2017-2018学年北京市怀柔区八年级上期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018 学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.13 的算术平方根是（ ）A B C D92如果分式 的值为零，那么 x 的值为（ ）A0 B1 C1 D13下列事件中，属于必然事件的是（ ）A任意投掷一枚硬币，落地后正面朝上B2018 年春节当天北京将下雪C弟弟的年龄比哥哥的年龄小D明天早晨，大家能看到太阳从西方冉冉升起4下列运算结果正确的是（ ）A =9 B C D5下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（ ）A BC D6下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）A

2、3 Ba Ca 2+1 D2x +47为估计池塘两岸 A，B 间的距离，小明的办法是在地面上取一点 O，连接 OA，OB ，测得 OB=15.1m，OA=25.6m这样小明估算出 A，B 间的距离不会大于（ ）A26m B38m C40m D41m8如图，直线 l 上有三个正方形 a，b ，c ，若 a，c 的面积分别为 2 和 10，则 b 的面积为（ ）A8 B C D12二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 10三角形的三个内角的度数比是 1：1：2则最大内角的度数是 114 没有平方根的理由是 12比 大且比 小的整数是 13如图，AB

3、C 中，BC 边所在直线上的高是线段 14如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CD，BE 交于点 F，只添加一个条件使ABEACD，添加的条件是： 15化简二次根式： = 16下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：AOB求作：一个角，使它等于AOB作法：如图（1）作射线 OA；（2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；（3）以 O为圆心， OC 为半径作弧 CE，交 OA于 C；（4）以 C为圆心，CD 为半径作弧，交弧 CE于 D；（5）过点 D作射线 OB则AOB就是所求作的角请回答：该作图的依据是 三、解答题（本题共 6

4、8 分，第 17-25 题，每小题 5 分，第 26 题 7 分，第 27 题 8 分，第 28 题 8 分）17计算： 18计算： 19计算： 20已知：如图，AD 是 ABC 的角平分线，AB=AC=13cm ，AD=12cm求 BC 的长21解方程： + =322如图，ABC 中，D 为 BC 边上一点，BE AD 的延长线于 E，CFAD 于F，BE=CF求证：D 为 BC 的中点23先化简： ，然后从 0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值，代入求值24列方程解应用题：为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作 1200 个大小相同的宣传栏现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，

5、居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用 10 天；信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的 1.2 倍根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？25在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1） （2） （3） （1）一个不透明的盒子里装有 4 个红球，2 个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P（摸出一个红球）=

6、（2）口袋里装有如图所示的 1 角硬币 2 枚、5 角硬币 2 枚、1 元硬币 1 枚搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出 1 角硬币的可能性是多少？解：P（摸出 1 角的硬币）= （3）如图，是一个转盘，盘面上有 5 个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P（指针对准红色区域）= 根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处26现场学习：在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在 an=b 中，a ，b，n 三者关系同学甲：已知 a，n，可以求

7、 b，是我们学过的乘方运算，其中 b 叫做 a 的 n 次方如：（2） 3=8，其中8 是 2 的 3 次方同学乙：已知 b，n，可以求 a，是我们学过的开方运算，其中 a 叫做 b 的 n 次方根如：（2） 2=4，其中 2 是 4 的二次方根（或平方根） ；（3） 3=27，其中3是27 的三次方根（或立方根） 老师：两位同学说的很好，那么请大家计算：（1）81 的四次方根等于 ；32 的五次方根等于 同学丙：老师，如果已知 a 和 b，那么如何求 n 呢？又是一种什么运算呢？老师：这个问题问的好，已知 a，b，可以求 n，它是一种新的运算，称为对数运算这种运算的定义是：若 an=b（a0

8、，a1） ，n 叫做以 a 为底 b 的对数，记作：n=logab例如：2 3=8，3 叫做 以 2 为底 8 的对数，记作 3=log28根据题意，请大家计算：（2）log 327= ； （ ） 2 log4 = 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a0，a1，M 0，N 0，那么 logaMN=logaM+logaN（3）请你利用上述性质计算：log 53+log5 27近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点 A 向 B，C 两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点 A 到 B 村距离约 3 千米，到 C 村距离约 4 千米，B

9、，C 两村间距离约 5 千米下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短28如图，已知ABC 中， ABC=45 ，点 D 是 BC 边上一动点（与点 B，C 不重合） ，点 E 与点 D 关于直线 AC 对称，连结 AE，过点 B 作 BFED 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）当 AE=BD 时，用等式表示线段 DE 与 BF 之间的数量关系，并证明2017-2018 学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

10、13 的算术平方根是（ ）A B C D9【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值【解答】解：3 的算术平方根是 ，故选：B【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键2如果分式 的值为零，那么 x 的值为（ ）A0 B1 C1 D1【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案【解答】解：分式 的值为零，x=0故选：A【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键3下列事件中，属于必然事件的是（ ）A任意投掷一枚硬币，落地后正面朝上B2018 年春节当天北京将下雪C弟弟的年龄比哥哥的年龄小D明天早晨，大家能看到太阳从西方冉冉升起【分

11、析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件；公理，定理以及推论都是必然事件【解答】解：A、任意投掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项错误；B、2018 年春节当天北京将下雪，是随机事件，故此选项错误；D、弟弟的年龄比哥哥的年龄小，是必然事件，故此选项正确；C、明天早晨，大家能看到太阳从西方冉冉升起，是不可能事件，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件解决此类问题，要熟练掌握课本上的公理，定理以及推论4下列运算结果正确的是（ ）A =9 B C D【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式除法运算法则计算得出答案【解

12、答】解：A、 =9，故此选项错误；B、 （ ） 2=2，正确；C、 = ，故此选项错误；D、 =5，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键5下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴

13、的位置6下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）A3 Ba Ca 2+1 D2x +4【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案【解答】解：A、3 0，则 3a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B、a 的符号不能确定，则 a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；C、 a2+1 一定大于 0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D、2x +4 的符号不能确定，则 a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键7为估计池塘两岸 A，B 间的距离，小明的办法是在地面上取一点 O，连接 OA，OB ，测得

14、 OB=15.1m，OA=25.6m这样小明估算出 A，B 间的距离不会大于（ ）A26m B38m C40m D41m【分析】根据三角形的三边关系定理得到 10.5AB40.7，根据 AB 的范围判断即可【解答】解：连接 AB，根据三角形的三边关系定理得：25.615.1AB25.6+15.1 ，即：10.5AB40.7，AB 的值在 10.5 和 40.7 之间故选：D【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键8如图，直线 l 上有三个正方形 a，b ，c ，若 a，c 的面积分别为 2 和 10，则 b 的面积为（ ）A8 B C D12【分

15、析】如图，根据正方形的性质得 BC=BF，CBF=90，AC 2=1，DF 2=10，再利用等角的余角相等得1=3，则可根据 ”AAS“证明ABCDFB，得到 AB=DF，然后根据勾股定理得到 BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=12，则有 b 的面积为 12【解答】解：如图，a 、b 、c 都为正方形，BC=BF，CBF=90 ，AC 2=2，DF 2=10，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABC 和DFB 中，ABCDFB，AB=DF，在ABC 中，BC 2=AC2+AB2=AC2+DF2=2+10=12，b 的面积为 12故选：D【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三

16、角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件也考查了勾股定理和正方形的性质二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 x 4 【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列不等式求解即可【解答】解：由题意得，x40，解得 x4故答案为：x4【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零10三角形的三个内角的度数比是 1：1：2则最大内角的度数是 90 【分析】三角形的内角和为 180，

17、进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角即可【解答】解：最大内角的度数为：180 =90，故答案为：90 【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题解题时注意：三角形内角和是 180114 没有平方根的理由是 任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于4 ） 【分析】直接利用平方根的意义分析得出答案【解答】解：4 没有平方根的理由是：任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于4 ） 故答案为：任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于4 ） 【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键12比 大且比 小的

18、整数是 3 【分析】直接利用比 大且比 小的整数是 即可得出答案【解答】解：比 大且比 小的整数是： =3故答案为：3【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确找出符合题意的整数是解题关键13如图，ABC 中，BC 边所在直线上的高是线段 AD 【分析】根据三角形的高的概念解答即可【解答】解：ABC 中，BC 边所在直线上的高是线段 AD，故答案为：AD【点评】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答14如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CD，BE 交于点 F，只添加一个条件使ABEACD，添加的条件是： B= C 【分析】添加条件是B=C，根据全等三角形的判定

19、定理 ASA 推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一【解答】解：B=C，理由是：在ABE 和ACD 中ABEACD（ASA） ，故答案为：B=C【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 15化简二次根式： = 【分析】先利用二次根式的除法法则得到原式= ，然后根据二次根式的性质进行化简即可解答本题【解答】解：原式= ，当 a0 时，原式= ，当 a0 时，原式= ，故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键16下面是课本中“作一个角等

20、于已知角”的尺规作图过程已知：AOB求作：一个角，使它等于AOB作法：如图（1）作射线 OA；（2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；（3）以 O为圆心， OC 为半径作弧 CE，交 OA于 C；（4）以 C为圆心，CD 为半径作弧，交弧 CE于 D；（5）过点 D作射线 OB则AOB就是所求作的角请回答：该作图的依据是 SSS 或全等三角形的对应角相等 【分析】根据作图可得 DO=DO，CO=CO ，CD=CD，再利用 SSS 判定DOCDOC即可得出O=O由此即可解决问题【解答】解：由题可得，DO=DO，CO=CO ，CD=CD，在COD 和 COD中，

21、DOCDOC （SSS） ，AOB=AOB（全等三角形的对应角相等） 故答案为：SSS 或全等三角形的对应角相等【点评】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等的判定方法三、解答题（本题共 68 分，第 17-25 题，每小题 5 分，第 26 题 7 分，第 27 题 8 分，第 28 题 8 分）17计算： 【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：=2 2+ 1=3 3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开

22、方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18计算： 【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式= + 3=4 +3 3=4 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍19计算： 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式=【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型20

23、已知：如图，AD 是 ABC 的角平分线，AB=AC=13cm ，AD=12cm求 BC 的长【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出 ADBC ，BD=CD，然后在直角ABD中利用勾股定理求出 BD，进而得出 BC 的长【解答】解：AB=AC，AD 是ABC 的角平分线，ADBC，BD=CD在直角ABD 中，ADB=90，AB=13，AD=12，BD= =5，BC=10cm【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方也考查了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质21解方程： + =3【分析】去分母化为整式方程即可解决

24、问题【解答】解：两边乘（x+ 1） （x 1）得到：（x 1）+3x （x+1）=3（x+1） （x 1）x1+3x2+3x=3x234x=2 ，经检验 是原方程的解所以原方程的解是 【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验22如图，ABC 中，D 为 BC 边上一点，BE AD 的延长线于 E，CFAD 于F，BE=CF求证：D 为 BC 的中点【分析】欲证明 D 为 BC 的中点，只要证明 BD=CD，即证明BED CFD 即可【解答】证明：BEAD 的延长线于 E，CF AD 于 F，CFD=BED=90，在BED 和 CFD 中，CDFB

25、DE（AAS ）CD=BDD 为 BC 的中点【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键23先化简： ，然后从 0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值，代入求值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式= = =1a 当 a=2 时，原式=1a=12= 1【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型24列方程解应用题：为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作 1200 个大小相同的宣传栏现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信

26、息：信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用 10 天；信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的 1.2 倍根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？【分析】设甲广告公司每天能制作 x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作 1.2x 个宣传栏，然后根据“ 甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用 10 天”列出方程求解即可【解答】解：设甲广告公司每天能制作 x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作 1.2x 个宣传栏根据题意得： 解得：x=20 经检验：x=20 是原方程的解且符合实际问题的意义1.2x=1.2 20=2

27、4答：甲广告公司每天能制作 20 个宣传栏，乙广告公司每天能制作 24 个宣传栏【点评】此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10 天是解题的关键25在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1） （2） （3） （1）一个不透明的盒子里装有 4 个红球，2 个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P（摸出一个红球）= （2）口袋里装有如图所示的 1 角硬币 2 枚、5 角硬币 2 枚、1 元硬币 1 枚搅均后，

28、从中随意摸出一枚硬币，摸出 1 角硬币的可能性是多少？解：P（摸出 1 角的硬币）= （3）如图，是一个转盘，盘面上有 5 个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P（指针对准红色区域）= 根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案【解答】答：第一个小敏的试题及答案是正确的小聪的试题中，因为 1 角、5 角、1 元的硬币大小不同，不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答小丽

29、的试题中，因为轻轻转动转盘时，指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键26现场学习：在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在 an=b 中，a ，b，n 三者关系同学甲：已知 a，n，可以求 b，是我们学过的乘方运算，其中 b 叫做 a 的 n 次方如：（2） 3=8，其中8 是 2 的 3 次方同学乙：已知 b，n，可以求 a，是我们学过的开方运算，其中 a 叫做 b 的 n 次方根如：（2） 2=4，其中 2 是 4 的二次方根（或平方根） ；（3

30、） 3=27，其中3是27 的三次方根（或立方根） 老师：两位同学说的很好，那么请大家计算：（1）81 的四次方根等于 3 ；32 的五次方根等于 2 同学丙：老师，如果已知 a 和 b，那么如何求 n 呢？又是一种什么运算呢？老师：这个问题问的好，已知 a，b，可以求 n，它是一种新的运算，称为对数运算这种运算的定义是：若 an=b（a0，a1） ，n 叫做以 a 为底 b 的对数，记作：n=logab例如：2 3=8，3 叫做 以 2 为底 8 的对数，记作 3=log28根据题意，请大家计算：（2）log 327= 3 ； （ ） 2 log4 = 8 随后，老师和同学们又一起探究出对数

31、运算的一条性质：如果a0，a1，M 0，N 0，那么 logaMN=logaM+logaN（3）请你利用上述性质计算：log 53+log5 【分析】 （1）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解；（2） （3）根据对数函数的定义求解【解答】解：（1）81 的四次方根为3；32 的五次方根 2 为 2；故答案是：3；2；（2）log 327=3；=4+2（2）=8；故答案是：3；8；（3）解：log 53+log5=log53 ，=log51，=0【点评】本题考查了方根的定义关键是掌握对数函数的定义和对数的计算法则27近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要

32、从燃气站点 A 向 B，C 两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点 A 到 B 村距离约 3 千米，到 C 村距离约 4 千米，B ，C 两村间距离约 5 千米下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短【分析】根据三种方案计算比较即可【解答】解：方案 1：AB+AC=3 +4=7 千米；方案 2：连接 AB，AC AB=3，AC=4，BC=5BAC=90 ，ADBC 于 D，S ABC = ABAC= BCAD，34=5AD，AD= ，AD+BC= +5=7.4 千米；方案 3：AEAD，AE +BC7.4 千米，综上，在不考虑

33、其它因素的情况下，方案 1 所用管道最短【点评】本题考查了最短路线；根据三种方案计算是解决问题的关键28如图，已知ABC 中， ABC=45 ，点 D 是 BC 边上一动点（与点 B，C 不重合） ，点 E 与点 D 关于直线 AC 对称，连结 AE，过点 B 作 BFED 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）当 AE=BD 时，用等式表示线段 DE 与 BF 之间的数量关系，并证明【分析】 （1）根据题意画出图形即可；（2）结论：DE=2BF 连接 AD，设 DE 交 AC 于 H想办法证明ADHDBF 即可解决问题；【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示：（2）结论：DE=2BF 理由：连接 AD，设 DE 交 AC 于 H点 E、D 关于 AC 对称，AC 垂直平分 DEAE=ADAE=BD， AD=DBDAB=ABC=45 ADC=90ADE+BDF=90BFED，ACED，F= AHD=90DBF+BDF=90DBF=ADHADHDBFDH=BF又DH=EH，DE=2BF【点评】本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；