全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学（理）试卷（含答案）

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1、20182019 年度高三全国卷五省优创名校联考数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 UR，集合 Mx|3x 213x100 和 Nx|x2k，kZ的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A1 个B2 个C3 个D无穷个2 4ii12A4B4C4iD4i3如图 1 为某省 2018 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A2018 年 14 月的业务量， 3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件B2018 年 14

2、月的业务量同比增长率均超过 50，在 3 月最高C从两图来看，2018 年 1 4 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长4设 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是603xy 1xyzA （，81 ，）B （，101，）C8，1D10，15某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A 463B644C646D6486有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于 1000 的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是Ai6Bi7Ci8Di97在直角坐标系 xOy 中，F 是椭

3、圆 C： （ab0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶21xy点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为A 2B 1C 3D 148已知 f（x）为定义在 R 上的奇函数，g（x）f（x）x，且当 x（ ，0 时，g（x）单调递增，则不等式 f（2x1）f（x2）x3 的解集为A （3，）B3，）C （，3D （，3）9函数 f（x）ln|x| x 2x 的图象大致为A B C D10用 0 与 1 两个数字随机填入如图所示的 5 个格子里，每个格子填一个数字，并

4、且从左到右数，不管数到哪个格子，总是 1 的个数不少于 0 的个数，则这样填法的概率为A 532B 16CD11已知函数 f（x）3sin（x） （ 0，0） ， ，对任意 xR 恒有()03f，且在区间（ ， ）上有且只有一个 x1 使 f（x 1）3，则 的最大值为()|3f 15A 574B 1C 0D 17412设函数 f（x）在定义域（ 0，）上是单调函数，且 ，ff （x）e xx e若(0,)x不等式 f（x）f（x）ax 对 x（0，）恒成立，则 a 的取值范围是A （，e2B （，e 1C （，2e 3D （，2e1第卷二、填空题：本大题共 4 小题将答案填在答题卡中的横线上

5、13已知单位向量 a，b 的夹角为 60，则 |2|_3ab14已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 6，AB4，点 D 为棱 BB1 的中点，则四棱锥 CA1ABD的表面积是_15在（x 22x3） 4 的展开式中，含 x6 的项的系数是_16已知双曲线 C： （a0，b0） ，圆 M： 若双曲线 C 的一条渐21xy22()4bxay近线与圆 M 相切，则当 取得最大值时，C 的实轴长为_2249三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17设数列a n的前 n 项和为 Sn

6、，a 13，且 Snna n1 n 2n（1）求a n的通项公式；（2）若数列b n满足 ，求b n的前 n 项和 Tn221()nba18ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 2()3sinacbaC（1）求 B 的大小；（2）若 b8，ac ，且ABC 的面积为 ，求 a319如图所示，在四棱锥 SABCD 中，SA 平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，其中ABCD，ADC90，ADAS2，AB 1，CD 3，且 CES（1）若 ，证明：BE CD；3（2）若 ，求直线 BE 与平面 SBD 所成角的正弦值20在直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆 Q：

7、（x2） 2 y21 外切，且圆 P 与直线 x1 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的轨迹方程；（2）设过定点 S（2，0）的动直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，试问：在曲线 C 上是否存在点M（与 A，B 两点相异） ，当直线 MA，MB 的斜率存在时，直线 MA，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数 f（x）e xax 2，g（x）xblnx 若曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线与曲线 yg（x）在点（1，g（1） ）处的切线相交于点（0，1） （1）求 a，b 的值；（2）求函数 g（x）的最

8、小值；（3）证明：当 x0 时，f（ x）xg（x）（e1）x1 （二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建2,xmy立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为 2cos23 2sin248，其左焦点 F 在直线 l 上（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA| |FB|的值；（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值23选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|ax2|（1）当 a2 时，求不等式 f（x）2x1

9、的解集；（2）若不等式 f（x）x2 对 x（0，2）恒成立，求 a 的取值范围20182019 年度高三全国卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1C2D3D4A5B6B7C8B9C10B11C12D13114 2394615121617解：（1）由条件知 Snna n1 n 2n，当 n1 时，a 2a 12；当 n2时，S n1 （n1）a n（n1） 2（n1） ，得 anna n1 （n1）a n2n，整理得 an1 a n2综上可知，数列a n是首项为 3、公差为 2 的等差数列，从而得 an2n1（2）由（1）得 ，222211()4()bn所以 22222211() 43()4

10、()4()nT nn18解：（1）由 得 ，sinacbaC3sicabaC所以 ，即 ，22c2(os1)2iB所以有 ，sin(o1)3siCB因为 C（0，） ，所以 sinC0，所以 ，cs3sin即 ，所以 3sic2sin()161i()62B又 0B ，所以 ，所以 ，即 B3（2）因为 ，所以 ac1213sin2acc又 b2a 2c 22accosB（ac） 23ac（ac） 23664，所以 ac10，把 c10a 代入到 ac12（ ac）中，得 51319 （1）证明：因为 ，所以 ，在线232CES段 CD 上取一点 F 使 ，连接 EF，BF，则DEFSD 且 D

11、F1因为 AB1，ABCD ，ADC90，所以四边形 ABFD 为矩形，所以 CDBF又 SA平面 ABCD，ADC90，所以 SACD ， ADCD因为 ADSA A，所以 CD平面 SAD所以 CDSD，从而 CDEF因为 BFEFF，所以 CD 平面 BEF又 BE 平面 BEF，所以 CDBE（2）解：以 A 为原点， 的正方向为 x 轴的正方D向，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，D（2，0，0） ，S（0，0，2） ，C （2，3，0） ，所以 ，4(,1)3ES， (,1)B(,2)S设 n（x，y，z）为平面 SBD 的法向量，则，0SD

12、所以 ，令 z1，得 n（1，2，1） 20yxz设直线 BE 与平面 SBD 所成的角为 ，则 |2174si|co, 9BEn20解：（1）设 P（x，y） ，圆 P 的半径为 r，因为动圆 P 与圆 Q：（x2） 2y 21 外切，所以 ，()r又动圆 P 与直线 x1 相切，所以 rx1，由消去 r 得 y28x，所以曲线 C 的轨迹方程为 y28x（2）假设存在曲线 C 上的点 M 满足题设条件，不妨设 M（x 0，y 0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ， ，08yx2128yx， ，0110MAk20208MByk所以 ，1210202012()8AB

13、 yyy显然动直线 l 的斜率存在且非零，设 l：xty2，联立方程组 ，消去 x 得 y28ty 160，28xty由 0 得 t1 或 t1，所以 y1y 28t，y 1y216，且 y1y2，代入式得 ，令 （m 为常数） ，008()6MABtk0208()16ty整理得 ，20(864)(1)mytym因为式对任意 t（， 1）（1，）恒成立，所以 ，02160y所以 或 ，即 M（2，4）或 M（2，4） ，04m0即存在曲线 C 上的点 M（2， 4）或 M（2，4）满足题意21 （1）解：因为 f（x）e x2ax，所以 f（1）e2a ，切点为（1，e a） ，所以切线方程为

14、 y（e2a ） （x1）（e a） ，因为该切线过点（0，1） ，所以 a1又 ，g（1） 1b，切点为（1，1） ，()bgx所以切线方程为 y（1b） （x1）1，同理可得 b1（2）解：由（1）知，g（x）xlnx ， ，1()xgx所以当 0x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0，所以当 x1 时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即 g（x） ming（1）1（3）证明：由（1）知，曲线 yf（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程为 y（e2）x1下面证明：当 x0 时，f（x ）（e2）x1设 h（x）f（x）（e2）x1，则 h（x）e x2x（e 2） ，再设 k

15、（x）h （x） ，则k（x）e x2，所以 h（x）在（0，ln2 ）上单调递减，在（ ln2，）上单调递增又因为 h（0）3e，h（1）0，0ln2 1，所以 h（ln2 ）0，所以存在 x0（0，1） ，使得 h（x 0）0，所以，当 x（0，x 0）（1，）时，h（x）0；当 x（x 0，1）时，h（x）0故 h（x）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增又因为 h（0）h（1）0，所以 h（x）f（x）（e 2）x10，当且仅当 x1 时取等号，所以 ex（e2）x1x 2由于 x0，所以 e()1x又由（2）知，xlnx1，当且仅当 x1 时取

16、等号，所以， ，e(2)1lnxx 所以 ex（e2）x1x（1 lnx） ，即 exx 2x（xlnx）（e1）x1，即 f（x）xg（x）（e1）x122解：（1）将 代入 2cos23 2sin248，cos,iny得 x23y 248，即 ，21486x因为 c2481632，所以 F 的坐标为（ ，0） ，42又因为 F 在直线 l 上，所以 m把直线 l 的参数方程 代入 x23y 248，42xtyt化简得 t24t80，所以 t1t 24，t 1t28，所以 |()6483FAB（2）由椭圆 C 的方程 ，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为（21486xy，4sin ） （ ） ，43cos0所以内接矩形的面积 ，3cosin32siS当 时，面积 S 取得最大值 423解：（1）当 a2 时， ，4,2()|2|31,xfx 当 x2 时，由 x42x1，解得 x5；当2x1 时，由 3x2x1，解得 x；当 x1时，由x42x1，解得 x1综上可得，原不等式的解集为x|x5 或 x1 （2）因为 x（0，2） ，所以 f（x）x2 等价于|ax 2|4，即等价于 ，6a所以由题设得 在 x（0，2）上恒成立，x又由 x（0，2） ，可知 ， ，163所以1a3，即 a 的取值范围为 1，3