北师大版九年级下册数学第二章《二次函数》单元提升测试卷有答案

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1、 单元提升测试卷：第二 章二次函数一选择题1抛物线 y=3x 24 的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A向下， （0，4） B向下， （0，4）C向上， （0，4） D向上， （0，4）2已知函数 y=2mx2+（14m）x+2m1，下列结论错误的是（ ）A当 m=0时，y 随 x的增大而增大B当 m= 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）C当 m=1 时，若 x ，则 y随 x的增大而减小D无论 m取何值，函数图象都经过同一个点3设一元二次方程（x2） （x3）=m（m0）的两根分别为，且 ，则二次函数 y=（x2） （x3）的函数值ym 时自变量 x的取值范围是（ ）Ax3 或 x2 Bx 或

2、 xCx D2x34为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）可以用公式 h=5t 2+v0t表示，其中 t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到 20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）A5m/s B10m/s C20m/s D40m/s5若抛物线 y=x2+ax+b与 x轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线过点（ ）A （3，6）

3、 B （3，0）C （3，5） D （3，1）6若 A（3，y 1） ，B（3，y 3） ，C（2，y 2）二次函数 y=x2+4x5 的图象上的三点，则 y1、y 2、y 3的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 3y 1y 2 Dy 1y 3y 27对于抛物线 y=2（x+1） 2+3，下列结论：抛物线的开口向下； 对称轴为直线 x=1：顶点坐标为（1，3） ；x1 时，y 随 x的增大而减小其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D48已知函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，下列 5个结论，其中正确的结论有（ ）abc0 3a+c0 4a+2b+

4、c0 2a+b=0 b 24acA2 B3 C4 D59关于抛物线 y=x22x+1，下列说法错误的是（ ）A开口向上B与 x轴有两个重合的交点C对称轴是直线 x=1D当 x1 时，y 随 x的增大而减小10在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4） ，则下列说法：当 0x2 时，y 2y 1；y 2随 x的增大而增大的取值范围是 x2；使得 y2大于 4的 x值不存在；若 y2=2，则 x=2 或 x=1其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二填空题11二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则 a的符号是 ，b 的符号是 ，c 的符号是

5、 当 x 时，y0，当 x= 时，y=0，当 x 时，y012已知二次函数 y=3（x1） 2+k的图象上三点 A（2，y 1） ，B（3，y 2） ，C（4，y 3） ，则 y1、y 2、y 3的大小关系是 13若 A（ ，y 1） 、B（ ，y 2） 、C（3，y 3）为二次函数y=x 24x+5 的图象上的三点，则 y1、y 2、y 3的大小关系是 （用“”连接） 14如图，已知抛物线和 x轴交于两点 A、B，和 y轴交于点 C，已知 A、B 两点的横坐标分别为1，4，ABC 是直角三角形，ACB=90，则此抛物线顶点的坐标为 15若二次函数 y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当

6、 x=1时，y的值为 16已知二次函数 y=x22mx（m 为常数） ，当1x2 时，函数值y的最小值为2，则 m的值是 17用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m 218如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m三解答题19一二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下表：x来 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 0 2 0 m 6 （1）求这个二次函数的表达式；（2）求 m的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）根据

7、图象，写出当 y0 时，x 的取值范围20某商场销售同型号 A、B 两种品牌节能灯管，它们进价相同，A品牌售价可变，最低售价不能低于进价，最高利润不超过 4元，B品牌售价不变它们的每只销售利润与每周销售量如下表：（售价=进价+利润）品牌 每只销售利润/元 每周销售量/只A x 300x+1200B 2 当 0x3 时，120x+140当 3x4 时，500（1）当 A品牌每周销售量为 300只时，B 品牌每周销售多少只？（2）A 品牌节能灯管每只利润定为多少元时？可获得最大总利润，并求最大总利润21在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b） ，给出以下定义：若 b= ，

8、则称点 Q 为点 P的限变点（1）直接写出点（2，3）与点（2，5）的限变点的坐标；（2）若点 P在函数 y=x+3（2xk，k2）的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b的取值范围是5b2，求 k的取值范围；（3）若点 P在关于 x的二次函数 y=x22tx+t 2+t的图象上，其限变点 Q的纵坐标 b的取值范围是 bm 或 bn，其中 mn令s=mn，求 s关于 t的函数表达式以及 s的取值范围22抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0） ，B（ ，0） ，且与 y轴相交于点 C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB 的度数；（3）设点 D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称

9、轴的右侧，点E在线段 AC上，且 DEAC，当DCE 与AOC 相似时，求点 D的坐标23某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本 3元试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 3.5x5.5，另外每天还需支付其他各项费用 80元销售单价 x（元） 3.5 5.5销售量 y（袋） 280 120（1）请直接写出 y与 x之间的函数关系式；（2）如果每天获得 160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？24如图，在矩形 OA

10、BC中，点 O为原点，点 A的坐标为（0，8） ，点 C的坐标为（6，0） 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A、C，与AB交于点 D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点 P为线段 BC上一个动点（不与点 C重合） ，点 Q为线段 AC上一个动点，AQ=CP，连接 PQ，设 CP=m，CPQ 的面积为 S求 S关于 m的函数表达式；当 S最大时，在抛物线 y= x2+bx+c的对称轴 l上，若存在点F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 F的坐标；若不存在，请说明理由25如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，顶点 A的纵坐标为 1，点B（4，0）在此抛物线上（1）求此抛物线的

11、解析式；（2）若此抛物线对称轴与 x轴交点为 C，点 D（x，y）为抛物线上一动点，过点 D作直线 y=2的垂线，垂足为 E用含 y的代数式表示 CD2，并猜想 CD2与 DE2之间的数量关系，请给出证明；在此抛物线上是否存在点 D，使EDC=120？如果存在，请直接写出 D点坐标；如果不存在，请说明理由参考答案一选择题1 【解答】解：抛物线 y=3x 24，30，该抛物线开口向下，顶点坐标为（0，4） ，故选：B2 【解答】解：当 m=0时，y=x1，则 y随 x的增大而增大，故选项 A正确，当 m= 时，y=x 2x=（x ） 2 ，则函数图象的顶点坐标是（ ， ） ，故选项 B正确，当

12、m=1 时，y=2x 2+5x3=2（x ） 2 ，则当 x ，则 y随 x的增大而增大，故选项 C错误，y=2mx 2+（14m）x+2m1=2mx 2+x4mx+2m1=（2mx 24mx+2m）+（x1）=2m（x1） 2+（x1）=（x1）2m（x1）+1，函数 y=2mx2+（14m）x+2m1，无论 m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0） ，故选项 D正确，故选：C3 【解答】解：依照题意画出图形，如图所示一元二次方程（x2） （x3）=m（m0）的两根分别为、，二次函数 y=（x2） （x3）的函数值 ym 时自变量 x的取值范围是 x 或 x故选：B4 【解答】解：h=5t

13、 2+v0t，其对称轴为 t= ，当 t= 时，h 最大 =5（ ） 2+v0 =20，解得：v 0=20，v 0=20（不合题意舍去） ，故选：C5 【解答】解：某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1，该定弦抛物线过点（0，0） 、 （2，0） ，该抛物线解析式为 y=x（x2）=x 22x=（x1） 21将此抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，得到新抛物线的解析式为 y=（x1+2） 213=（x+1） 24当 x=3 时，y=（x+1） 24=0，得到的新抛物线过点（3，0） 故选：B6 【解答】解：当 x=3时，y 1=32+435=16；当 x=3 时，y2=（3） 2+4（

14、3）5=8；当 x=2时，y 3=22+425=7，所以 y1y 2y 3故选：A7 【解答】解：a=20，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线 x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3） ，正确；x1 时，y 随 x的增大而减小，x1 时，y 随 x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共 3个故选：C8 【解答】解：由抛物线的对称轴可知： 0，ab0，抛物线与 y轴的交点可知：c0，abc0，故正确； =1，b=2a，由图可知 x=1，y0，y=ab+c=a+2a+c=3a+c0，故错误；由（1，0）关于直线 x=1对称点为（3，0） ，（0，0）关于直线 x=1对称点为（2，0

15、） ，x=2，y0，y=4a+2b+c0，故错误；由可知：2a+b=0，故正确由图象可知：0，b 24ac0，故正确；故选：B9 【解答】解：y=x 22x+1=（x1） 2，顶点坐标（1，0） ，对称轴 x=1，a=10，开口向上，抛物线的顶点在 x轴上，A、B、C 正确，故选：D10 【解答】解：设抛物线解析式为 y=a（x2） 2+4，抛物线与直线均过原点，a（02） 2+4=0，a=1，y=（x2） 2+4，由图象得当 0x2 时，y 2y 1，故正确；y2随 x的增大而增大的取值范围是 x2，故正确；抛物线的顶点（2，4） ，使得 y2大于 4的 x值不存在，故正确；把 y=2代入

16、y=（x2） 2+4，得若 y2=2，则 x=2 或 x=2+ ，故不正确其中正确的有 3个，故选：C二填空题（共 8小题）11 【解答】解：由图开口向下知 a0，对称轴 x= 0，从而得 b0，又由图易知 c0；又从图象可以看出当：1x3 时，y0，当 x=1和 x=3时，y=0，当 x1 或 x3 时，y0故答案为：，+，1x3，x=1 和 x=3，x1 或 x312 【解答】解： y=3（x1） 2+k，图象的开口向上，对称轴是直线 x=1，A（4，y 3）关于直线 x=2 的对称点是（6，y 3） ，236，y 1y 2y 3，故答案为 y1y 2y 313 【解答】解：抛物线的对称轴

17、为直线 x= =2，抛物线开口向下，当 B（ ，y 2）到直线 x=2 的距离最小，点 C（3，y 3）到直线x=2 的距离最大，所以 y3y 1y 2故答案为 y3y 1y 214 【解答】解：A、B 两点的横坐标分别为1，4，OA=1，OB=4，ACB=90，CAB+ABC=90，COAB，ABC+BCO=90，CAB=BCO，又AOC=BOC=90，AOCCOB， = ，即 = ，解得 OC=2，点 C的坐标为（0，2 ） ，A、B 两点的横坐标分别为1，4，设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x4） ，把点 C的坐标代入得，a（0+1） （04）=2，解得 a= ，来源:Z.xx.k

18、.Comy= （x+1） （x4）= （x 23x4）= （x ） 2+ ，此抛物线顶点的坐标为（ ， ） 故答案为：（ ， ） 15 【解答】解：由图可知：A（5，4） ，B（4，1） ，C（0，1） ，将 A（5，4） ，B（4，1） ，C（0，1）分别代入 y=ax2+bx+c得，解得 ，函数解析式为 y=x 24x+1当 x=1时，y=4故答案为416 【解答】解：由二次函数 y=x22mx（m 为常数） ，得到对称轴为直线 x=m，抛物线开口向上，当 m2 时，由题意得：当 x=2时，y 最小值为2，代入得：44m=2，即 m=1.52，不合题意，舍去；当1m2 时，由题意得：当 x

19、=m时，y 最小值为2，代入得：m 2=2，即 m= 或 m= （舍去） ；当 m1 时，由题意得：当 x=1 时，y 最小值为2，代入得：1+2m=2，即 m=1.5，综上，m 的值是1.5 或 ，故答案为：1.5 或17 【解答】解：设矩形的长为 xm，则宽为 m，菜园的面积 S=x = x2+15x= （x15）2+ ， （0 x20）当 x15 时，S 随 x的增大而增大，当 x=15时，S 最大值 = m2，故答案为： 18 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x通过 AB，纵轴 y通过 AB中点 O且通过 C点，则通过画图可得知 O为原点，抛物线以 y轴为对称轴，且经过 A，B

20、 两点，OA 和 OB可求出为 AB的一半 2米，抛物线顶点 C坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a可通过代入 A点坐标（2，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x 2+2，当水面下降 2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=2 代入抛物线解析式得出：2=0.5x 2+2，解得：x=2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 4）米，故答案为：4 4三解答题（共 7小题）19 【解答】解：（1）由图表可知

21、抛物线的顶点坐标为（1，2） ，所以，设这个二次函数的表达式为 y=a（x+1） 2+2，图象过点（1，0） ，a（1+1） 2+2=0，a= ，这个二次函数的表达式为 y= （x+1） 2+2；（2）x=2 时，m= （2+1） 2+2= ；（3）函数图象如图所示；（4）y0 时，x3 或 x120 【解答】解：（1）根据题意得：300x+1200=300，解得：x=3，当 x=3时，120x+140=1203+140=500答：当 A品牌每周销售量为 300只时，B 品牌每周销售量为 500只（2）设每周总利润为 y元当 0x3 时，y=x（300x+1200）+2（120x+140）=3

22、00x 2+1 440x+280=300（x2.4） 2+2008，3000，当 x=2.4时，y 取最大值，最大值为 2008元；当 3x4 时，y=x（300x+1200）+2500=300x 2+1200x+1000=300（x2） 2 +2200，3000，当 x=3时，y 取最大值，最大值为 1900综上所述，当 x=2.4时，y 取最大值，最大值为 2008答：A 品牌灯管每只利润为 2.4元时，可获得最大总利润，每周最大利润为 2008元21 【解答】解：（1）21，点（2，3）的限变点的坐标为（2，3） ；21，点（2，5）的限变点的坐标为（2，5） ；（2）依题意，y=x+3

23、（x2）图象上的点 P的限变点必在函数y= 的图象上b2，即当 x=1时，b取最大值 2当 b=2 时，2=x+3x=5当 b=5 时，5=x3 或5=x+3x=2 或 x=85b2，由图象可知，k 的取值范围是 1k8（3）y=x 22tx+t 2+t=（xt） 2+t，顶点坐标为（t，t） 若 t1，b的取值范围是 bm 或 bn，与题意不符若 t1，当 x1 时，y 的最小值为 t，即 m=t；当 x1 时，y 的值小于（1t） 2+t，即 n=（1t） 2+ts=mn=t+（1t） 2+t=t2+1s 关于 t的函数解析式为 s=t2+1（t1） ，当 t=1时，s 取最小值 2，s

24、的取值范围是 s222 【解答】解：（1）当 x=0，y=3，C（0，3） 设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x ） 将 C（0，3）代入得： a=3，解得：a=2，抛物线的解析式为 y=2x 2+x+3（2）过点 B作 BMAC，垂足为 M，过点 M作 MNOA，垂足为 NOC=3，AO=1，tanCAO=3直线 AC的解析式为 y=3x+3ACBM，BM 的一次项系数为 设 BM的解析式为 y= x+b，将点 B的坐标代入得： +b=0，解得 b= BM 的解析式为 y= x+ 将 y=3x+3与 y= x+ 联立解得：x= ，y= MC=BM = MCB 为等腰直角三角形ACB=4

25、5（3）如 图 2所示：延长 CD，交 x轴与点 FACB=45，点 D是第一象限抛物线上一点，ECD45来源:学科网 ZXXK又DCE 与AOC 相似，AOC=DEC=90，CAO=ECDCF=AF设点 F的坐标为（a，0） ，则（a+1） 2=32+a2，解得 a=4F（4，0） 设 CF的解析式为 y=kx+3，将 F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k= CF 的解析式为 y= x+3将 y= x+3与 y=2x 2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或 x= 将 x= 代入 y= x+3得：y= D（ ， ） 23 【解答】解：（1）设 y=kx+b，将 x=3.5，y=280；x

26、=5.5，y=120 代入，得 ，解得 ，则 y与 x之间的函数关系式为 y=80x+560；（2）由题意，得（x3） （80x+560）80=160，整理，得 x210x+24=0，解得 x1=4，x 2=63.5x5.5，x=4答：如果每天获得 160元的利润，销售单价为 4元；（3）由题意得：w=（x3） （80x+560）80=80x 2+800x1760=80（x5） 2+240，3.5x5.5，当 x=5时，w 有最大值为 240故当销售单价定为 5元时，每天的利润最大，最大利润是 240元24 【解答】解：（1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得，解得： ，抛物线的解析式为 y=

27、 x2+ x+8；（2）OA=8，OC=6，AC= =10，过点 Q作 QEBC 与 E点，则 sinACB= = = ， = ，QE= （10m） ，S= CPQE= m （10m）= m2+3m；S= CPQE= m （10m）= m2+3m= （m5） 2+ ，当 m=5时，S 取最大值；在抛物线对称轴 l上存在点 F，使FDQ 为直角三角形，抛物线的解析式为 y= x2+ x+8的对称轴为 x= ，D的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ，当FDQ=90时，F 1（ ，8） ，当FQD=90时，则 F2（ ，4） ，当DFQ=90时，设 F（ ，n） ，则 FD2+FQ2=DQ2，即 +

28、（8n） 2+ +（n4） 2=16，解得：n=6 ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） ，满足条件的点 F共有四个，坐标分别为F1（ ，8） ，F 2（ ，4） ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） 25 【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x2）2+1，代入 B（4，0） ，得：a（42） 2+1=0，解得：a=抛物线的解析式：y= （x2） 2+1（2）猜想：CD 2=DE2；证明：由 D（x，y） 、C（2，0） 、E（x，2）知：CD2=（x2） 2+y2，DE 2=（y2） 2；由（1）知：（x2） 2=4（y1）=4 y+4，代入 CD2中，得：CD2=y24y+4=（y2） 2=DE2由于EDC=12090，所以点 D必在 x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：延长 ED交 x轴于 F，则 EFx 轴；在 RtCDF 中，FDC=18 0120=60，DCF=30，则：CD=2DF、CF= DF；设 DF=m，则：CF= m、CD=DE=2m；EF=ED+DF=2m+m=2，m= ，DF=m= ，CF= m= ，OF=OCCF=2 ，D（2 ， ） ；同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+ ， ） ；综上，存在符合条件的 D点，且坐标为（2 ， ）或（2+ ， ） 来源 :学科网