北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试卷（含答案解析）

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1、第二章二次函数单元测试卷一选择题（共 10 小题）1对于任意实数 h，抛物线 y=（xh） 2与抛物线 y=x2（ ）A开口方向相同 B对称轴相同C顶点相同 D都有最高点2下列函数中是二次函数的是（ ）Ay=2（x1） By=（x1） 2x 2Cy=a（x1） 2 Dy=2x 213二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b 24ac，则下列四个选项正确的是（ ）Ab0，c0，0 Bb0，c0，0Cb0，c0，0 Db0，c0，04如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴一个交点为（2，0） ，对称轴为直线 x=

2、1，则 y0 时 x 的范围是（ ）Ax4 或 x2 B2x4 C2x3 D0x35抛物线 y=3（x1） 2+1 的顶点坐标是（ ）A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1）6如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ）Ab 24ac Bac0 C2ab=0 Dab+c=07如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y轴交于点 C，对称轴为直线 x=1，点 B 的坐标为（1，0） ，则下列结论：AB=4；b 24ac0；ab0；a 2ab+

3、ac0，其中正确的结论有（ ）个A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8下列各点中，抛物线 y=x24x4 经过的点是（ ）A （0，4） B （1，7） C （1，1） D （2，8）9已知二次函数 y=x25x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0） ，则另一个交点的坐标为（ ）A （1，0） B （4，0） C （5，0） D （6，0）10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图 象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x=1，给出四个结论：b 24ac；2a+b= 0；a+b+c0；若点 B（ ，y 1） 、C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则

4、 y1y 2，其中正确结论是（ ）A B C D二填空题（共 8 小题）11二次函数 y=（x2m） 2+1，当 mxm+1 时，y 随 x 的增大而减小，则 m的取值范围是 12小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为 16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为 5 米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米13已知直线 y=x+1 与抛物线 y=x2+k 一个交点的横坐标为2，则 k= 14抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4） ，B（6，4）两点，且顶点在 x 轴上，则该抛物线解析式为 15已知：二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x

5、与纵坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 x 1 0 1 2 y 0来源:学科网 3 4 3 16抛物线 y=x 2+2x+c 与 x 轴交于两点，其中一个交点的坐标为（3，0） ，则另一个交点的坐标为 17已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式： （只需写出一个）18二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图示，下列结论：（1）b0；（2）c0；（3）b 24ac0； （4）ab+c0，（5）2a+b0； （6）abc0；其中正确的是 ；（填写序号）三解答题（共 7 小题）19已知，抛物线 y=x 2+bx+c 经过

6、点 A（1，0）和 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点 M 在抛物线的对称轴上，当MAC 是直角三角形时，求点 M 的坐标20如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是

7、线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E 点的坐标21某商店以 15 元/件的价格购进一批纪念品销售，经过市场调查发现：若每件卖 20 元，则每天可以售出 50 件，且售价每提高 1 元，每天的销量会减少2 件，于是该商店决定提价销售，设售价 x 元件，每天获利 y 元（1）求每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若该商店雇用人员销售，在营销之前，对支付给销售人员的工资有如下两种方案：方案一：每天支付销售工资 100 元，无提成；方案二：每销

8、售一件提成 2 元，不再支付销售工资综合以上所有信息，请你帮着该商店老板算一算，应该采用哪种支付方案，才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大？最大利润是多少？22已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6） ，B（6，0） ，C（2，0） ，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PEx 轴交抛物线于点 E，连结 DE，请问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说

9、明理由23抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0） ，B（ ，0） ，且与 y 轴相交于点 C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB 的度数；（3）设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E 在线段AC 上，且 DEAC，当DCE 与AOC 相似时，求点 D 的坐标24如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）过点 E（10，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左边） ，点 C，D 在抛物线上设 A（t，0） ，当 t=2时，AD=4（1）求抛物线的函数表达式（2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值

10、是多少？（3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G，H，且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离25如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（6，0） 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D（1）求抛物线的函数解析式；来源:学,科,网（2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ=CP，连接 PQ，设 CP=m，CPQ 的面积为 S求 S 关于 m 的函数表达式；当 S 最大时，在抛物线 y= x

11、2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一选择题（共 10 小题）1 【解答】解：抛物线 y=（xh） 2与抛物线 y=x2，A、a=10，都开口向上，此说法正确；B、抛物线 y=（xh） 2对称轴 x=h，抛物线 y=x2对称轴 x=0，说法错误；C、抛物线 y=（xh） 2顶点是（h，0） ，抛物线 y=x2顶点是（0，0） ，说法错误；D、a0，都有最低点，说法错误故选：A2 【解答】解：A、y=2x2，是一次函数，B、y=（x1） 2x 2=2x+1，是一次函数，C、当 a=0 时，y=a（

12、x1） 2不是二次函数，D、y=2x 21 是二次函数故选：D3 【解答】解：由图象与 y 轴的交点位置可知：c0，由图象与 x 轴的交点个数可知：0，由图象的开口方向与对称轴可知：a0， 0，从而可知：b0，故选：A4 【解答】解：y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为（2，0） ，抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0） ，y0 时 x 的范围是2x4，故选：B5 【解答】解：抛物线 y=3（x1） 2+1 是顶点式，顶点坐标是（1，1） 故选 A6 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，即 b24ac，所以 A 选项错误；抛物线开口向上，

13、a0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，ac0，所以 B 选项错误；二次函数图象的对称轴是直线 x=1， =1，2a+b=0，所以 C 选项错误；抛物线过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是 x=1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，ab+c=0，所以 D 选项正确；故选：D7 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=1，点 B 的坐标为（1，0） ，A（3，0） ，AB=1（3）=4，所以正确；抛物线与 x 轴有 2 个交点，=b 24ac0，所以正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线 x= =1，b=2a0，ab0，所以错误；x=1 时，y0，ab+c0，

14、而 a0，a（ab+c）0，所以正确故选：C8 【解答】解：当 x=0 时，y=x 24x4=4；当 x=1 时，y=x 24x4=7；当 x=1 时，y=x 24x4=1；当 x=2 时，y=x 24x4=8，所以点（1，7）在抛物线 y=x24x4 上故选：B9 【解答】解：二次函数 y=x25x+m 的图象的对称轴为直线 x= 该二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，另一交点坐标为（ 21，0） ，即（4，0） 故选：B10 【解答】解：抛物线的开口方向 向下，a0；抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，即 b24ac，故正确由图象可知：对称轴 x= =1，2ab=0

15、，故错误；抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0由图象可知：当 x=1 时 y=0，a+b+c=0；故错误；由图象可知：若点 B（ ，y 1） 、C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则y1y 2，故正确故选：B二填空题（共 8 小题）11 【解答】解：y=（x2m） 2+1，抛物线开口向上，对称轴为 x=2m，当 x2m 时，y 随 x 的增大而减小，当 mxm+1 时，y 随 x 的增大而减小，m+12m，解得 m1，故答案为：m112 【解答】解：设 AB 边的长为 x 米，则 BC 边的长为（162x）米，矩形花圃的面积 y=x（162x）=2x 2+16x=2（x4） 2+3

16、2，162x5，x5.5，又当 x4 时，y 随 x 的增大而减小，当 x=5.5 时，y 取得最大值，最大值为 27.5，故答案为：27.513 【解答】解：将 x=2 代入直线 y=x+1 得，y=2+1=3，则交点坐标为（2，3） ，将（2，3）代入 y=x2+k 得，3=4+k，解得 k=1故答案为：114 【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4） ，B（6，4）两点，抛物线的对称轴是直线 x= =2，即顶点坐标为（2，0） ，设 y=ax2+bx+c=a（x2） 2+0，把（2，4）代入得：4=a（22） 2+0，解得：a= ，即 y= （x2） 2+0= x2x

17、+1，故答案为：y= x2x+115 【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 经过（0，3） 、 （2，3）两点，对称轴 x= =1；点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0） ，因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是（3，0） 故答案为：（3，0） 16 【解答】解：y=x 2+2x+c=（x1） 2+c+1，抛物线的对称轴为直线 x=1，点（3，0）关于直线 x=1 的对称点为（1，0） ，抛 物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 故答案为：（1，0） 17 【解答】解：二次函数的图象开口向上，a0，二次函数的图象过原点，c=0故解析式满足 a0，c=0 即可，如 y=x2故答案为

18、：y=x 2（答案不唯一） 18 【解答】解：（1）函数开口向下，则 a0，且对称轴在 y 轴的右边，则b0，故命题错误；（2）函数与 y 轴交与正半轴，则 c0，故命题正确；（3）抛物线与 x 轴于两个交点，b 24ac0；故命题正确；（4）当 x=1 时，y0，ab+c0，故命题正确；（5） 1，2a+b0；故命题正确；（6）a0，b0，c0，abc0；故命题错误故答案是：（2） （3） （4） （5） 三解答题（共 7 小题）19 【解答】解：（1）将 A（1，0） 、C（0，3）代入 y=x 2+bx+c 中，得： ，解得： ，抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3（2）连接 BC 交

19、抛物线对称轴于点 P，此时 PA+PC 取最小值，如图 1 所示当 y=0 时，有x 2+2x+3=0，解得：x 1=1，x 2=3，点 B 的坐标为（3，0） 抛物线的解析式为 y =x 2+2x+3=（x1） 2+4，抛物线的对称轴为直线 x=1设直线 BC 的解析式为 y=kx+d（k0） ，将 B（3，0） 、C（0，3）代入 y=kx+d 中，得： ，解得： ，直线 BC 的解析式为 y=x+3当 x=1 时，y=x+3=2，当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（1，2） （3）设点 M 的坐标为（1，m） ，则 CM= ，AC= = ，AM=分三种情况考虑：当AMC=90时

20、，有 AC2=AM2+CM2，即 10=1+（m3） 2+4+m2，解得：m 1=1，m 2=2，点 M 的坐标为（1，1）或（1，2） ；当ACM=90时，有 AM2=AC2+CM2，即 4+m2=10+1+（m3） 2，解得：m= ，点 M 的坐标为（1， ） ；当CAM=90时，有 CM2=AM2+AC2，即 1+（m3） 2=4+m2+10，解得：m= ，点 M 的坐标为（1， ） 综上所述：当MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为（1，1） 、 （1，2） 、（1， ）或（ 1， ） 20 【解答】解：（1）把 A（1，0） ，C（0，2）代入 y= x2+mx+n 得，解得 ，抛

21、物线解析式为 y= x2+ x+2；（2）存在抛物线的对称轴为直线 x= = ，则 D（ ，0） ，CD= = = ，如图 1，当 CP=CD 时，则 P1（ ，4） ；当 DP=DC 时，则 P2（ ， ） ，P 3（ ， ） ，综上所述，满足条件的 P 点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ， ） ；（3）当 y=0 时，= x2+ x+2=0，解得 x1=1，x 2=4，则 B（4，0） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（4，0） ，C（0，2）代入得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x+2，设 E（x， x+2） （0x4） ，则 F（x， x2+ x+2） ，F

22、E= x2+ x+2（ x+2）= x2+2x，S BCF =SBEF +SCEF = 4EF=2（ x2+2x）=x 2+4x，而 SBCD = 2（4 ）= ，S 四边形 CDBF=SBCF +SBCD=x 2+4x+ （0x4） ，=（x2） 2+当 x=2 时，S 四边形 CDBF有最大值，最大值为 ，此时 E 点坐标为（2，1） 21 【解答】解：（1）y=（x15）502（x20）=2（x30） 2+450，当 x=30 时，y 的最大值为 450，答：每件售价为 30 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 450 元（2）方案一：每天的最大利润为 450100=350（元） ，方

23、案二：y=（x152）502（x30）=2（x3） 2+392，每天的最大利润为 392 元，392350，采用方案二支付，利润最大；22 【解答】解：（1）抛物线过点 B（6，0） 、C（2，0） ，设抛物线解析式为 y=a（x6） （x+2） ，将点 A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a= ，所以抛物线解析式为 y= （x6） （x+2）= x2+2x+6；（2）如图 1，过点 P 作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM 于点 G，设直线 AB 解析式为 y=kx+b，将点 A（0，6） 、B（6，0）代入，得：，解得： ，则直线 AB 解析式为 y=x+6，设 P

24、（t， t2+2t+6）其中 0t6，则 N（t，t+6） ，PN=PMMN= t2+2t+6（t+6）= t2+2t+6+t6= t2+3t，S PAB =SPAN +SPBN= PNAG+ PNBM= PN（AG+BM）= PNOB= （ t2+3t）6= t2+9t= （t3） 2+ ，当 t=3 时，PAB 的面积有最大值；方法二：如图 2，连接 OP，作 PHx 轴于点 H，作 PGy 轴于点 G，设 P（t， t2+2t+6）其中 0t6，则 PH= t2+2t+6，PG=t，SPAB =SPAO +SPBO S ABO= 6t+ 6（ t2+2t+6） 66= t2+9t= （t

25、3） 2+ ，当 t=3 时，PAB 的面积有最大值（3）如图 3，若PDE 为等腰直角三角形，则 PD=PE，设点 P 的横坐标为 a，点 E 的横坐标为 b，PD= a2+2a+6（a+6）= a2+3a， = ，则 b=4a，PE=|a（4a）|=|2a4|=2|2a|， a2+3a=2|2a|，解得：a=4 或 a=5 ，所以 P（4，6）或 P（5 ，3 5） 23 【解答】解：（1）当 x=0，y=3，C（0，3） 设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x ） 将 C（0，3）代入得： a=3，解得：a=2，抛物线的解析式为 y=2x 2+x+3（2）过点 B 作 BMAC，垂足

26、为 M，过点 M 作 MNOA，垂足为 NOC=3，AO=1，tanCAO=3直线 AC 的解析式为 y=3x+3ACBM，BM 的一次项系数为 设 BM 的解析式为 y= x+b，将点 B 的坐标代入得： +b=0，解得b= BM 的解析式为 y= x+ 将 y=3x+3 与 y= x+ 联立解得：x= ，y= MC=BM = MCB 为等腰直角三角形ACB=45（3）如图 2 所示：延长 CD，交 x 轴与点 FACB=45，点 D 是第一象限抛物线上一点，ECD45又DCE 与AOC 相似，AOC=DEC=90，CAO=ECDCF=AF设点 F 的坐标为（a，0） ，则（a+1） 2=3

27、2+a2，解得 a=4F（4，0） 设 CF 的解析式为 y=kx+3，将 F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k= CF 的解析式为 y= x+3将 y= x+3 与 y=2x 2+x+3 联立：解得：x=0（舍去）或 x= 将 x= 代入 y= x+3 得：y= D（ ， ） 24 【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=ax（x10） ，当 t=2 时，AD=4，点 D 的坐标为（2，4） ，将点 D 坐标代入解析式得16a=4，解得：a= ，抛物线的函数表达式为 y= x2+ x；（2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t，AB=102t，当 x=t 时，AD= t2+ t，矩形 A

28、BCD 的周长=2（AB+AD）=2（102t）+（ t2+ t）= t2+t+20= （t1） 2+ ， 0，当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为 ；（3）如图，当 t=2 时，点 A、B、C、D 的坐标分别为（2，0） 、 （8，0） 、 （8，4） 、 （2，4） ，矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2） ，当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（2，4） ，此时 GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6，0） ，此时 GH 也不能将矩形面积平分；当 G、H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH

29、不可能将矩形的面积平分，当点 G、H 分别落在线段 AB、DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积，ABCD，来源:Zxxk.Com线段 OD 平移后得到的线段 GH，线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P，在OBD 中，PQ 是中位线，PQ= OB=4，所以抛物线向右平移的距离是 4 个单位25 【解答】解：（1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得，解得： ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+8；（2）OA=8，OC=6，AC= =10，过点 Q 作 QEBC 与 E 点，则 sinACB= = = ， = ，QE= （10m） ，S= CPQE= m （10m

30、）= m2+3m；来源:学科网 ZXXKS= CPQE= m （10m）= m2+3m= （m5） 2+ ，当 m=5 时，S 取最大值；在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形，抛物线的解析式为 y= x2+ x+8 的对称轴为 x= ，D 的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ，当FDQ=90时，F 1（ ，8） ，当FQD=90时，则 F2（ ，4） ，当DFQ=90时，设 F（ ，n） ，则 FD2+FQ2=DQ2，即 +（8n） 2+ +（n4） 2=16，解得：n=6 ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） ，满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为F1（ ，8） ，F 2（ ，4） ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） 来源:学*科*网 Z*X*X*K