青岛版数学六年级上《第五单元》教学素材

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1、找圆心的方法如果一个圆形纸片没有标出圆心，我们怎样才能正确找到圆心呢？（1）折叠法先将圆面对折，使两个半圆重合，再把圆展开，图中出现一条折痕，这条折痕就是圆的直径将圆换一个角度，再对折一次，使两个半圆重合，展开后又出现一条折痕这两条折痕的交点，也就是这两条直径的交点就是圆心。（2）垂直平分法在圆上任意选三点 A、B、C，连接 AB、BC（连接 AC也可以） ，用刻度尺量了 AB、BC 的中点，再过这两个中点作 AB、BC 的垂线这两条过中点的垂线就是 AB、BC 的垂直平分线这两条垂直平分线的交点就是圆心。（3）直角法把一个三角板的直角的顶点放在圆周上某一点处，如图中 A点和 D点处，三角板的

2、两条直角边与圆相交于 B、C 两点，和 E、F 两点，连接 BC和 EF，就是这个圆的两条直径，这两条直径的交点 O就是圆心。用谐音记圆周率的故事在一所山村私塾里，古板的老先生给学生留的作业是背诵圆周率 3.1415926535897932384626，留下作业他便出去散心了。学生们在教室里大声的背诵，但背过前面忘后面，记住后面忘前面，怎么也记不住。后来有一个调皮的学生说：“先生自己出去玩，却让我们记这些枯燥的数字，我们也去玩吧？”其他学生纷纷赞同，大家一窝蜂似的拥出了教室。学生们在学校边的山上奔跑、追逐、打闹，早已把背圆周率的事抛到了九霄云外。正玩在兴头上，忽然一个学生叫道“看！我们的老师在

3、那边呢！”学生们顺着他手指的方向看过去，果然看到老先生正和一个和尚在山顶凉亭中饮酒。 “先生跑出来和和尚喝酒，他知道寻找快乐却让我们被那些枯燥的数字，真恨不得酒能毒死他！”一个学生忿忿地说。一个学生无奈的说：“酒怎么会毒死他呢？我们还是玩自己的吧。 ”一个才思敏捷的学生见此情景，随口说道：“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。 ”有一个学生听了高兴的大叫：“背过了！圆周率背过了！”其他学生疑惑不解，问明原因后，纷纷称妙。聪明的小朋友，你知道他们是怎么背过圆周率的吗？圆的面积在半径为 r的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。如

4、图，AB 是圆 O的内接正 n边形的一边，OD 垂直于 AB(它的长度用 r表示)。所以 AOB的面积等于 12ABr。正 n边形的面积等于AOB 面积的 n倍，因此，正 n边形的面积= ABrn= (ABn)r。12 12因为正 n边形的周长 p=ABn，所以正 n边形的面积= pr。12DhrBAo当正 n边形的边数不断地成倍增加时;正 n边形的面积 n越来越接近于圆的面积;同时，正 n边形的周长 p也越来越接近于圆的周长 2r；r 也越来越接近于圆的半径 r。因此，圆的面积S= pr= 2rr=r。12 12圆与球：跨时代、跨文化的数学故事伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完

5、美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术” ，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。 纪念割圆术的邮票古希腊数学家称用多边形逼近

6、曲线图形的方法为“穷竭法” ，早在公元前 3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式：(R 是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲

7、学者迟至 17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在 17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率 的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作无穷算术中，用插值法计算 1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式。沃利斯牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。

8、笛卡儿在几何学一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了 的无穷级数表达式。笛卡尔纪念邮票饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理” 。他所谓的“圆理” ，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第

9、二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！”阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为 20世纪最重大的考古发现而轰动一时。 阿基米德的墓碑上就刻着他一生最得意的发现“圆柱容球“的几何图形至于圆周率 的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。据隋书记载，祖冲之算出

10、圆周率的精确值在3.1415926与 3.1415927之间，这在公元 5世纪时创造了世界之最。为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山” 。1955 年，中国还发行了祖冲之纪念邮票。祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔卡西的邮票，阿尔卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元 14世纪，给出了准确到 13位小数的圆周率近似值。今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。 我们已经看到，圆与球，简单，美丽，奥妙，述说着一个跨时代、跨文化的数学故事。最后，让

11、我们回到本文开始之处北京天坛，去侧耳倾听沿着那圆形的回音壁回荡的永恒的“圆舞曲”吧。硬币的经典原则与历史从传统来讲，当我们谈到硬币的时候，有十个基本原则：第一，硬币必须是圆形的；第二，硬币必须是平的，不能是曲形的和波形的；第三，硬币必须轻而小；第四，硬币必须是一块，不能是拼图形的；第五，硬币只能使用一种金属打造；第六，硬币金属的选择有其局限性，不能随意；第七，硬币必须具备电磁特性，这样的话才能分辨出不同币值；第八，硬币边缘要有丝齿，丝齿具有让视觉障碍人士判别出硬币面值是多少的作用；第九，硬币的正面和反面必须有不同的设计，一般来讲，英属殖民地国家的硬币正面一般都是女王的头像，或者是这个国家的标志

12、性人物；第十，金属价值要低于它的面值，否则会造成一些负面影响。传统上，我们探讨硬币的时候，都要遵循这十个黄金准则。硬币的历史是怎样的？最早出现的是贝壳货币，现在还有国家在使用它。公元前 400年到公元前 225年，中国货币史上出现了刀形币，包括各种形状，比如，尖首刀、直刀、重型刀(大刀)等，它们都是铸币。五代十国时期(公元 907年至公元 960年)，中国曾经使用铅币。此外，在中国还出土过铸铜与铸铁的环币。印度硬币的发展史如下图所示，可以看到最左边和最右边的硬币差距很大。古罗马和古希腊的硬币，最早可以追溯到公元前 600年。那时，它们的硬币大多数是平的，比如上图，这枚币正面不知道到底是一头老虎

13、还是一头狮子，反面是凹进去的两个方块，这枚硬币并不是圆形的。之后古希腊和古罗马有了圆形的硬币，它们的浮雕通常做得很高，古埃及的硬币浮雕也很高。硬币的今天早先，滚珠螺旋压印机是主要使用的压印设备，而现在，它们主要陈设在博物馆里，但还有一些国家仍然在使用这种设备。1833 年法国发明了动力压印机，1836 年进口到美国费城，富兰克林研究所 1927年出资收购了这台机器，现在它陈列在费城博物馆里。现在人们对于假币都十分小心谨慎，造币时也需要注意防伪的特征。较早的防伪硬币，是日本 500元的硬币，首先它有隐性标记，其次它的旁边有斜齿。和它相似的是西班牙生产的 20欧元硬币，它同样既有隐性图形，也有边缘

14、部位的丝齿。澳大利亚皇家造币厂现在引入了彩色流通纪念币制作技术，去年我们推出了罂粟币，还有钻石婚硬币。虽然是流通币，但是铸造质量都非常高。我们有制作流通币的压印机，也有专门制作精制流通币的压印机。举例而言，后者印制的 2000年悉尼奥运会的精制流通币，是非常高质量的多色彩纪念币，上面印有澳大利亚的一种特有动物鸸鹋。大家对制作这种流通币的传统过程耳熟能详，首先要非常仔细地雕刻石膏，然后将石膏模具放到缩刻机里。但是，这样的时代已经一去不复返了，我们已经不再使用这些传统仪器，而改用电脑雕刻机，制作模具的时间已经缩短到 4天。在硬币的制造过程中，我们也在不断创新。对于一些流通币，我们有选择地进行了局部

15、镀金。还有些流通币上有镶嵌层，在币上做镶金处理。纪念币方面，在 2000年悉尼奥运会的纪念金币上，我们使用了不同的颜色，将它们融合在这枚币上。很多国家都引进了全息幻影币，在这种币上，可以看到不同的色彩。例如，澳大利亚的硬币中颇具特色的一款是在币面上可以看到不同的景色，有早上、中午、下午以及傍晚的景色，我们把这 4种时间的景色，都融合到全息币中。硬币的未来未来的硬币会是怎样的？我们首先来观察一些最新的硬币，通过它们，预测一下未来可能出现的硬币形状。斯洛伐克推出了方形的金钯合金币，它是为了纪念斯洛伐克共和国成立十周年而发行的纪念币。斯洛伐克的新千年纪念币是三角形的金银币。2013 年 5月中旬，澳

16、大利亚推出了纪念国会大厦建成 25周年纪念币，也是三角形的，大受欢迎。现在其他国家也引入了不同形状的纪念币，帕劳群岛制造出心形纪念币，非常可爱，很容易赢得人们的喜欢。瑙鲁 2002年发行了欧洲地图形状的银币。2011 年，澳大利亚推出了国土版图形状的货币。纽埃群岛发行过城堡形状的纪念币，里面还镶嵌了宝石。马恩岛 2012年为纪念英国女王钻石婚，发行了钻石形的金币，币上还镶嵌了一颗钻石。马恩岛还发行过金字塔形的硬币。2001年，法国发行了“最后 1法郎”波浪形金银币，它是由法国人菲利普斯塔克设计的。波兰和乌克兰 2012年共同发行了一款非常特殊的欧洲杯纪念币。4 枚小硬币分别代表 4个城市，拼在

17、一起又组成一个足球运动场面。匈牙利 2000年发行的银币，将圆形纪念币一分为二；2012 年澳大利亚发行了弧面币。澳大利亚发行的 1公斤银币是较早引入彩色的银币。为了纪念英联邦运动会，澳大利亚 2002年还发行了三金属纪念币，分别是金、银、铜。奥地利 2003年发行了市政厅 700年银铌双金属纪念币，第一次引入了铌这种金属。铌和其他金属在一起，能够产生不同的颜色，最多可以有 10种颜色。库克群岛 2002年发行的王冠纪念币，将细小的宝石镶嵌在亚克力盒子中。马恩岛 2002年发行了可转动的银盘币，它的名字叫作“货币转换器” 。加拿大、老挝、刚果都发行过全息币。澳大利亚 2004年还发行过 5只袋鼠纪念币，是铝铜合金的动态全息币。加拿大发行过部分氧化金币和夜光币。还有一种其他形式的币，就是电影纪念币，很有创意。新西兰发行了指环王纪念币和星球大战纪念币。过去两三个月，有一个电视剧系列的神秘博士纪念币刚刚发行。此外，新西兰还推出了关于大富翁游戏的纪念币。未来会有什么样的硬币形式呢？有没有可能出现液体的纪念币？实际上我们只要尝试，一切都是有可能的。所以我一开始讲的硬币的十个基本原则已经不再存在了。造币在不断地扩展想象力，尽可能在硬币中引入新的维度，创造新的可能。