2017-2018学年北京市门头沟区九年级上期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018 学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1如果 ，那么 的结果是（ ）A B C D2将抛物线 y=x2 的图象向上平移 3 个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是（ ）Ay= （ x3） 2 By=（x +3） 2 Cy=x 23 Dy=x 2+33如图，DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，如果DCE=75，那么BAD 的度数是（ ）A65 B75 C85 D1054在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3） ，如果射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为

2、 ，那么 的正弦值是（ ）A B C D5右图是某个几何体，它的主视图是（ ）A B C D6已知ABC ，AC=3，CB=4 ，以点 C 为圆心 r 为半径作圆，如果点 A、点 B 只有一个点在圆内，那么半径 r 的取值范围是（ ）Ar3 Br4 C3r 4 D3r 47一个不透明的盒子中装有 20 张卡片，其中有 5 张卡片上写着“三等奖”；3 张卡片上写着“ 二等奖”，2 张卡片上写着“ 一等奖”，其余卡片写着“ 谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为（ ）A B C D8李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有 50 升油，出发后

3、先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（ ）A此车一共行驶了 210 公里B此车高速路一共用了 12 升油C此车在城市路和山路的平均速度相同D以此车在这三个路段的综合油耗判断 50 升油可以行驶约 525 公里二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9二次函数 y=3x2+5x+1 的图象开口方向 10已知线段 AB=5cm，将线段 AB 以点 A 为旋转中心，逆时针旋转 90得到线段 AB，则点 B、点 B的距离为 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中有一矩形，顶点坐标分别为（1，1） 、 （4，1） 、（4，3）

4、、 （1，3） ，有一反比例函数 y= （k0）它的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为 12如图，在ABC 中， DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E ，且 DEBC，如果 ，那么 = 13如图，在ABC 中， A=60，O 为ABC 的外接圆如果 BC=2 ，那么O 的半径为 14下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150 ，BC 的长是 8m，则乘电梯次点 B 到点 C 上升的高度h 是 m15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 L2 可以看作是由图形 L1 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写

5、出一种由图形 L1 得到图形 L2 的过程 16下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程已知：O求作：O 的内接正方形作法：如图，（1）作O 的直径 AB；（2）分别以点 A，点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于 M、N 两点；（3）作直线 MN 与O 交于 C、D 两点，顺次连接 A、C、B、D即四边形 ACBD 为所求作的圆内接正方形请回答：该尺规作图的依据是 三、解答题（本题共 68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17 （5 分）计算：（ + ） 0+ 2sin60（ ） 218 （5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD， CEAB 于

6、E求证：ABDCBE19 （5 分）已知二次函数 y=x2+2x3（1）将 y=x2+2x3 用配方法化成 y=a （xh ） 2+k 的形式；（2）求该二次函数的图象的顶点坐标20 （5 分）先化简，再求值：（m+ ） ，其中 m 是方程 x2+x3=0 的根21 （5 分）在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kx（k0）与双曲y2= （m0）的一个交点为 A（2，2） （1）求 k、m 的值；（2）过点 P（x，0）且垂直于 x 轴的直线与 y1=kx、y 2= 的图象分别相交于点M、N ，点 M、N 的距离为 d1，点 M、N 中的某一点与点 P 的距离为 d2，如果d1

7、=d2，在下图中画出示意图并且直接写出点 P 的坐标22 （5 分）如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B 之间的距离，他在与小亭 A、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点 M 处，测得亭 A 在点 M 的北偏东60，亭 B 在点 M 的北偏东 30，当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q 处，此时亭B 恰好位于点 Q 的正北方向根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭 A、B 之间距离的思路23 （5 分）已知二次函数 y=kx2+（k+1）x +1（k0） （1）求证：无论 k 取

8、任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值24 （5 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=2，tanB= ，求 O 的半径25 （6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作 CDAB 交O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O 于点 N已知AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度

9、为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 4 3.3 2.8 2.5 2.1 2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 cm26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）

10、求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x 1，y ） ，Q（x 2，y） ，且满足 x1x 2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1 的值；当 2x 2x13，求 y 的取值范围27 （7 分）如图 1 有两条长度相等的相交线段 AB、CD ，它们相交的锐角中有一个角为60，为了探究 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得 ADBC，如图 2，将线段 AB 沿 AD 方向平移 AD 的长度，得到线段 DE，然后联结 BE，进而利用所学知识得到 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系： ；（直接写出结果）

11、（2）根据小亮的经验，请对图 1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD、CB与 CD（或 AB）之间的关系，并进行证明；（3）综合（1） 、 （2）的证明结果，请写出完整的结论： 28 （8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN 2，我们规定：N 1PN2 为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“ 摇摆区域”（含 PN1，PN 2） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，3） （1）当点 P 的摇摆角为 60时，请判断 O（0，0） 、A（1，2） 、B（2，1） 、C（2+ ，0）属于点

12、 P 的摇摆区域内的点是 （填写字母即可） ；（2）如果过点 D（1，0） ，点 E（5，0 ）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 ；（3）W 的圆心坐标为（a，0） ，半径为 1，如果 W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围2017-2018 学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1如果 ，那么 的结果是（ ）A B C D【分析】根据合分比例性质，可得答案【解答】解：由合分比性质，得= = ，故选：B【点评】本题考

13、查了比例的性质，利用合分比性质是解题关键2将抛物线 y=x2 的图象向上平移 3 个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是（ ）Ay= （ x3） 2 By=（x +3） 2 Cy=x 23 Dy=x 2+3【分析】根据“ 上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y=x2 的图象向上平移 3 个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是 y=x2+3，故选：D【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键3如图，DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，如果DCE=75，那么BAD 的度数是（ ）A65 B75 C85 D105【分析】根据圆

14、内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，BAD=DCE=75，故选：B【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键4在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3） ，如果射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 ，那么 的正弦值是（ ）A B C D【分析】画出图形，根据直角三角形的解法解答即可【解答】解：过 A 点作 ABx 轴，在 RtOAB 中， OA= ， 的正弦值= ，故选：A【点评】此题考查解直角三角形的问题，关键是画出图形，利用勾股定理解答5右图是某个几何体，它的主视图是（

15、）A B C D【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形【解答】解：从几何体的正面看可得等腰梯形，故选：C【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中6已知ABC ，AC=3，CB=4 ，以点 C 为圆心 r 为半径作圆，如果点 A、点 B 只有一个点在圆内，那么半径 r 的取值范围是（ ）Ar3 Br4 C3r 4 D3r 4【分析】由于 AC=3，CB=4，当以点 C 为圆心 r 为半径作圆，如果点 A、点 B 只有一个点在圆内时，那么点 A 在圆内，而点 B 不在圆内当点 A 在圆内时点 A 到点 C 的距离小于圆的半径，点 B 在圆上或圆外时

16、点 B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围【解答】解：当点 A 在圆内时点 A 到点 C 的距离小于圆的半径，即：r3；点 B 在圆上或圆外时点 B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即： r4；即 3r4故选：C【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系7一个不透明的盒子中装有 20 张卡片，其中有 5 张卡片上写着“三等奖”；3 张卡片上写着“ 二等奖”，2 张卡片上写着“ 一等奖”，其余卡片写着“ 谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为（ ）A B C D【分析】能中奖的卡片有

17、 5+3+2=10 张，根据概率公式计算即可【解答】解：能中奖的卡片有 5+3+2=10 张，能中奖的概率= = ，故选：A【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比8李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有 50 升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（ ）A此车一共行驶了 210 公里B此车高速路一共用了 12 升油C此车在城市路和山路的平均速度相同D以此车在这三个路段的综合油耗判断 50 升油可以行驶约 525 公里【分析】找准几个关键点，走了城市路、高速路、山路最终到达旅

18、游地点进行分析解答即可【解答】解：A、此车一共行驶了 210 公里，正确；B、此车高速路一共用了 4533=12 升油，正确；C、此车在城市路的平均速度是 30km/h，山路的平均速度是 =60km/h，错误；D、以此车在这三个路段的综合油耗判断 50 升油可以行驶约 525 公里，正确；故选：C【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9二次函数 y=3x2+5x+1 的图象开口方向 向下 【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数 a=3 0，可知抛物线开口

19、向上【解答】解：二次函数 y=3x2+5x+1 的二次项系数 a=30，抛物线开口向下故答案为：向下【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系当 a0 时，抛物线开口向上，当 a0 时，抛物线开口向下10已知线段 AB=5cm，将线段 AB 以点 A 为旋转中心，逆时针旋转 90得到线段 AB，则点 B、点 B的距离为 5 cm 【分析】根据旋转变换的性质得到BAB=90，BA=BA=5cm，根据勾股定理计算即可【解答】解：由旋转变换的性质可知，BAB=90，BA=BA=5cm，由勾股定理得，BB= =5 ，故答案为：5 cm【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理，旋转变换

20、的性质：对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角11如图，在平面直角坐标系 xOy 中有一矩形，顶点坐标分别为（1，1） 、 （4，1） 、（4，3） 、 （1，3） ，有一反比例函数 y= （k0）它的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为 y= 【分析】找出经过（1，1）与（4，3）两点的反比例函数 k 的值，根据反比例与矩形没有交点确定出 k 的范围，写出一个满足题意的解析式即可【解答】解：当反比例函数图象经过（1，1）时，k=1，当反比例函数经过（4，3）时，k=12 ，反比例函数 y= （k0）它的图象与此矩形没有交点，反比例函数 k 的范围是 k1 或 k

21、12 且 k0，则该表达式可以为 y= ，故答案为：y=【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键12如图，在ABC 中， DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E ，且 DEBC，如果 ，那么 = 【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，根据相似三角形的性质结合 ，即可求出 的值【解答】解：DEBC，ADE ABC， = = = 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据 找出 的值是解题的关键13如图，在ABC 中， A=60，O 为ABC 的外接圆如果 BC=2 ，那么O 的半径为 2 【分析】连接 OC、OB，作

22、 ODBC，利用圆心角与圆周角的关系得出 BOC=120 ，再利用含 30的直角三角形的性质解答即可【解答】解：连接 OC、OB，作 ODBC，A=60，BOC=120，DOC=60，ODC=90，OC= ，故答案为：2【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出BOC=12014下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150 ，BC 的长是 8m，则乘电梯次点 B 到点 C 上升的高度h 是 4 m【分析】过 C 作 CEAB，交 AB 的延长线于 E，在 RtBCE 中，易求得CBE=30，已知了斜边

23、 BC 为 8m，根据直角三角形的性质即可求出 CE 的长，即 h 的值【解答】解：过 C 作 CEAB，交 AB 的延长线于 E；在 RtCBE 中，CBE=180 CBA=30 ；已知 BC=8m，则 CE= BC=4m，即 h=4m【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 L2 可以看作是由图形 L1 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由图形 L1 得到图形 L2 的过程 由图形 L1 绕 B 点顺时针旋转 90，并向左平移 7 个单位得到图形 L 【分析】根据旋转的性质，平移的性质

24、即可解决问题；【解答】解：图形 L2 可以看作是由图形 L1 绕 B 点顺时针旋转 90，并向左平移 7 个单位得到图形 L2故答案为：由图形 L1 绕 B 点顺时针旋转 90，并向左平移 7 个单位得到图形 L【点评】考查了坐标与图形变化旋转，平移，对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型16下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程已知：O求作：O 的内接正方形作法：如图，（1）作O 的直径 AB；（2）分别以点 A，点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于 M、N 两点；（3）作直线 MN 与O 交于 C、D 两点，顺次连接 A、C、B、

25、D即四边形 ACBD 为所求作的圆内接正方形请回答：该尺规作图的依据是 相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角 【分析】根据作图知 CD 为 AB 的垂直平分线，据此得AOC=BOC=BOD=AOD=90，依据相等的圆心角所对的弦相等可判断四边形ACBD 是菱形，再根据直径所对的圆周角是直角可得四边形 ACBD 是正方形【解答】解：由作图知 CD 为 AB 的垂直平分线，AB 为O 的直径，CD 为O 的直径，且AOC= BOC= BOD=AOD=90，则 AC=BC=BD=AD（相等的圆心角所对的弦相等） ，四边形 ACBD 是菱形，由 AB 为O 的直径知ACB=90（直径所对的

26、圆周角是直角） ，四边形 ACBD 是正方形，故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理和圆周角定理及正方形的判定三、解答题（本题共 68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17 （5 分）计算：（ + ） 0+ 2sin60（ ） 2【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式=1+2 2 4= 3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18 （5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD， CEAB 于 E求证：ABDCBE【

27、分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC ，然后求出ADB=CEB=90，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明【解答】证明：在ABC 中，AB=AC，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90 ，又B= B，ABD CBE【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键19 （5 分）已知二次函数 y=x2+2x3（1）将 y=x2+2x3 用配方法化成 y=a （xh ） 2+k 的形式；（2）求该二次函数的图象的顶点坐标【分析】 （1）利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再把一般式转化为顶点式

28、即可；（2）根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；【解答】解：（1）y=x 2+2x3=x2+2x+14 =（ x+1） 24 （2）y=（ x+1） 24，该二次函数图象的顶点坐标是（1， 4） 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c（a0，a、b、c 为常数） ；（2）顶点式：y=a（x h）2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y=a（x x1） （x x2） 20 （5 分）先化简，再求值：（m+ ） ，其中 m 是方程 x2+x3=0 的根【分析】根据分式的混合运算法则，化简后利用整体的思想代入计算即可【解

29、答】解：原式= = =m（m +1）=m2+m，m 是方程 x2+x3=0 的根，m 2+m3=0，即 m2+m=3，则原式=3【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意最后结果化成最简分式或整式21 （5 分）在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kx（k0）与双曲y2= （m0）的一个交点为 A（2，2） （1）求 k、m 的值；（2）过点 P（x，0）且垂直于 x 轴的直线与 y1=kx、y 2= 的图象分别相交于点M、N ，点 M、N 的距离为 d1，点 M、N 中的某一点与点 P 的距离为 d2，如果d1=d2，在下图中画出示意图并

30、且直接写出点 P 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）直线 y1=kx（k0）与双曲 y2= （m0）的一个交点为A（2，2） ，k=1，m=4，（2）直线 y1=x，y 2= ，由题意： x=x 或 x = ，解得 x= 或 ，x0，x= 或 2 ，P（ ，0）或（2 ，0） 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型22 （5 分）如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B 之间的距离，他在与小亭 A、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点 M 处，测得亭 A

31、 在点 M 的北偏东60，亭 B 在点 M 的北偏东 30，当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q 处，此时亭B 恰好位于点 Q 的正北方向根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭 A、B 之间距离的思路【分析】如图，由题意AMN，BMQ 都是直角三角形，作 AHBQ 于 H，只要求出AH、BH 即可利用勾股定理求出 AB 的长【解答】解：如图，由题意AMN，BMQ 都是直角三角形，作 AHBQ 于 H，只要求出 AH、BH 即可利用勾股定理求出 AB 的长易知四边形 ANQH 是矩形，可得 AH

32、=NQ=30 米，在 RtAMN 中，根据 AN=QH=MNtan30=20 米，在 RtMBQ 中，BQ=MQtan60=90 ，可得 BH=BQQH=70 米，由此即可解决问题【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题23 （5 分）已知二次函数 y=kx2+（k+1）x +1（k0） （1）求证：无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值【分析】 （1）根据根的判别式可得结论；（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与 x 轴交点的横

33、坐标均为整数，且k 为整数，可得 k=1【解答】 （1）证明：=（ k+1） 24k1=（k1） 20无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；（2）解：当 y=0 时，kx 2+（k +1）x+1=0，x= ，x= ，x 1= ，x 2=1，该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，k=1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：=b 24ac 决定抛物线与 x轴的交点个数=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时

34、，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点也考查了二次函数与一元二次方程的关系24 （5 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=2，tanB= ，求 O 的半径【分析】 （1）连接 OE，由 AC 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OE 垂直于 AC，再由 BC 垂直于 AC，得到 OE 与 BC 平行，根据 O 为 DB 的中点，得到 E 为 DF 的中点，即 OE 为三角形 D

35、BF 的中位线，利用中位线定理得到 OE 为 BF 的一半，再由 OE 为DB 的一半，等量代换即可得证；（2）设 BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x，根据 cosAOE=cosB，可得 = ，即= ，解方程即可；【解答】 （1）证明：连接 OE，AC 与圆 O 相切，OEAC，BC AC，OEBC，又O 为 DB 的中点，E 为 DF 的中点，即 OE 为DBF 的中位线，OE= BF，又OE= BD，则 BF=BD；（2）解：设 BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x又CF=2，BF=3x+2，由（1）得：BD=BF，BD=3x+1，OE=OB= ，AO=ABOB=5x

36、 = ，OEBF，AOE=B，cosAOE=cosB，即 = ，即 = ，解得：x= ，则圆 O 的半径为 =5【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键25 （6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作 CDAB 交O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O 于点 N已知AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测

37、量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 4 3.3 2.8 2.5 3 2.1 2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 2.7 cm【分析】 （1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN利用勾股定理求出 DM，致力于相似三角形的性质求出 MN 即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象寻找图象与直线 y=x 的交点的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）如图 11 中，连接

38、OD，BD、ANAC=4，OA=3，OC=1，在 RtOCD 中，CD= = ，在 RtCDM 中，DM= = ，由AMN DMB，可得 DMMN=AMBM，MN= 3，故答案为 3（2）函数图象如图所示，（3）观察图象可知，当 AC=MN 上，x 的取值约为 2.7故答案为 2.7【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x

39、1，y ） ，Q（x 2，y） ，且满足 x1x 2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1 的值；当 2x 2x13，求 y 的取值范围【分析】 （1）利用图中信息，根据待定系数法即可解决问题；（2）求出 y=3 时的自变量 x 的值即可解决问题；（3）当 x2x1=3 时，易知 x1= ，此时 y= 2+3= ，可得点 P 坐标，由此即可解决问题；【解答】解：（1）由图象知抛物线与 x 轴交于点（1，0） 、 （3，0） ，与 y 轴的交点为（0，3） ，设抛物线解析式为 y=a（x 1） （x 3） ，将（0，3）代入，得：3a=3 ，解得：a=1，抛物线解析式为 y=

40、（x 1） （x 3）=x 24x+3；（2）当 y=3 时，x 24x+3=3，解得：x 1=0， x2=4，x 2x1=4；当 x2x1=3 时，易知 x1= ，此时 y= 2+3=观察图象可知当 2x 2x13，求 y 的取值范围 0 y 【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型27 （7 分）如图 1 有两条长度相等的相交线段 AB、CD ，它们相交的锐角中有一个角为60，为了探究 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得 ADBC，如图 2，将线段 AB 沿 AD

41、方向平移 AD 的长度，得到线段 DE，然后联结 BE，进而利用所学知识得到 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系： AD+BC=AB ；（直接写出结果）（2）根据小亮的经验，请对图 1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD、CB与 CD（或 AB）之间的关系，并进行证明；（3）综合（1） 、 （2）的证明结果，请写出完整的结论： AD+BCAB 【分析】 （1）先判断出 BE=AD，DE=AB ，利用过直线外一点作已知直线的平行线只有一条判断出点 C，B，E 在同一条直线上，再判断出 CE=AB，即可得出结论；（2）先判断出 BE=AD，DE=AB，进而判断出点 C，B

42、，E 在同一条直线上，再判断出CE=AB，即可得出结论；（3）结合（1） （2）得出的结论即可【解答】解：（1）如图 2，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，四边形 ABED 是平行四边形，AD=BE，ADBD，ADBC，点 C，B，E 在同一条直线上，CE=BC+BE，DEAB，CDE=1=60，AB=DE，AB=CD，CD=DE，CDE 是等边三角形，CE=AB，BC +AD=AB；故答案为：AD +BC=AB；（2）如图 1，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，四边形 ABED 是平行四边形，AD=BE，ADBD，AD 不平行 BC，点 E 不在直线 BC 上，连接 CE，B

43、C +BECE，DEAB，CDE=2=60，AB=DE，AB=CD，CD=DE，CDE 是等边三角形，CE=AB，BC +ADAB；（3）由（1） （2）直接得出，BC+ADAB故答案为：BC+ADAB【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，解本题的关键是判定点 C，B ，E 是共线28 （8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN 2，我们规定：N 1PN2 为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“ 摇摆区域”（含 PN1，PN 2） 在平面直角

44、坐标系 xOy 中，点 P（2，3） （1）当点 P 的摇摆角为 60时，请判断 O（0，0） 、A（1，2） 、B（2，1） 、C（2+ ，0）属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C （填写字母即可） ；（2）如果过点 D（1，0） ，点 E（5，0 ）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90 ；（3）W 的圆心坐标为（a，0） ，半径为 1，如果 W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围【分析】 （1）根据点 P 的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点 P 的摇摆角；（3）如果W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，此时W 与射线PN1 相切，设直线 PN1 与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1 相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，根据特殊角锐角三角函数即可求出 OM，OW的长度，从而可求出 a 的范围【解答】解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，