北师大版九年级下册数学《第2章二次函数》单元检测试卷有答案
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1、 九年级下册(北师大版)数学单元检测试卷:第 2 章 二次函数一选择题(共 10 小题)1抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 的交点的个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2对于抛物线 y=2(x+1) 2+3,下列结论:抛物线的开口向下;对称轴为直线 x=1:顶点坐标为(1,3 ) ;x1 时, y 随 x 的增大而减小其中正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D43已知二次函数 y=x2x+a(a0) ,当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,则下列结论正确的是( )Ax 取 m1 时的函数值小于 0Bx 取 m1 时的函数值大于 0Cx 取 m1 时的函数值
2、等于 0Dx 取 m1 时函数值与 0 的大小关系不确定4若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1,将此抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线过点( )A (3,6) B (3,0) C (3 ,5) D (3,1)5如图,抛物线 y= x2+ x+2 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,P 为此抛物线对称轴 l 上任意一点,则APC 的周长的最小值是( )A2 B3 C5 D +6二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论
3、: abc 0;2a+b=0;m 为任意实数,则 a+bam 2+bm;ab+c0;若 ax12+bx1=ax22+bx2,且 x1x 2,则 x1+x2=2其中正确的有( )A B C D7下列各点中,抛物线 y=x24x4 经过的点是( )A (0,4) B (1,7 ) C (1,1) D (2,8)8将函数 y=kx2与 y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中,可能的是( )A BC D9已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个交点分别为(1,0) , (3,0 ) 对于下列命题:2a+b=0;abc 0 ;b 24ac0;8a+c0其中正确的有( )
4、A3 个 B2 个 C1 个 D0 个10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论: ac0 ;ab+c0;当 x0 时,y0;方程 ax2+bx+c=0(a0 )有两个大于 1 的实数根其中正确的结论有( )A B C D二填空题(共 6 小题)11已知二次函数 y=3 (x1 ) 2+k 的图象上三点 A(2 ,y 1) ,B (3,y 2) ,C (4,y 3) ,则y1、y 2、y 3的大小关系是 12若 A( ,y 1) 、B( ,y 2) 、C(3,y 3)为二次函数 y=x 24x+5 的图象上的三点,则y1、y 2、y 3的大小关系是 (用“ ”连接) 1
5、3函数 y=3(x+2) 2的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标为 14已知抛物线 y=x 2+ bx+2b,在自变量 x 的值满足1x2 的情况下,函数有最大值 m,则 m 的最小值是 15如图,已知抛物线和 x 轴交于两点 A、B,和 y 轴交于点 C,已知 A、B 两点的横坐标分别为1,4,ABC 是直角三角形,ACB=90 ,则此抛物线顶点的坐标为 16对于二次函数 y=5x2+bx+c,甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法,甲:图象对称轴是 x=1;乙:函数最小值为 3;丙:当 x=1 时,y=0;丁:点(2 ,8)在函数图象上其中有且仅有一个说法是错误的,则哪位同学的说法是错误的 三解答题
6、(共 9 小题)17一个二次函数图象上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表:x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 0 2 0 m 6 (1)求这个二次函数 的表达式;(2)求 m 的值;(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当 y0 时,x 的取值范围18某商场销售一种商品,进价为每个 20 元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于 60 元,经调查发现,每天的销售量 y(个)与每个商品的售价 x(元)满足一次函数关系,其部分数据如下所示:每个商品的售价x(元) 30 40 50 每天的销售量y(个)100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的
7、函数表达式;(2)设商场每天获得的总利润为 w(元) ,求 w 与 x 之间的函数表达式;(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?19如图,在直角坐标系中,0 是坐标原点,直线 AB 交 x 轴于点 A(4,0 ) ,交 y 轴于点 B,抛物线y=ax2+2ax+3(a0 )经过 A,B 两点P 是线段 AO 上的一动点,过点 P 作 PCx 轴交直线 AB 于点C,交抛物线于点 D(1)求 a 及 AB 的长(2)连结 PB,若 tanABP= ,求点 P 的坐标(3)连结 BD,以 BD 为边作正方形 BDEF,是否存在点 P 使点 E 恰好
8、落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(4)连结 OC,若 SBDC :S OBC =1:2 ,将线段 BD 绕点 D 按顺时针方向旋转,得到 DB则在旋转的过程中,当点 A,B 到直线 DB的距离和最大时,请直接写出点 B的坐标20如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B(0,1) ,抛物线 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n ) (1)求 n 的值和抛物线的解析式;(2)点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0t4) DEy 轴交直线 l 于点 E,点 F 在直线 l 上,且四
9、边形 DFEG 为矩形(如图 2) 若矩形 DFEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值;(3)M 是平面内一点,将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后,得到A 1O1B1,点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点 A1的横坐标21如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A(3,0) ,B (1,0) ,与 y 轴相交于( 0, ) ,顶点为 P(1)求抛物线解析式;(2)在抛物线是否存在点 E,使ABP 的面积等于ABE 的面积?若存在,求出符合条件的点 E 的坐标;若不存在
10、,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点 F,使得以 A、B、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点 F 的坐标,并求出平行四边形的面积22如图,抛物线 y=x 2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 在直线 x=3 上,直线 x=3 与 x 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 从点 A 出发,以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动,点 Q 从点 C 出发,以每秒 2个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动,点 P,Q 同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒
11、(t 0 ) 以 PQ 为边作矩形 PQNM,使点 N 在直线 x=3 上当 t 为何值时,矩形 PQNM 的面积最小?并求出最小面积;直接写出当 t 为何值时,恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上23建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点 E 到桥下水面的距离 EF 为 3 米时,水面宽 AB 为 6 米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为 CD,且 CD=2 米,此时水位上升了多少米?24如图,点 P 为抛物线 y= x2上一动点(1)若抛物线 y= x2是由抛物线 y= (x+2) 21 通过图象平移得到的,请写出平移的过程;(
12、2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N,且平行于 x 轴,点 N 的坐标为(0,1) ,过点 P 作 PMl 于 M问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立?若存在,求出点 F 的坐标:若不存在,请说明理由问题解决:如图二,若点 Q 的坐标为(1,5) ,求 QP+PF 的最小值参考答案与试题解析一选择题(共 10 小题)1 【解答】解:由 ,消去 y 得到:2x 2+x4=0,=1(32)=330,抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 有两个交点,来源: 学,科,网故选:C2 【解答】解:a=2 0,抛物线的开口向下,正确;对称轴为直线 x=1,故本小题错
13、误;顶点坐标为(1,3 ) ,正确;x1 时,y 随 x 的增大而减小,x1 时, y 随 x 的增大而减小一定正确;综上所述,结论正确的个数是共 3 个故选:C3 【解答】解:由题意,函数的图象为:抛物线的对称轴 x= ,设抛物线与 x 轴交于点 A、B AB1,x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,观察图象可知,x=m1 在点 A 的左侧,x=m1 时,y0 ,故选:B4 【解答】解:某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1,该定弦抛物线过点(0,0 ) 、 (2 ,0) ,该抛物线解析式为 y=x(x2)=x 22x=(x1) 21将此抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到
14、新抛物线的解析式为 y=(x1+2)213=( x+1) 24当 x=3 时,y=(x+1) 24=0,得到的新抛物线过点(3,0 ) 故选:B5 【解答】解:作点 C 关于直线 l 的对称点 C ,连接 AC交直线 l 于 P,连接 PC,则APC 的周长的最小,由抛物线的对称性可知,点 C在抛物线上,当 x=0 时,y=2,点 C 的坐标为(0, 2) ,点 C的纵坐标为 2,2= x2+ x+2,解得,x 1=0,x 2=3,则点 C的横坐标为 3, x2+ x+2=0,x1=1,x 2=4,则点 A 的坐标为( 1,0) ,AC= =2 ,AC= = ,APC 的周长的最小值是 3 ,
15、故选:B6 【解答】解:抛物线开口向下,a 0,抛物线对称轴为直线 x= =1,来源:学科网 ZXXKb=2a 0,即 2a+b=0,所以正确;抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,c0,abc0 ,所以 错误;抛物线对称轴为直线 x=1,函数的最大值为 a+b+c,当 m1 时,a+b+cam 2+bm+c,即 a+bam 2+bm,所以错误;抛物线与 x 轴的一个交点在(3 ,0 )的左侧,而对称轴为直线 x=1,抛物线与 x 轴的另一个交点在(1 ,0)的右侧当 x=1 时,y 0,ab+c 0,所以错误;ax 12+bx1=ax22+bx2,ax 12+bx1ax 22bx 2=0,a
16、( x1+x2) (x 1x 2)+b(x 1x 2)=0,(x 1x 2)a (x 1+x2)+b=0,而 x1x 2,a( x1+x2)+b=0 ,即 x1+x2= ,b=2a,x 1+x2=2,所以正确综上所述,正确的有故选:C7 【解答】解:当 x=0 时,y=x 24x4=4;当 x=1 时,y=x 24x4=7;当 x=1 时,y=x24x4=1;当 x=2 时,y=x 24x4=8,所以点(1,7)在抛物线 y=x24x4 上故选:B8 【解答】解:当 k0 时,函数 y=kx2的图象是开口向上,顶点在原点的抛物线,y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限,是一条直线,故选项 A
17、、B 均错误,当 k0 时,函数 y=kx2的图象是开口向下,顶点在原点的抛物线,y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限,是一条直线,故选项 C 正确,选项 D 错误,故选:C9 【解答】解:A因为点(1,0) , (3,0 )在二次函数上,所以 ab+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得 8a+4b=0,故 2a+b=0,则正确; 由图形可知,该二次函数的 a0,c0,顶点的横坐标 =10 ,则 b0 ,知 abc0,故错误;函数图象与 x 轴两个交点,可知 b24ac0,故正确;由图象可知 ,则 b=2a,因(3 ,0)在函数图象上,故 9a+3b+c=0,将 b=2a 代入得3a+
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