2018年上海市松江区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2018 年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1 （4 分）已知 ，那么 的值为（ ）A B C D2 （4 分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）Ay=x3 By=x 2（x +1） 2 Cy=x （x 1）1 D3 （4 分）已知飞机离水平地面的高度为 5 千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标 A 的俯角为 ，那么这时飞机与目标 A 的距离为（ ）A B5sin C D5cos4 （4 分）已知非零向量 ，在下列条件中，不能判定 的

2、是（ ）A B C D5 （4 分）在ABC 中，边 BC=6，高 AD=4，正方形 EFGH 的顶点 E、F 在边 BC上，顶点 H、 G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A3 B2.5 C2.4 D26 （4 分）如图，已知在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，AD：BD=2 ：1，点 F 在 AC 上，AF：FC=1：2，联结 BF，交 DE 于点G，那么 DG： GE 等于（ ）A1 ：2 B1：3 C2：3 D2：5二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】来源: 学.

3、科.网 Z.X.X.K7 （4 分）已知线段 a=4， b=1，如果线段 c 是线段 a、b 的比例中项，那么 c= 8 （4 分）在比例尺是 1：15000000 的地图上，测得甲乙两地的距离是 2 厘米，那么甲乙两地的实际距离是 千米9 （4 分）如果抛物线 y=（a+2 ）x 2+x1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 10 （4 分）已知一个斜坡的坡度 i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是 度11 （4 分）线段 AB=10，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 APBP，则 AP= （用根式表示） 12 （4 分）已知等腰ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6 ， G 是ABC 的重

4、心，那么AG= 13 （4 分）已知直线 abc，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点A，C，E，B， D，F，AC=4，CE=6，BD=3 ，则 BF= 14 （4 分）已知平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 P 的坐标为（5，12 ） ，那么 OP 与 x 轴正半轴所夹角的余弦值为 15 （4 分）已知抛物线 y=f（x）开口向下，对称轴是直线 x=1，那么 f（2） f（4） （填“” 或“ ”）16 （4 分）把抛物线 y=x2 向下平移，如果平移后的抛物线经过点 A（2，3） ，那么平移后的抛物线的表达式是 17 （4 分）我们定义：关于 x 的函数 y=ax2+

5、bx 与 y=bx2+ax（其中 ab）叫做互为交换函数如 y=3x2+4x 与 y=4x2+3x 是互为交换函数如果函数 y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于 x 轴对称，那么 b= 18 （4 分）如图，ABC 中，C=90，AC=BC=4 ，将ABC 翻折，使得点 A 落在 BC 的中点 A处，折痕分别交边 AB、AC 于点 D、点 E，那么 AD：AE 的值为 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 80 分）19 （10 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，二次函数y=x2+bx+ c 的图象经过点 A（3 ，0） 、点 B（0，3） ，顶点为 M（1）求该二

6、次函数的解析式；（2）求OBM 的正切值20 （10 分）如图，已知ABC 中，D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的点，且EF AB， =2（1）设 = 试用 表示 ；（2）如果ABC 的面积是 9，求四边形 ADEF 的面积21 （10 分）如图，已知ABC 中，AB=AC= ，BC=4线段 AB 的垂直平分线DF 分别交边 AB、AC、BC 所在的直线于点 D、E、F （1）求线段 BF 的长；（2）求 AE： EC 的值22 （10 分）某条道路上通行车 辆的限速 60 千米 /时，道路的 AB 段为监测区，监测点 P 到 AB 的距离 PH 为 50 米（如图） 已知点 P 在

7、点 A 的北偏东 45方向上，且在点 B 的北偏西 60方向上，点 B 在点 A 的北偏东 75方向上，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：1.7， 1.4） 23 （12 分）已知四边形 ABCD 中，BAD=BDC=90，B D2=ADBC（1）求证：AD BC；（2）过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E请完善图形并求证： CD2=BEBC24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 AB=4，又 P 是抛物线上位于第一象限

8、的点，直线 AP 与 y 轴交于点 D，与对称轴交于点 E，设点 P 的横坐标为 t（1）求点 A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当 AE： EP=1：2 时，求点 E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为 M，与 y 轴的交点为 C，当四边形 CDEM 是等腰梯形时，求 t 的值25 （14 分）如图，已知ABC 中，ACB=90 ，AC=1，BC=2，CD 平分ACB交边 AB 与点 D，P 是射线 CD 上一点，联结 AP（1）求线段 CD 的长；（2）当点 P 在 CD 的延长线上，且PAB=45时，求 CP 的长；（3）记点 M 为边 AB 的中点，联结 CM、PM，若CMP 是等腰三角形

9、，求 CP的长2018 年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1 （4 分）已知 ，那么 的值为（ ）A B C D【解答】解： = ，设 a=k，b=3k（k0） ，则 = = 故选：C2 （4 分）下列函数中，属于 二次函数的是（ ）Ay=x3 By=x 2（x +1） 2 Cy=x （x 1）1 D【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、整理后是二次函数，故本选项正确；D、y

10、与 x2 是反比例函数关系，故本选项错误故选：C3 （4 分）已知飞机离水平地面的高度为 5 千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标 A 的俯角为 ，那么这时飞机与目标 A 的距离为（ ）A B5sin C D5cos【解答】解：如图：BC 为飞机离地面的高度，所以在 RtABC 中，BAC=，BC=5 ，则 AB= = ，故选：A4 （4 分）已知非零向量 ，在下列条件中，不能判定 的是（ ）A B C D【解答】解：A、 ， ， ，故本选项，不符合题意；B、 =2 ， =3 ， ，故本选项，不符合题意；C、 =5 ， ，故本选项，不符合题意；D、| |=2| |，不能判断 ，故本选项，符

11、合题意；故选：D5 （4 分）在ABC 中，边 BC=6，高 AD=4，正方形 EFGH 的顶点 E、F 在边 BC上，顶点 H、 G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A3 B2.5 C2.4 D2【解答】解：四边形 EFMN 是正方形，EHBC ，EH=EF，AEHABC ，又ADBC，ADBC，EH=EF=MD， = ，设 EH=x，则 AM=3x， = ，解得：x=2.4，EH=2.4答：这个正方形的边长为 2.4故选：C6 （4 分）如图，已知在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，AD：BD=2 ：1，点 F 在 AC 上，AF：FC

12、=1：2，联结 BF，交 DE 于点G，那么 DG： GE 等于（ ）A1 ：2 B1：3 C2：3 D2：5【解答】解：DEBC， = =2，CE：CA=1 ： 3， = = ，AF：FC=1：2，AF：AC=1 ： 3，AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设 EG=m，则 BC=2m，DE= m，DG= mm= m，DG：GE= m：m=1 ：3，故选：B二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7 （4 分）已知线段 a=4， b=1，如果线段 c 是线段 a、b 的比例中项，那么 c= 2 【解答】解：根据比例中项的概念结

13、合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积则 c2=41， c=2， （线段是正数，负值舍去） ，故 c=2；故答案为 28 （4 分）在比例尺是 1：15000000 的地图上，测得甲乙两地的距离是 2 厘米，那么甲乙两地的实际距离是 300 千米【解答】解：设这两地的实际距离是 xcm，根据题意得： = ，解得：x=30000000，30000000cm=300km，这两地的实际距离是 300km故答案为：3009 （4 分）如果抛物线 y=（a+2 ）x 2+x1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 a 2 【解答】解：抛物线 y=（a+2）x 2+x1 的开口向下，a +2

14、0 ，得 a2 ，故答案为：a210 （4 分）已知一个斜坡的坡度 i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是 30 度【解答】解：tan=1 ： = ，坡角=3011 （4 分）线段 AB=10，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 APBP，则 AP= （） （用根式表示） 【解答】解：点 P 是 AB 的黄金分割点，APBP，AP=AB ，线段 AB=10，AP=10 =5 5；故答案为：5 5来源 :学科网 ZXXK12 （4 分）已知等腰ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6 ， G 是ABC 的重心，那么AG= 【解答】解：如图延长 AG 交 BC 于 H来源:Zxxk.ComG 是重心，

15、BH=CH=3，AB=AC=5，AHBC ，AH= =4，AG= AH=故答案为13 （4 分）已知直线 abc，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点A，C，E，B， D，F，AC=4，CE=6，BD=3 ，则 BF= 7.5 【解答】解：abc， = ，即 = ，解得 DF=4.5，BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.514 （4 分）已知平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 P 的坐标为（5，12 ） ，那么 OP 与 x 轴正半轴所夹角的余弦值为 【解答】解：如图作 PAx 轴，垂足为 A，OP=cosPOA= ，故答案为15 （4 分）已知抛物线 y=

16、f（x）开口向下，对称轴是直线 x=1，那么 f（2） f（ 4） （填“” 或“ ”）【解答】解：抛物线 y=f（x ）开口向下，对称轴是直线 x=1，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，f（ 2）f（4） 故答案为：16 （4 分）把抛物线 y=x2 向下平移，如果平移后的抛物线经过点 A（2，3） ，那么平移后的抛物线的表达式是 y=x 21 【解答】解：设所求的函数解析式为 y=x2+k，点 A（2，3）在抛物线上，3=2 2+k解得：k=1，平移后的抛物线的表达式是 y=x21故答案为：y=x 2117 （4 分）我们定义：关于 x 的函数 y=ax2+bx 与 y=bx2+a

17、x（其中 ab）叫做互为交换函数如 y=3x2+4x 与 y=4x2+3x 是互为交换函数如果函数 y=2x2+bx 与它的交换函 数图象顶点关于 x 轴对称，那么 b= 2 【解答】解：由题意函数 y=2x2+bx 的交换函数为 y=bx2+2x，函数 y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于 x 轴对称， = ，解得 b=2故答案为：218 （4 分）如图，ABC 中，C=90，AC=BC=4 ，将ABC 翻折，使得点 A 落在 BC 的中点 A处，折痕分别交边 AB、AC 于点 D、点 E，那么 AD：AE 的值为 【解答】解：连接 AA交 DE 于点 M，过点 A作 ANAB 于点

18、 N，如图所示AC=BC=4，C=90 ，A为线段 BC 的中点，AC=AB=2， AA= =2 ，AB=4 ，AM= AA= ，AN=BN= ，AN=ABBN=3 EAM=AAC，AME=C ，AEMAAC ， = ，AE= 同理：ADMAAN， = ，AD= ， = 故答案为： 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 80 分）19 （10 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点 A（3，0） 、点 B（0，3） ，顶点为 M（1）求该二次函数的解析式；（2）求OBM 的正切值【解答】解：（1）把 A（3，0） 、B （0，3）代入 y

19、=x2+bx+c 得 ，解得 ，所以 y=x24x+3；（2）作 MHy 轴于 H，如图，y=x 24x+3=（x2） 21，M（ 2，1） ，MHy 轴，H （0，1） ，在 RtBMH 中，tanHBM= = ，即OBM 的正切值为 20 （10 分）如图，已知ABC 中，D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的点，且EF AB， =2（1）设 = 试用 表示 ；（2）如果ABC 的面积是 9，求四边形 ADEF 的面积【解答】解：（1）EFAB， = ，又 =2， = =2， = = ，B= B ，BDE BAC，BDE= A ，DEAC，则四边形 ADEF 是平行四边形， = ，

20、= = ， = = ，则 = + = + ；（2）由（1）知 = 、 = ，EF AB，DEAC，CFE CAB，BDEBAC， =（ ） 2= ， =（ ） 2= ，S ABC =9，S CFE =4、S BDE =1，则四边形 ADEF 的面积=S ABC SCFE SBDE =421 （10 分）如图，已知ABC 中，AB=AC= ，BC=4线段 AB 的垂直平分线DF 分别交边 AB、AC、BC 所在的直线于点 D、E、F 来源:学科网 ZXXK（1）求线段 BF 的长；（2）求 AE： EC 的值【解答】解：（1）作 AHBC 于 H，如图，AB=AC= ，BH=CH= BC=2，在

21、 RtABH 中， AH= =4，DF 垂直平分 AB，BD= ， BDF=90ABH=FBD，RtFBDRtABH， = = ，即 = = ，BF=5，DF=2 ；（2）作 CG AB 交 DF 于 G，如图，BF=5，BC=4，CF=1，CGBD， = = ，CGAD ， = = =522 （10 分）某条道路上通行车辆的限速 60 千米/时，道路的 AB 段为监测区，监测点 P 到 AB 的距离 PH 为 50 米（如图） 已知点 P 在点 A 的北偏东 45方向上，且在点 B 的北偏西 60方向上，点 B 在点 A 的北偏东 75方向上，那么车辆通过 AB 段的时间在 多少秒以内，可认

22、定为超速？（参考数据：1.7， 1.4） 【解答】解：如图，由题意知CAB=75、CAP=45、PBD=60，PAH=CABCAP=30 ，PHA=PHB=90，PH=50 ，AH= = =50 ，ACBD，ABD=180 CAB=105，PBH=ABDPBD=45，则 PH=BH=50，AB=AH+BH=50 +50，60 千米/ 时 = 米/秒，时间 t= =3+3 8.1（秒） ，即车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内，可认定为超速23 （12 分）已知四边形 ABCD 中，BAD=BDC=90，BD 2=ADBC（1）求证：AD BC；（2）过点 A 作 AECD 交 BC 于点

23、 E请完善图形并求证： CD2=BEBC【解答】 （1）证明：BAD=BDC=90 ，BD 2=ADBC， ，ADB DBC，ADB=DBC，ADBC；（2）如右图所示，ADBC，AEDC，四边形 ADEC 是平行四边形， AEB=BCD，AE=DC，又BAD=BDC=90， ADBC ，BAD+ABE=180，ABE=90，ABE=BDC，ABEBDC， ，AEDC=BEBC，AE=DC，CD 2=BEBC24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 AB=4，又

24、 P 是抛物线上位于第一象限的点，直线 AP 与 y 轴交于点 D，与对称轴交于点 E，设点 P 的横坐标为 t（1）求点 A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当 AE： EP=1：2 时，求点 E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为 M，与 y 轴的交点为 C，当四边形 CDEM 是等腰梯形时，求 t 的值【解答】解：（1）AB= 4，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，点 A 到对称轴的距离为 2，A（1 ，0） ，B（3 ，0） ，y=（x+1） （x 3）整理得：y=x 22x3；（2）如下图所示：过点 P 作 PFx 轴，垂足为 FEGPF，AE：EP=1：2， = = 又

25、AG=2，AF=6，F（5，0） 当 x=5 时，y=12，EG=4，E （1 ，4 ） 来源: 学科网 ZXXK（3）CDEM ，ADO=AEM又四边形 CDEM 是等腰梯形，ADO=CMEADO=CMEy=x 22x3，C （0，3） ， M（1，4）tanDAO=tanCME=1OA=OD=1直线 AP 的解析式为 y=x+1把 y=x+1 代入 y=x22x3 得：x+1=x 22x3，解得：x=4 或 x=1（舍去）点 P 的横坐标为 4，即 t=425 （14 分）如图，已知ABC 中，ACB=90 ，AC=1，BC=2，CD 平分ACB交边 AB 与点 D，P 是射线 CD 上一

26、点，联结 AP（1）求线段 CD 的长；（2）当点 P 在 CD 的延 长线上，且PAB=45时，求 CP 的长；（3）记点 M 为边 AB 的中点，联结 CM、PM，若CMP 是等腰三角形，求 CP的长【解答】解：（1）如图 1，过 D 作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，DF 平分ACB，ACB=90，DE=DF，DEC=ACB=CFD=90，四边形 ECFD 是正方形，设 DF=x，则 CF=x，BF=2x，DFAC，BDF BAC， ， ，x= ，CDE 是等腰直角三角形，CD= ；（2）如图 2，PAB=PCB=45，C 、B、P、A 四点共圆，ACB+APB=180，ACB=9

27、0 ，APB=90，APB 是等腰直角三角形，AP=BP，过 P 作 PM AC 于 M，PNBC 于 N，连接 PB，PM=PN，RtPMARtPNB（HL） ，AM=BN，由（1）知：四边形 MCNP 是正方形，CM=CN，设 AM=x，则 PM=CM=x+1，CN=2 x，x+1=2x，x= ，CM= ，CP= ；（3）若CMP 是等腰三角形，存在三种情况：当 PM=CM 时，如图 3，同理作出辅助线，PCN=45 ，PCM 是等腰直角三角形，CN=PN，同（2）得：CP= ；RtACB 中，AC=1，BC=2，AB= ，M 是 AB 的中点，CM=CP= AB= ；作 CM 的中垂线交 CD 于 P，则 CP=PM，过 M 作 MHCD 于 H，由知：CG（就是 CP= ）= ，CH= ，CPNCMH ， ， = ，CP= ，综上所述，CP 的长是 或 或