2017-2018学年甘肃省白银市会宁四中高二（上）期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018 学年甘肃省白银市会宁高二（上）期末数学试卷一选择题（12 小题*5 分 =60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）函数 f（x ）=log 2（x 2+2x3）的定义域是（ ）A 3，1 B （3，1） C （ ，31，+） D （，3）（1，+）2 （5 分）已知集合 P=x|1x1，Q=x|0x 2，那么 PQ=（ ）A （ 1，2） B （0，1） C （ 1，0） D （1，2）3 （5 分）设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要

2、条件4 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2n5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D6 （5 分）椭圆 + =1 的离心率是（ ）A B C D7 （5 分）函数 y= sin2x+cos2x 的最小正周期为（ ）A B C D28 （5 分）过圆 x2+y22x8=0 的圆心，且与直线 x+2y=0 垂直的直线方程是（ ）A2xy+2=0 Bx+2y1=0 C2x+y 2=0 D2xy2=09 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“

3、远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏10 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）已知 F 是双曲线 C：x 2 =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则APF 的面积为（ ）A B C D12 （5 分）已知 A（2，5，1）

4、 ，B（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，则向量 与的夹角为（ ）A30 B45 C60 D90二填空题（4 小题*5 分 =20 分）13 （5 分）若直线 =1（a0，b 0）过点（1，2） ，则 2a+b 的最小值为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 15 （5 分）已知a n为等差数列， Sn 为其前 n 项和若 a1=6，a 3+a5=0，则 S6= 16 （5 分）有下列四个命题：垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两个平面平行；垂直于同一平面的两条直线平行其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编

5、号） 三解答题（6 小题共 70 分）17 （10 分）已知抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点 A（m，4）到其焦点的距离为 ，求 p 与 m 的值18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知 cosA=（1）求角 A 的大小；（2）若 b=2，c=3，求 a 的值19 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的前 n 项和为Tn， a1=1，b 1=1，a 2+b2=2（1）若 a3+b3=5，求b n的通项公式；（2）若 T3=21，求 S320 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F 2 在坐标轴上

6、，离心率为 ，且过点（4， ） 点 M（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证： =0；（3）求F 1MF2 面积21 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PC平面分别为线段 AB，BC 上的点，且（1）证明：DE平面 PCD（2）求二面角 CAPD 的余弦值22 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F1，F 2，且|F 1F2|=2，点（ 1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 AF 2B 的面积为 ，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程2017-2018 学年甘

7、肃省白银市会宁高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题（12 小题*5 分 =60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）函数 f（x ）=log 2（x 2+2x3）的定义域是（ ）A 3，1 B （3，1） C （ ，31，+） D （，3）（1，+）【解答】解：由题意得：x 2+2x30，即（x1） （x+3）0解得 x1 或 x3所以定义域为（，3）（1，+）故选 D2 （5 分）已知集合 P=x|1x1，Q=x|0x 2，那么 PQ=（ ）A （ 1，2） B （0，1） C （ 1，0） D （1，2）【解答】解：集合 P=x|1x1，Q=

8、x|0x 2，那么 PQ=x|1x2=（ 1，2） 故选：A3 （5 分）设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解： ， 为非零向量，存在负数 ，使得 = ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0”的充分不必要条件故选：A4 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2

9、n【解答】解：命题的否定是：nN，n 22 n，故选：C5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出结果为： ，故选：C6 （5 分）椭圆 + =1 的离心率是（ ）A B C D【解答】解：椭圆 + =1，可得 a=3，b=2，则 c= = ，所以椭圆的离心率为： = 故选：B7 （5 分）函数 y= s

10、in2x+cos2x 的最小正周期为（ ）A B C D2【解答】解：函数 y= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ） ，=2，T=，故选：C8 （5 分）过圆 x2+y22x8=0 的圆心，且与直线 x+2y=0 垂直的直线方程是（ ）A2xy+2=0 Bx+2y1=0 C2x+y 2=0 D2xy2=0【解答】解：圆的圆心为（1，0） ，直线 x+2y=0 的斜率为 ，所求直线的方程为 y=2（x 1） ，即 2xy2=0故选 D9 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 38

11、1 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B10 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB

12、 1 和 B1C1 的中点，则 AB1、BC 1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ） ，可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+1221（ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP 中， MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB 1 与 BC1 所成角的余弦值为 【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1，求BC 1D 即可；BC1= ，BD

13、= = ，C1D= ， +BD2= ，DBC 1=90，cosBC 1D= = 11 （5 分）已知 F 是双曲线 C：x 2 =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则APF 的面积为（ ）A B C D【解答】解：由双曲线 C：x 2 =1 的右焦点 F（2，0） ，PF 与 x 轴垂直，设（2 ，y） ，y0，则 y=3，则 P（ 2，3） ，AP PF，则丨 AP 丨=1，丨 PF 丨=3，APF 的面积 S= 丨 AP 丨丨 PF 丨= ，同理当 y0 时，则APF 的面积 S= ，故选 D12 （5 分）已知 A（2，5，1） ，B

14、（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，则向量 与的夹角为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：因为 A（2， 5，1） ，B（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，所以 ，所以 0（1）+31+30=3，并且| |=3 ，| |= ，所以 cos ， = = ， 的夹角为 60故选 C二填空题（4 小题*5 分 =20 分）13 （5 分）若直线 =1（a0，b 0）过点（1，2） ，则 2a+b 的最小值为 8 【解答】解：直线 =1（a0，b0）过点（1，2） ，则 + =1，由 2a+b=（2a+b）（ + ）=2 + + +2=4+ + 4+2 =4+4=8，当且仅当 =

15、，即 a= ，b=1 时，取等号，2a+b 的最小值为 8，故答案为：814 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z最大，由 得 D（1 ， ） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： 15 （5 分）已知a n为等差数列， Sn 为其前 n 项和若 a1=6，a 3+a5=0，则 S6= 6 【解答】解：a n为等差数列， Sn 为其前 n 项和a1=6，a 3+a5=0，a 1+2d+a1+4d=0，12+6d=0，解得 d=2，S 6= =3630=6故答案为：616 （5 分

16、）有下列四个命题：垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两个平面平行；垂直于同一平面的两条直线平行其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 【解答】解：如图在正方体 ABCDABCD中，对于，ABBB，BC BB，AB 、BC 不平行，故错；对于，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确故答案为：三解答题（6 小题共 70 分）17 （10 分）已知抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点 A（m，4）到其焦点的距离为 ，求 p 与 m 的值【

17、解答】解：由抛物线方程得其准线方程：y= 根据抛物线定义点 A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4+ = ，解得 p= ，抛物线方程为：x 2=y，将 A（m，4）代入抛物线方程，解得 m=218 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知 cosA=（1）求角 A 的大小；（2）若 b=2，c=3，求 a 的值【解答】解：（1）ABC 中，cosA= ，0A A= （2）由余弦定理可得 a2=b2+c22bcosA=4+912 =7，a= 19 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的前 n 项和为Tn， a1

18、=1，b 1=1，a 2+b2=2（1）若 a3+b3=5，求b n的通项公式；（2）若 T3=21，求 S3【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，a1=1，b 1=1，a 2+b2=2，a 3+b3=5，可得1+d+q=2，1+2d+q 2=5，解得 d=1，q=2 或 d=3，q=0（舍去） ，则b n的通项公式为 bn=2n1，n N*；（2）b 1=1，T 3=21，可得 1+q+q2=21，解得 q=4 或5，当 q=4 时，b 2=4，a 2=24=2，d=2（1）= 1，S 3=123=6；当 q=5 时，b 2=5，a 2=2（5）=7，d

19、=7（1）=8，S 3=1+7+15=2120 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4， ） 点 M（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证： =0；（3）求F 1MF2 面积【解答】解：（1）e= ，可设双曲线方程为 x2y2=过点（4， ） ，16 10=，即 =6，双曲线方程为 x2y2=6（2）证明： =（3 2 ， m） ， =（2 3， m） ， =（3+2 ）（3 2 ）+m 2 =3+m2，M 点在双曲线上，9m 2=6，即 m23=0， =0（3）F 1MF2 的底|F 1F2|=4 ，由（2）知 m= F 1MF

20、2 的高 h=|m|= ，SF 1MF2=621 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PC平面分别为线段 AB，BC 上的点，且（1）证明：DE平面 PCD（2）求二面角 CAPD 的余弦值【解答】证明：（1）PC平面 ABC，DE平面 ABC，PCDE，CDE 为等腰直角三角形，CDDEPCCD=C ，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，DE平面 PCD解：（2）由（1）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE= 如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则 DF=FC=FE=1，又已知 EB=1，故 FB=2由ACB= ，得 DFAC， ，故 AC= DF= 以 C 为坐标原点，分

21、别以 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 C（ 0，0，0） ，P （0，0，3） ，A（ ，0，0） ，E（0，2，0） ，D（1，1，0） ，=（1，1，0） ， =（1， 1，3 ） ， =（ ， 1，0） 设平面 PAD 的法向量为 =（x 1，y 1，z 1） ，由 =0， =0，得 ，取 x1=2，得 =（2，1，1） 由（1）可知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 = =（1， 1，0） ，cos = = ，故所求二面角 APDC 的余弦值为 22 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F1，F 2，且|F

22、1F2|=2，点（ 1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 AF 2B 的面积为 ，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程【解答】解：（）设椭圆的方程为 ，由题意可得：椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1（ 1，0） ，F 2（1，0） a=2，又 c=1，b 2=41=3，故椭圆的方程为 （）当直线 lx 轴，计算得到：， ，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为：y=k（x +1） ，由 ，消去 y 得（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212=0显然0 成立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，又即 ，又圆 F2 的半径 ，所以 ，化简，得 17k4+k218=0，即（k 21） （17k 2+18）=0，解得 k=1所以， ，故圆 F2 的方程为：（x1） 2+y2=2