2=故选 B取 AB 的中点 O、AE 的中点 E、BC 的中点 F，连结 OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到 AB= BC=4，则 OC= AB=2，OP= AB=2，再根据等腰三角形的性质得 OMPC，则CMO=90 ，于是根据圆周角定理得到点 M 在以 OC 为直径的圆上，由于点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点，点 P 点在 B 点时， M 点在 F 点，则利用四边形 CEOF 为正方得到 EF=OC=2，所以 M 点的路径为以 2 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点 M 运动的路径长

17、本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定 M 点的 轨迹为以 2 为直径的半圆10.【答案】B【解析】解：OABC ，AOB=70， = ，ADC= AOB=35故选：B 先根据垂径定理得出 = ，再由圆周角定理即可得出结论本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键11.【答案】B【解析】解：连接 AD，OD， 等腰直角 ABC 中， ABD=45 AB 是圆的直径， ADB=90， ABD 也是等腰直角三角形， = AB=8， AD=BD=4 ，

18、S 阴影 =SABC-SABD-S 弓形 AD =SABC-SABD-（S 扇形 AOD- SABD） = 88- 4 4 - + 4 4 =16-4+8 =24-4 故选 B 连接 AD，因为ABC 是等腰直角三角形，故 ABD=45，再由 AB 是圆的直径得出ADB=90，故 ABD 也是等腰直角三角形，所以 = ，S 阴影 =SABC-SABD-S 弓形AD 由此可得出结论 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键12.【答案】C【解析】解：BPC 是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形 ABCD 中，AB=BC=

19、CD，A=ADC=BCD=90ABE=DCF=30，BE=2AE；故 正确；PC=CD，PCD=30，PDC=75，FDP=15，DBA=45，PBD=15，FDP=PBD，DFP=BPC=60，DFPBPH；故 正确；FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30，而DFP=60，PFDPDB，PFD 与 PDB 不会相似；故 错误；PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD， ，DP2=PHPC，故正确；故选 C由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理13.【答案】4

20、 或 9【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键分别根据当ADPACB 时，当ADP ABC 时，求出 AP 的长即可.【解答】解：当ADP ACB 时， = ， = ，解得：AP=9 ，当ADP ABC 时， = ， = ，解得：AP=4 ，当 AP 的长度为 4 或 9 时， ADP 和 ABC 相似故答案为 4 或 9.14.【答案】11【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四 边形 ABCD 是平行四边形，所以得到BCAD、BC=AD，而 CE=

21、2EB，由此即可得到 AFDCFE，它们的相似比为 3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解【解答】解：四 边形 ABCD 是平行四边形，BCAD、BC=AD，而 CE=2EB，AFDCFE，且它们的相似比 为 3：2，SAFD：SEFC=（ ）2，而 SAFD=9，SEFC=4，SDFC=9 =6，SADC=15，S 四边形 ABEF=15-4=11.故答案为 1115.【答案】（1，2）或（-1，-2 ）【解析】解：点 B 的坐 标为（-2 ，-4），以原点 为位似中心将ABC 缩小，位似比 为 1：2， 点 B 的对应 点的坐标为（1， 2）或（-1，-2）， 故答案为：（1，2）或（-

22、1 ，-2） 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k 或-k 解答 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k16.【答案】9 +93【解析】解：如图，作 ADBC，BH水平线， 由题意得：ACH=75， BCH=30，ABCH， ABC=30，ACB=45， AB=312=36m， AD=CD=18m，BD=ABcos30=18 m， BC=CD+BD=（18 +18）m， BH=BCsin30=（9 +9）m 故答案为：

23、9 +9 作 ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC 与 ACB 的度数，利用锐角三角函数定义求出 AD 与 BD 的长，由 CD+BD 求出 BC 的长，即可求出 BH 的长 此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键17.【答案】45【解析】解：连接 EC，由 EOC=90得到 BC 为圆 A 的直径， EC 过 点 A， 又 OE=3，OC=4，根据勾股定理得：EC=5， OBE 和OCE 为 所对的圆周角， OBE=OCE， 则 cosOBE=cosOCE= = 故答案为：连接 EC，由 90的圆周角所 对的弦为直径，根据 EOC=90得到

24、EC 为圆 A 的直径，所以点 A 在 EC 上且为 EC 中点，在直角三角形 EOC 中，由 OE 和 OC 的长，利用勾股定理求出 EC 的长，根据同弧所 对的圆周角都相等得到 EBO 与ECO 相等，而ECO 在直角三角形 EOC 中，根据余弦函数定义即可求出 cosECO 的值，进而得到 cosEBO此题考查学生掌握 90的圆 周角所对的弦为直径以及同弧所对的圆周角相等，考查了数形结合以及转化的数学思想，是一道中档题 连接 EC 且得到 EC 为圆 A 的直径是解本题的突破点18.【答案】5【解析】解：根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值， 此时，由垂径定理知，点 M 是

25、 AB 的中点， 连接 OA，AM= AB=4， 由勾股定理知，OA 2=OM2+AM2 即 OA2=42+32， 解得 OA=5 所以O 的半径 为 5； 故答案为 5根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值根据垂径定理和勾股定理求解本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值是解题的关键19.【答案】1： ：2 3【解析】解：由题意可得，正三角形的边心距是：2sin30=2 =1，正四边形的边心距是：2sin45=2 ，正六边形的边心距是：2sin60=2 ，半径为 2 的圆内接正三角形，正四 边形，正六 边形的 边心距之比为：1： ： ，故答

26、案为：1： ： 根据题意可以求得半径为 2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距20.【答案】 .174【解析】【分析】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行 线的性质，勾股定理的 应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出 P 处于什么位置时面积最大.当 P 点移动到平行于 OA 且与D 相切时， AOP 面积的最大，由于 P 为切点，得出 MP 垂直与切线， 进而得出 PMAC，根据勾股定理先求得 AC 的长，进 而求得 OA 的长，根据ADMACD，求得 DM 的长，从而求得

27、 PM 的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.【解答】解：当 P 点移 动到平行于 OA 且与 D 相切时，AOP 面积的最大，如图，菁优网P 是D 的切线，DP 垂直与切线，延长 PD 交 AC 于 M，则 DMAC，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4， . .AMD=ADC=90，DAM=CAD，ADMACD， ，AD=4，CD=3，AC=5，DM= ， ，AOP 的最大面积= .故答案为 .21.【答案】解：根据题意，得ADB=64，ACB =48 在 RtADB 中， tan64= ，则 BD= AB，6412在 RtACB 中， tan48= ，则 CB= AB，481011

28、CD=BC-BD 即 6= AB- AB 1011 12解得：AB= 14.7（米），1329建筑物的高度约为 14.7 米【解析】RtADB 中用 AB 表示出 BD、RtACB 中用 AB 表示出 BC，根据 CD=BC-BD 可得关于 AB 的方程，解方程可得 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件22.【答案】解：（1）CD AB，A+ACD=90 又A+B=90 B=ACD RtADCRtCDB = ；（2） = = ，1313又ACD=B ，CEDBFD；CDE=BDF；EDF=EDC+CDF=BDF+

29、CDF=CDB=90【解析】（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证 RtADCRtCDB； （2）易证得 CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出 CE：BF=CD：BD，由此易证得CEDBFD，即可得出CDE= BDF，由于 BDF 和 CDF 互余， 则 EDC 和CDF 也互余，由此可求得 EDF 的度数 此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比23.【答案】（1）证明：连接 OD，与 AF 相交于点 G，CE 与 O 相切于点 D，OD

30、CE，CDO=90，ADOC，ADO=DOC， DAO=BOC，OA=OD，ADO=DAO，DOC=BOC，在CDO 和 CBO 中，=CDOCBO，CBO=CDO=90，CB 是 O 的切线（2）由（1）可知DOA =BOC，DOC=BOC，ECB=60，DCO=BCO= ECB=30，12DOC=BOC=60，DOA=60，OA=OD，OAD 是等边三角形，AD=OD=OF， GOF=ADO，在ADG 和 FOG 中，=ADGFOG，SADG=SFOG，AB=6，O 的半径 r=3，S 阴 =S 扇形 ODF= = 603236032【解析】（1）欲证明 CB 是 O 的切 线，只要证明

31、BCOB，可以证明 CDOCBO 解决问题（2）首先证明 S 阴 =S 扇形 ODF，然后利用扇形面 积公式计算即可本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式， 记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型24.【答案】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，AB=CB，ABC=90，ABP+PBC=90，BPQ 是等腰直角三角形，BP=BQ，PBQ=90，PBC+CBQ=90ABP=CBQ，ABPCBQ，AP=CQ； 四边形 ABCD 是正方形，DAC=BAC=ACB=45，PQB=45，CEP=QEB，CBQ=CPQ，由得ABP CBQ

32、，ABP= CBQCPQ=APF，APF=ABP，APFABP， ，=AP2=AFAB=AFAD；（本题也可以连接 PD，证APFADP）（2）由得ABPCBQ，BCQ=BAC=45，ACB=45，PCQ=45+45=90，tanCPQ= ，由得 AP=CQ，又 AP：PC=1：3，tanCPQ= ，=13由得CBQ=CPQ，tanCBQ=tanCPQ= 13【解析】（1）证出ABP=CBQ，由 SAS 证明ABPCBQ 可得结论；根据正方形的性质和全等三角形的性 质得到DAC=BAC ，APF=ABP，根据 AA证明APF ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据全等三角形的性质得

33、到BCQ= BAC=45，可得 PCQ=90，根据三角函数和已知条件得到 tanCPQ= ，由中CBQ= CPQ 即可求解本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度25.【答案】证明：（1）如图 1，连接 BC， CD 为O 的直径，AB CD， = ，A=ABC，EC=AE，A=ACE，ABC=ACE，A=A，AECACB， ，=AC2=AEAB；（2）PB=PE，理由是：如图 2，连接 OB，PB 为O 的切线， OBPB，OBP=90，PBN+OBN=90，OBN+COB=90，PBN=COB，PEB=A+AC

34、E=2A，COB=2A，PEB=COB，PEB=PBN，PB=PE；（3）如图 3，N 为 OC 的中点，ON= OC= OB， 12 12RtOBN 中， OBN=30，COB=60，OC=OB，OCB 为等边三角形，Q 为O 任意一点，连接 PQ、OQ ，因为 OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小，Q 为 OP 与O 的交点时，PQ 最小，A= COB=30，12PEB=2A=60，ABP=90-30=60，PBE 是等边三角形，RtOBN 中，BN= =2 ，4222 3AB=2BN=4 ，3设 AE=x，则 CE=x，

35、EN=2 -x，3RtCNE 中，x 2=22+（2 -x） 2，3x= ，433BE=PB=4 - = ，3433833RtOPB 中，OP= = = ，2+2 (833)2+424321PQ= -4= 4321 421123则线段 PQ 的最小值是 421123【解析】（1）证明AECACB ，列比例式可得结论； （2）如图 2，证明 PEB=COB=PBN，根据等角 对 等边可得：PB=PE； （3）如图 3，先确定线段 PQ 的最小值时 Q 的位置：因为 OQ 为半径，是定值 4，则PQ+OQ 的值 最小时， PQ 最小，当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小，先求 AE 的长，从而得PB 的长，最后利用勾股定理求 OP 的长，与半径的差就是 PQ 的最小值 本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等 边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知 识，第三问有难度，确定 PQ 最小值时 Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相 结合，解决问题