2018年河北省中考数学模拟试卷（4）含答案解析

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1、2018 年河北省中考数学模拟试卷（4）一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分，1-10 小题，每小题 3 分，11-16 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）实数 ， ，0， 1 中，无理数是（ ）A B C0 D 1来源:学*科*网 Z*X*X*K2 （3 分）已知=35，则 的余角是（ ）A35 B55 C65 D1453 （3 分）如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是（ ）A B C D4 （3 分）小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半

2、圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A B C D5 （3 分）计算3（x2y）+4（x 2y）的结果是（ ）Ax 2y Bx+2y Cx2y D x+2y6 （3 分）将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）Ay=2（x 3） 25 By=2（x+3） 2+5 Cy=2（x3） 2+5 Dy=2（x +3） 257 （3 分）下列说法错误的是（ ）A角平分线上的点到角的两边的距离相等B直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C菱形的对角线相等D平行四边形是中心对称图形8 （3 分）一副三角板有两个直

3、角三角形，如图叠放在一起，则 的度数是（ ）A165 B120 C150 D1359 （3 分）如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1， 3） ，B （5，3） ，C（5，5） ，若反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点，则 k 的取值范围是（ ）A1 k 15 B3k15 C3k25 D15k 2510 （3 分）关于 x 的不等式组 的解集中至少有 5 个整数解，则整数a 的最小值是（ ）A3 B2 C1 D11 （2 分）已知函数 y=ax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ）A当 a=1 时，函数图象经过点（1，1）B当 a=2 时，函数图象与 x 轴没

4、有交点C若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大12 （2 分）如图所示，底边 BC 为 2 ，顶角 A 为 120的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则ACE 的周长为（ ）A2 +2 B2+ C4 D313 （2 分）我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1， x2=3，现给出另一个方程（2x+3） 2+2（2x+3）3=0 ，它的解是（ ）Ax 1=1，x 2=3 Bx 1=1，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=1，x 2=314 （2 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，A D=6，BD=4

5、 ，CD=3，E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD 、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A7 B9 C10 D1115 （2 分）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=10， = = ，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论： BOE=60；CED= DOB；DMCE；CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D416 （2 分）如图，动点 P 从（0 ，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ）A （1

6、 ，4 ） B （5，0） C （7，4） D （8，3）二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分，17-19 小题各 3 分，19 小题有 2 个空，每空 2 分）17 （3 分）比较大小：2 318 （3 分）如图，ABCD，AE 平分CAB 交 CD 于点 E，若C=50，则AED= 19 （4 分）一小球从距地面 1m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下（1）小球第 3 次着地时，经过的总路程为 m；（2）小球第 n 次着地时，经过的总路程为 m三、解答题（本大题共 7 小题，共计 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 （9 分）解不等式组： ，并

7、把解集在数轴上表示出来21 （9 分）如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接AD，AEAB=AC；AD=AE；BD=CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：； （1）以上三个命题是真命题的为 （直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明） 22 （9 分）某篮球运动员去年共参加 40 场比赛，其中 3 分球的命中率为0.25，平均每场有 12 次 3 分球未投中（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个 3 分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员 3 分球共出手 20 次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了 5 个 3

8、分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由23 （9 分）如图，一次函数 y=k1x+b（k 10）与反比例函数 y= （k 20）的图象交于点 A（1，2） ，B（m， 1） （1）求这两个函数的表达式；（2）在 x 轴上是否存在点 P（n ，0） ，使ABP 为直角三角形，请你直接写出P 点的坐标24 （10 分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD，AB=BC，ABC=90，若 AB=CD=1，ABCD，求对角线 BD 的长若 ACBD，求证：AD=CD，（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=9，点

9、P 是对角线 BD 上一点，且BP=2PD，过点 P 作直线分别交边 AD，BC 于点 E，F，使四边形 ABFE 是等腰直角四边形，求 AE 的长25 （10 分）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6） ，与 x 轴交于点 B（6，0） ，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=90 ，求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点P 的横坐标 以每秒 1 个单位长度的速度变动；与此同时，点 M 以每秒 1 个单

10、位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？26 （12 分）如图，这一会线段 AB=2，MN AB 于点 M，且 AM=BM，P 是射线MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE （1）当APB=30时，求B 的度数；（2）求证：AB 2=BCPB；（3）在点 P 的运动过程中，当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段

11、MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值2018 年河北省中考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分，1-10 小题，每小题 3 分，11-16 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）实数 ， ，0， 1 中，无理数是（ ）A B C0 D 1【解答】解：A、是无理数；B、是分数，是有理数，故选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是整数，是有理数，选项错误故选：A2 （3 分）已知=35，则 的余角是（ ）A35 B55 C65

12、D145【解答】解：根据定义 的余角度数是 9035=55故选：B3 （3 分）如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是（ ）A B C D【解答】解：该组合体共有 8 个小正方体，俯视图和主视图如图，该组合体共有两层，第一层有 5 个小正方体，第二层有三个小正方体，且全位于第二层的最左边，左视图应该是两层，每层两个，故选：B4 （3 分）小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【解答】解：如图所示：连接 BE，可得，A

13、E=BE，AEB=90，且阴影部分面积=S CEB = SABC = S 正方形 ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为： 故选：B5 （3 分）计算3（x2y）+4（x 2y）的结果是（ ）Ax 2y Bx+2y Cx2y D x+2y【解答】解：原式=3x+6y+4x8y=x2y，故选：A6 （3 分）将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）Ay=2（x 3） 25 By=2（x+3） 2+5 Cy=2（x3） 2+5 Dy=2（x +3） 25【解答】解：抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0） ，点（ 0，0）

14、向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位所得对应点的坐标为（3，5） ，所以平移得到的抛物线的表达式为 y=2（x3） 25故选：A7 （3 分）下列说法错误的是（ ）A角平分线上的点到角的两边的距离相等B直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C菱形的对角线相等D平行四边形是中心对称图形【解答】解：角平分线上的点到角的两边的距离相等，选项 A 正确；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，选项 B 正确；菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，选项 C 不正确；平行四边形是中心对称图形，选项 D 正确故选：C8 （3 分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则 的度数是（ ）A165 B

15、120 C150 D135【解答】解：给图中标上1、2，如图所示1+45+90=180，1=45，1=2+30，2=15又2+=180，=165故选：A9 （3 分）如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1， 3） ，B （5，3） ，C（5，5） ，若反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点，则 k 的取值范围是（ ）A1 k 15 B3k15 C 3k25 D15k 25【解答】解：，ABC 的三个 顶点分别为 A（1，3） ，B（5，3） ，C（5，5） ，反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点，13k 5 5，即 3k 25 ，故选：C10 （3 分）关于 x

16、的不等式组 的解集中至少有 5 个整数解，则整数a 的最小值是（ ）A3 B2 C1 D【解答】解： ，解得 xa，解得 x a则不等式组的解集是 ax a不 等式至少有 5 个整数解，则 a+ a4，解得 a a 的最小值是 2故选：B11 （2 分）已知函数 y=ax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ）A当 a=1 时，函数图象经过点（1，1）B当 a=2 时，函数图象与 x 轴没有交点C若 a0 ，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大【解答】解：A、当 a=1 时，函数解析式为 y=x22x1，当 x=1 时，y=1+

17、21=2，当 a=1 时，函数图象经过点（1，2） ，A 选项不符合题意；B、当 a=2 时，函数解析式为 y=2x2+4x1，令 y=2x2+4x1=0，则=4 24（ 2）（1）=80，当 a=2 时，函数图象与 x 轴有两个不同的交点，B 选项不符合题意；C、 y=ax 22ax1=a（x1） 21a，二次函数图象的顶点 坐标为（1，1a） ，当1 a 0 时，有 a1，C 选项不符合题意；D、y=ax 22ax1=a（x1） 21a，二次函数图象的对称轴为 x=1若 a0，则当 x1 时， y 随 x 的增大而增大，D 选项符合题意故选：D12 （2 分）如图所示，底边 BC 为 2

18、，顶角 A 为 120的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则ACE 的周长为（ ）A2 +2 B2+ C4 D3【解答】解：过 A 作 AFBC 于 F，AB=AC，A=120 ，B= C=30，BF=CF= ， = ，AB=AC=2，DE 垂直平分 AB，BE=AE，AE +CE=BC=2 ，ACE 的周长 =AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ，故选：A13 （2 分）我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1， x2=3，现给出另一个方程（2x+3） 2+2（2x+3）3=0 ，它的解是（ ）Ax 1=1，x 2=3 Bx 1=1，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3

19、 Dx 1=1，x 2=3【解答】解：把方程（2x+3 ） 2+2（2x +3） 3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，所以 2x+3=1 或 2x+3=3，所以 x1=1，x 2=3故选：D14 （2 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6 ，BD=4，CD=3，E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD 、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A7 B9 C10 D11【解答】解：BDDC， BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC= =5，E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，HG= BC=EF，EH=FG= AD，AD=6 ，EF=HG=2

20、.5，EH=GF=3，四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2（2.5+3）=11故选：D15 （2 分）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=10， = = ，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论： BOE=60；CED= DOB；DMCE；CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解： = = ，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， = ，DOB=BOE=COD= =60，正确；CED= COD= =30= ，正确； 的度数是 60， 的度数是 120，只有当 M 和 A 重合时，MD

21、E=60，CED=30，只有 M 和 A 重合时，DM CE ，错误；做 C 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，交 AB 于 N，连接 DF 交 AB 于 M，此时CM+DM 的值最短，等于 DF 长，连接 CD， = = = ，并且弧的度数都是 60，D= =60， CFD= =30，FCD=18060 30=90，DF 是O 的直径，即 DF=AB=10，CM+DM 的最小值是 10，正确；故选：C来源 :学科网16 （2 分）如图，动点 P 从（0 ，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为

22、（ ）A （1 ，4 ） B （5，0） C （7，4） D （8，3）【解答】解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3） ，20186=3362，当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 2 次反弹，点 P 的坐标为（7，4） 故选：C二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分，17-19 小题各 3 分，19 小题有 2 个空，每空 2 分）17 （3 分）比较大小：2 3【解答】解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出2 3故答案为：18 （3 分）如图，ABCD，AE 平分CAB 交 CD 于点 E，若C=50，则AED= 115 【解答】解：A

23、BCD，C + CAB=180，C=50，CAB=180 50=130，AE 平分CAB，EAB=65，ABCD，EAB+AED=180，AED=18065=115，故答案为：11519 （4 分）一小球从距地面 1m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下（1）小球第 3 次着地时，经过的总路程为 2.5 m；（2）小球第 n 次着地时，经过的总路程为 3 （ ） n2 m【解答】解：（1）由题意可得，小球第 3 次着地时，经过的总路程为：1+ =2.5（m） ，故答案为：2.5；（2）由题意可得，小球第 n 次着地时，经过的总路程为：1+2=3（ ） n2，故答案为：3（ ）

24、n2三、解答题（本大题共 7 小题，共计 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 （9 分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来【解答】解：解不等式得：x3，解不等式得：x4，不等式组的解集是 3x4 ，在数轴上表示为 21 （9 分）如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接 AD， AE AB=AC；AD=AE ； BD=CE 以此三个等式中的两个 作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：； （1）以上三个命题是真命题的为 ， ， （直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明） 【解答】解：（1） ， ，来源:学科网 ZXX

25、K（2）选择，证明：AB=AC，B= C，在ABD 和 ACE 中，ABD ACE（SAS） ，AD=AE22 （9 分）某篮球运动员去年共参加 40 场比赛，其中 3 分球的命中率为0.25，平均每场有 12 次 3 分球未投中（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个 3 分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员 3 分球共出手 20 次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了 5 个 3 分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由【解答】解：（1）设该运动员共出手 x 个 3 分球，根据题意，得=12，解得 x=640，0.25x=0.25640=160（个） ，答：运动员去年的比赛中共投中 1

26、60 个 3 分球；（2）小亮的说法不正确；3 分球的命中率为 0.25，是 40 场比赛来说的平均水平，而在其中的一场比赛中，命中率并不一定是 0.25，所以该运动员这场比赛中不一定投中了 5 个 3 分球23 （9 分）如图，一次函数 y=k1x+b（k 10）与反比例函数 y= （k 20）的图象交于点 A（1，2） ，B（m， 1） （1）求这两个函数的表达式；（2）在 x 轴上是否存在点 P（n ，0） ，使ABP 为直角三角形，请你直接写出P 点的坐标【解答】解：（1）把 A（ 1，2）代入 y= 得：2=k 2=2（1）=2y=把 B（m，1）代入 y= 得：m=2，B（2，1

27、）把（1，2） ，B（2，1 ）分别代入 y=k1x+b 得：y= x+1（2）解：A（1，2） ，B（2， 1） ，P （n ，0） ，AB 2=18，AP 2=（n+1 ） 2+4，BP 2=（n 2） 2+1，ABP 为直角三角形，当ABP=90时，AB 2+BP2=AP2，18+（n 2） 2+1=（n+1） 2+4，n=3，P（3，0） ，当BAP=90时，AB 2+AP2=BP2，18+（n+1 ） 2+4=（n2） 2+1，n=3，P（ 3，0） ，当APB=90时，AP 2+BP2=AB2，来源:学科网 ZXXK（n+1） 2+4+（n2） 2+1=18，n= ，P（ ，0）或

28、（ ，0）即：P 点的坐标（ 3，0） 、 （3，0） 、 （ ，0）或（ ，0） 24 （10 分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD，AB=BC，ABC=90，若 AB=CD=1，ABCD，求对角线 BD 的长若 ACBD，求证：AD=CD，（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=9，点 P 是对角线 BD 上一点，且BP=2PD，过点 P 作直线分别交边 AD，BC 于点 E，F，使四边形 ABFE 是等腰直角四边形，求 AE 的长【解答】解：（1）AB=CD=1，ABCD，四边形 ABCD 是平行

29、四边形，AB=BC，四边形 ABCD 是菱形，ABC=90 ，四边形 ABCD 是正方形，BD=AC= = 如图 1 中，连接 AC、BDAB=BC，AC BD，ABD=CBD，BD=BD，ABD CBD，AD=CD（2）若 EFBC ，则 AE EF，BFEF ，四边形 ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，当 AE=AB 时，如图 2 中，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形，AE=AB=5当 BF=AB 时，如图 3 中，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，

30、综上所述，满足条件的 AE 的长为 5 或 6.525 （10 分）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6） ，与 x 轴交于点 B（6，0） ，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=90 ，求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从 A 点出发沿线段 A B 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动；与此同时，点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止当两个动点移动 t 秒时，

31、求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数 表达式，并求 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）根据题意，把 A（0，6） ，B （6，0）代入抛物线解析式可得：，解得： ，抛物线的表达式为 y= x2+2x+6，（2）如图 1，过 P 作 PCy 轴于点 C，OA=OB=6，OAB=45，当PAB=90时，PAC=45，PC=AC，设 PC=m，则 AC=m，故 P（m，6+m） ，来源: 学科网把 P 点坐标代入抛物线解析式可得：6+m= m2+2m+6，解得：m=0 或 m=2，经检验，P（ 0，6）与点 A 重合，不合题意舍去，故所求 P 点坐标为：（ 2，

32、8） ，y= x2+2x+6= （x2） 2+8，抛物线的顶点坐标为（2，8） ，此时点 P（ 2，8）是抛物线的顶点（3）当两个动点移动 t 秒时，则 P（t， t2+2t+6） ，M （0，6t ） ，如图 2，作 PEx 轴于点 E，交 AB 于点 F，则 EF=EB=6t，F（t，6t ） ，FP= t2+2t+6（6 t）= t2+3t，点 A 到 PE 的距离竽 OE，点 B 到 PE 的距离等于 BE，S PAB = FPOE+ FPBE= FP（OE+BE ）= FPOB= （ t2+3t）6= t2+9t，且 SAMB = AMOB= t6=3t，S=S 四边形 PAMB=S

33、PAB +SAMB = t2+12t= （t4） 2+24，当 t=4 时，S 有最大值，最大值为 2426 （12 分）如图，这一会线段 AB=2，MN AB 于点 M，且 AM=BM，P 是射线MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE （1）当APB=30时，求B 的度数；（2）求证：AB 2=BCPB；（3）在点 P 的运动过程中，当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ

34、 的值【解答】解：（1）MNAB ，AM=BM，PA=PB，PAB=B，APB=30，B=75，（2）如图 1，连接 MD，MD 为PAB 的中位线，MD AP，MDB= APB，BAC=MDC=APB，又BAP=180APBB ，ACB=180 BAC B，BAP=ACB，BAP=B，ACB=B，AC=AB，由（1）可知 PA=PB，ABCPBA， = ，AB 2=BCPB；AC=AB；（3）如图 2，记 MP 与圆的另一个交点为 R，MD 是 RtMBP 的中线，DM=DP，DPM=DMP=RCD，RC=RP，ACR=AMR=90 ，AM 2+MR2=AR2=AC2+CR2，1 2+MR2=22+PR2，1 2+（4 PR） 2=22+PR2，PR= ，MR= ，当ACQ=90时，AQ 为圆的直径，Q 与 R 重合，MQ=MR= ；如图 3，当QCD=90时，在 RtQCP 中，PQ=2PR= ，MQ= ；如图 4，当QDC=90时，BM=1，MP=4， BP= ，DP= BP= ，cosMPB= = ，PQ= ，MQ= ；如图 5，当AEQ=90时，