2017-2018学年北京市房山区九年级上期末数学试卷(含答案解析)
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1、2017-2018 学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(每小题 2 分,共 16 分)1已知点(1,2)在二次函数 y=ax2 的图象上,那么 a 的值是( )A1 B2 C D2在 RtABC 中,C=90,AB=2BC,那么 sinA 的值为( )A B C D13如图,在ABC 中,M、N 分别为 AC、BC 的中点,若 SCMN =1,则 SABC 为( )A2 B3 C4 D54如图,在高 2m,坡角为 30的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要( )A2 m B (2+2 )m C4m D (4+2 )m5如图,点 P 在反比例函数 y= (k 0)的图象上,PAx 轴
2、于点 A,PAO 的面积为 2,则 k 的值为( )A1 B2 C4 D66如图,在ABC 中, ACD=B ,若 AD=2,BD=3,则 AC 的长为( )A B2 C D67如图,在O 中, = ,AOB=50,则ADC 的度数是( )A50 B40 C30 D258小明以二次函数 y=2x24x+8 的图象为灵感为“2017 北京 房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB=4, DE=3,则杯子的高 CE 为( )A14 B11 C6 D3二、填空题(每小题 2 分,共 16 分)9请写出一个开口向下,并且与 y 轴交于点(0 ,1)的抛物线的解析式 10如图所示
3、,圆 O 的半径为 5,AB 为弦,OC AB,垂足为 E,如果 CE=2,那么 AB的长是 11如图 1,西沙河属马刨泉河支流,发源于房山区城关街道迎风坡村,流域面积 11平方公里,为估算西沙河某段的宽度,如图 2,在河岸边选定一个目标点 A,在对岸取点 B、C、D ,使得 ABBC,CD BC ,点 E 在 BC 上,并且点 A、E 、D 在同一条直线上,若测得 BE=2m,EC=1m ,CD=3m,则河的宽度 AB 等于 m12如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ,B (1,1) ,则关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 13如图,
4、“吃豆小人” 是一个经典的游戏形象,它的形状是一个扇形,若开口1=60,半径为 ,则这个 “吃豆小人” (阴影图形)的面积为 14如图,每个小正方形的边长为 1,A、B 、C 是小正方形的顶点,则ABC 的正弦值为 15已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1=,x 2= ,则此二次函数图象的对称轴为 16下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程已知:O求作:O 的内接正方形作法:如图(1)过圆心 O 作直线 AC,与O 相交于 A、C 两点;(2)过点 O 作直线 BDAC ,交O 于 B、D 两点;(3)连接 AB、BC 、CD 、 DA四边
5、形 ABCD 为所求请回答:该尺规作图的依据是 (写出两条) 三、解答题(本题共 68 分)17 (5 分)计算: tan30cos60+sin4518 (5 分)下表是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分 x、 y 的对应值:x 10 1 2 3 y m 121 2 (1)二次函数图象的顶点坐标是 ;(2)当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时,n 的取值范围是 19 (5 分)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,A=BDC(1)求证:ABD DCB;(2)若 AB=12,AD=8,CD=15,求 DB 的长20 (5 分)如图,是二次函数 y=ax2+bx
6、+c 的部分图象(1)结合图象信息,求此二次函数的表达式;(2)当 y0 时,直接写出 x 的取值范围: 21 (5 分)如图,已知O 中,AB 为直径,AB=10cm,弦 AC=6cm,ACB 的平分线交O 于 D,求线段 BC,AD,BD 的长22 (5 分)如图,ABC 中,ACB=90 ,sinA= ,BC=8,D 是 AB 中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂足为点 E(1)求线段 CD 的长;(2)求 cosABE 的值23 (5 分)反比例函数 y= (k0)与一次函数 y=x+5 的一个交点是 A(1,n) (1)求反比例函数 y= (k0)的表达式;(2)当一次函数的函数
7、值大于反比例函数值时,直接写出自变量 x 的取值范围为 24 (5 分)中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展,已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”,修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥,如图,某高铁在修建时需打通一直线隧道 MN(M、N 为山的两侧) ,工程人员为了计算 M、N 两点之间的直线距离,选择了在测量点 A、B 、C 进行测量,点 B、C 分别在 AM、AN 上,现测得AM=1200 米,AN=2000 米,AB=30 米,BC=45 米,AC=18 米,求直线隧道 MN 的长25 (5 分)已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A( 2,0) (1)填空:c= (用含
8、b 的式子表示) (2)b4求证:抛物线与 x 轴有两个交点;设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B,当线段 AB 上恰有 5 个整点(横坐标、纵坐标都是整数的点) ,直接写出 b 的取值范围 ;(3)直线 y=x4 经过抛物线 y=x2+bx+c 的顶点 P,求抛物线的表达式26 (7 分)如图,在 RtABC 中,C=90 ,AD 是BAC 的角平分线(1)以 AB 上一点 O 为圆心,AD 为弦作O ;(2)求证:BC 为O 的切线;(3)如果 AC=3,tanB= ,求O 的半径27 (8 分)如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=BC=4,CDAB 于 D,P 是线段 CD上一
9、个动点,以 P 为直角顶点向下作等腰 RtBPE ,连接 AE、DE(1)BAE 的度数是否为定值?若是,求出BAE 的度数;若不是,说明理由(2)直接写出 DE 的最小值28 (8 分)定义:在平面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 yx 称为 P 点的“坐标差”,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“ 特征值” (1)点 A(1,3)的“坐标差”为 ;抛物线 y=x2+3x+3 的“特征值”为 ;(2)某二次函数 y=x2+bx+c(c0)的“特征值”为1,点 B(m ,0 )与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y
10、轴的交点,且点 B 与点 C 的“ 坐标差”相等直接写出 m= ;(用含 c 的式子表示)求此二次函数的表达式(3)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 M(2,3)为圆心,2 为半径的圆与直线y=x 相交于点 D、E,请直接写出 M 的“ 特征值 ”为 2017-2018 学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题 2 分,共 16 分)1已知点(1,2)在二次函数 y=ax2 的图象上,那么 a 的值是( )A1 B2 C D【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于 a 的方程,可求得 a 的值【解答】解:点(1,2)在二次函数 y=ax2 的图象
11、上,2=a(1) 2,解得 a=2,故选:B【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征,掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键2在 RtABC 中,C=90,AB=2BC,那么 sinA 的值为( )A B C D1【分析】根据正弦的定义列式计算即可【解答】解:C=90 , AB=2BC,sinA= = ,故选:A【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边3如图,在ABC 中,M、N 分别为 AC、BC 的中点,若 SCMN =1,则 SABC 为( )A2 B3 C4 D5【分析】由 M、N 分别为 AC、
12、BC 的中点可得出 MNAB、AB=2MN,进而可得出ABCMNC,根据相似三角形的性质结合 S CMN=1,即可求出 SABC 的值【解答】解:M、N 分别为 AC、BC 的中点,MNAB,且 AB=2MN,ABCMNC, =( ) 2=4,S ABC =4SCMN =4故选:C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出ABCMNC 是解题的关键4如图,在高 2m,坡角为 30的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要( )A2 m B (2+2 )m C4m D (4+2 )m【分析】由题意得,地毯的总长度至少为(AC+BC) 在
13、ABC 中已知一边和一个锐角,满足解直角三角形的条件,可求出 AC 的长,进而求得地毯的长度【解答】解:如图,由题意得:地毯的竖直的线段加起来等于 BC,水平的线段相加正好等于 AC,即地毯的总长度至少为(AC+BC ) ,在 RtABC 中,A=30,BC=2m,C=90 tanA= ,AC=BCtan30=2 AC+BC=2 +2故选:B【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角ABC 的直角边的和5如图,点 P 在反比例函数 y= (k 0)的图象上,PAx 轴于点 A,PAO 的面积为 2,则 k 的值为( )A1 B2 C4 D6【分析】根据
14、反比例函数系数 k 的几何意义可知, PAO 的面积= |k|,再根据图象所在象限求出 k 的值既可【解答】解:依据比例系数 k 的几何意义可得, PAO 的面积= |k|,即 |k|=2,解得,k=4,由于函数图象位于第一、三象限,故 k=4,故选:C【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义,即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k|6如图,在ABC 中, ACD=B ,若 AD=2,BD=3,则 AC 的长为( )A B2 C D6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出 AC:AB=AD :AC,即 AC2=A
15、BAD,将数值代入计算即可求出 AC 的长【解答】解:在ADC 和ACB 中,ACD=B,A= A,ADCACB (两角对应相等,两三角形相似) ;AC:AB=AD:AC,AC 2=ABAD,AD=2 ,AB=AD+BD=2+3=5,AC 2=52=10,AC= 故选:A【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,用到的知识点为:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(简叙为两角对应相等,两三角形相似) ;相似三角形的对应边成比例7如图,在O 中, = ,AOB=50,则ADC 的度数是( )A50 B40 C30 D25【分析】先求出AOC=AOB=50
16、,再由圆周角定理即可得出结论【解答】解:在O 中, = ,AOC=AOB,AOB=50,AOC=50,ADC= AOC=25 ,故选:D【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键8小明以二次函数 y=2x24x+8 的图象为灵感为“2017 北京 房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB=4, DE=3,则杯子的高 CE 为( )A14 B11 C6 D3【分析】首先由 y=2x24x+8 求出 D 点的坐标为(1,6) ,然后根据 AB=4,可知 B 点的横坐标为 x=3,代入 y=2
17、x24x+8,得到 y=14,所以 CD=146=8,又 DE=3,所以可知杯子高度【解答】解:y=2x 24x+8=2(x 1) 2+6,抛物线顶点 D 的坐标为(1,6) ,AB=4,B 点的横坐标为 x=3,把 x=3 代入 y=2x24x+8,得到 y=14,CD=146=8 ,CE=CD+DE=8+3=11故选:B【点评】本题主要考查了二次函数的应用,求出顶点 D 和点 B 的坐标是解决问题的关键二、填空题(每小题 2 分,共 16 分)9请写出一个开口向下,并且与 y 轴交于点(0 ,1)的抛物线的解析式 y=x 2+1(答案不唯一) 【分析】根据二次函数的性质,抛物线开口向下 a
18、0,然后写出即可【解答】解:抛物线解析式为 y=x2+1(答案不唯一) 故答案为:y=x 2+1(答案不唯一) 【点评】本题考查了二次函数的性质,开放型题目,主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数 a 的关系10如图所示,圆 O 的半径为 5,AB 为弦,OC AB,垂足为 E,如果 CE=2,那么 AB的长是 8 【分析】如图,连接 OA;首先求出 OE 的长度;借助勾股定理求出 AE 的长度,即可解决问题【解答】 解:如图,连接 OA;OE=OCCE=52=3;OCAB ,AE=BE;由勾股定理得:AE 2=OA2OE2,OA=5,OE=3,AE=4,AB=2AE=8故答案为 8【点评】该
19、题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题;作辅助线,构造直角三角形,灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键11如图 1,西沙河属马刨泉河支流,发源于房山区城关街道迎风坡村,流域面积 11平方公里,为估算西沙河某段的宽度,如图 2,在河岸边选定一个目标点 A,在对岸取点 B、C、D ,使得 ABBC,CD BC ,点 E 在 BC 上,并且点 A、E 、D 在同一条直线上,若测得 BE=2m, EC=1m,CD=3m,则河的宽度 AB 等于 6 m【分析】由两角对应相等可得BAECDE ,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB【解答】解:ABBC,CD BC ,BAECD
20、E, ,BE=2m,CE=1m,CD=3m, ,解得:AB=6故答案为:6;【点评】考查相似三角形的应用;用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;相似三角形的对应边成比例12如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ,B (1,1) ,则关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 x 1=2,x 2=1 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为, ,于是易得关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解【解答】解:抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ,B(1,1) ,方程组 的解为 ,
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