青岛版数学六年级上《第一单元》教学素材

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1、分数知多少分数有一个久远的历史，可能要追溯到 3000 年前的埃及了，3000 多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为 1 的分数。2000 多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式跟现在不一样。后来，印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。分数有分子、分母和分数线，比如： ，5 是分母，2 是分子，25中间一横是分数线。在我们的日常生活中，我们也经常会用到分数，比如一块西瓜切成 8 份，分给 8 个人，每人分得 。18分数发展历史(1)分数在我们中国很早就有了，最初分数的表现形式跟现在不一样。后来，

2、印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。200 多年前，瑞士数学家欧拉，在通用算术一书中说，要想把 7 米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它如果我们把它分成三等份，每份是 米像 就是一种新的73 73数，我们把它叫做分数。为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要除法运算的需要而产生的。算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。 算数书成书于西

3、汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是 1984 年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。 周髀算经编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。 ”这是中国最早关于勾股定理的书面记载） ；（2）测太阳高或远的“陈子测日法” 。 九章算术在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了 246 个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在

4、代数方面， 九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。九章算术标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。分数发展历史(2)赵爽学术成就体现于对周髀算经的阐释。在勾股圆方图注中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了九章算术 ，其著作九章算

5、术注不仅对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术” （圆内接正多边形面积无限逼近圆面积） ，为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值“ （3.1416） ”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公39271250式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术” 。另外， 海岛算经也是刘徽编撰的一部数学论著。南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有孙子算经 、 夏侯阳算经 、 张丘建算经等算学著作问世。祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数

6、学思维和数学推理，在前人刘徽九章算术注的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作缀术（已失传）取得如下成就：圆周率精确到小数点后第六位，得到 3.14159263.1415927，并求得 的约率为 ，密率为 ，其中密率是分子分母在 1000 以内的最佳值；欧洲直到 16 世纪德国人鄂图227 355113（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异” ）定理；欧洲 17 世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。分数

7、发展历史(3)隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆算经十书成为专用教材对学生讲授。 算经十书收集了周髀算经 、 九章算术 、海岛算经等 10 部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。公元 600 年，隋代刘焯在制订皇极历时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。从公元 11 世纪到 14 世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、

8、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。贾宪在黄帝九章算法细草中提出开任意高次幂的“增乘开方法” ，同样的方法至 1819 年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与 17 世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的黄帝九章算法细草书稿已佚。秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247 年，他在数书九章中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举 20 多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程） 。16 世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。李冶于 1248 年发表测圆海镜 ，该书是首部系统论述“天元术” （一元

9、高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技” 、 “玩物”等长期存在的士风谬论。公元 1261 年，南宋杨辉（生卒年代不详）在详解九章算法中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元 1274 年他在乘除通变本末中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元 1280 年，元代王恂、郭守敬等制订授时历时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。公元 1303 年，元代朱世杰（生卒年代不详）著四元玉鉴 ，他把“天元术”推广为“四元术” （四元高次联立方程）并提出消元的解法

10、，欧洲到公元 1775 年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元 1670 年英国人格里高利（Gregory）和公元 1676 一 1678 年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。14 世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。明代珠算开始普及于中国。1592 年程大位编撰的直指算法统宗是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要

11、原因之一。由于演算天文历法的需要，自 16 世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了几何原本的前 6 卷（1607 年完成） 。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了测量异同和勾股义两篇著作。邓玉函编译的大测 2 卷 、 割圆八线表 6 卷和罗雅谷的测量全义 10 卷是介绍西方三角学的著作。一个数的几分之几是多少？“一个数的几分之几是多少” ，抽象成数学模型是“甲数是乙数的几分之几” 。在这里， “几分之几”是描述甲数和乙数两种之间关系的分率， “是”和“的”是关键词， “是”有时候被

12、“相当于”或“为”等替代。关键词“是”相当于数学符号“” ，关键词“的” 相当于数学符号“” 。有时候分率句省略了单位“1” ，要注意补全。 “甲数乙数几分之几” 。九章算术九章算术于公元前一世纪成书，至此时已 3000 余年光和大司农斛、权(179 年)“依黄钟律历、九章算术 ”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作 九章算术包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公

13、式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有 246 个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上， 九章算术或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微， 九章算术成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。九章算术中的分数乘法九章算术是中国古代数学专著，这是世界上最早的印刷本数学书。它的出现标志着中国古代数学体系的正式形成。后世的数学家大

14、都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。 九章算术共收有 246 个数学问题，分为九章，分别是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。九章算术是世界上最早系统叙述分数四则运算的著作。一下是九章算术中有关分数乘法的叙述。今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？答曰：三十五分步之十二。又有天广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？答曰：十一分步之七。又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？答曰：九分步之四。刘徽与九章算术九章算术有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理东汉以后许多学者

15、如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过九章算术 ，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对九章算术的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大。 面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上。率计算的纲纪 九章算术上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求刘徽九章算术注的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述 为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一

16、种量作标准，进而找到诸量之间的关系中国古代数学概念“率”承担了这个职责 “率”的本意是规格、标准、法度 孟子尽心上：“羿不为拙射变其彀率 ”墨子备城门：“城下楼卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之 ”反映了“率”逐步转化成一个数学概念的过程 九章算术的许多术文和问题题设应用了率，提出了“今有术”和勾股数通解公式等重要成就，然有的应用却偏离了约定俗成的内涵刘徽则大大发展了率的思想，从而把九章算术的算法提高到系统理论的高度。 刘徽关于“率”的定义是：“凡数相与者谓之率。 ”“相与”即相关，这里是一种线性相关。 “数”实际上是一组量现今的比率是最直观且应用最广泛的一种率关系，但是，率的涵义却

17、比比率要深刻、广泛得多由率的定义，刘徽得出率的重要性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已 ”即一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数根据率的这一性质，刘徽提出了乘、约、齐同三种等量变换它们最初都是从分数运算中抽象出来的事实上，分数的分子和分母可以看成率关系刘徽关于“率”的定义就是在“经分术”(即分数除法)注中提出来的那么，关于分数运算的三种等量变换自然推广到率的运算中成率关系的一组量如有等数即公因子)，则可用此等数约所有的量(称为“ 约”)，而不改变率关系，这就是“约以聚之” 相反，成率关系的所有数可以同乘某一数，亦不改变率关系

18、，这就是“乘以散之” 利用这两种等量变换可以把成率关系的任意一组数(在现今实数范围内)化成没有公因子的一组数，而不改变率关系，从而提出了“相与率”的概念：“等除法、实，相与率也 ”两个量的相与率实际上是今天互素的两个数在运算时，刘徽一般使用相与率几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而产生了齐同术：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也” 而对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组量，要通过齐同化成同一率关系，这就是“齐同以通之” 齐同原理成为率的一种重要运算刘徽说： 乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？ 显然，

19、刘徽把率看成运算的纲纪。 “今有术”在九章算术算法中起着基础性作用。 今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。什么叫倒数?倒数（multiplicative inverse）读（do sh） ，是指数学上设一个数 x 与其相乘的积为 1 的数，记为 ，过程为“乘法逆” ，除了 0 以外的复数都存在倒数， 倒数图将其以 1 除，便可得到倒数。 两个1x数乘积是 1 的数互为倒数，0 没有倒数。分数的倒数 找一个分数的倒数，例如 ，把 这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分34 34母做分子，则是 。 是 的倒数，也可以说 是 的倒数。43 43 34 34

20、43整数的倒数找一个整数的倒数，例如 12；把 12 化成分数，即 ；再把 这个分数的分子和分母交换位置，把原121 121来的分子做分母，原来的分母做分子。则是 ，12 是 的倒数。也可以说 是 12 的倒数。还有一种说法，112 112 11212 和 互为倒数。0 没有倒数。本身是倒数的数是 1。112乘积是 1 的两个数互为倒数。卡尔弗里德里希高斯约翰卡尔弗里德里希高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777 年 4 月 30 日1855 年 2月 23 日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数

21、学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达 110 个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。家庭背景高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计

22、算，是上帝赐予他一生的天赋。父亲格尔恰尔德迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。高斯很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。在成长过程中，幼年的高斯主要得力于他的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich） 。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高

23、斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才“。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。罗捷雅真的希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入不能养家糊口的数学研究中。在高斯 19 岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友 W.波尔约问道：高斯将来会有出息吗？波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家“，为此她激动得热泪盈眶。初显天分高斯 7 岁那年开始上学。10 岁的时

24、候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。一天，老师布置了一道题，1+2+3这样从 1 一直加到 100 等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案：“你一定是算错了，回去再算算。 ”高斯说出答案就是 5050，高斯是这样算的 1+100=101，2+99=1011 加到 100 有 50 组这样的数，所以 50X101=5050。布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。 ”接着，高斯与布特纳的

25、助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。得到资助1788 年，11 岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。他的教师们和慈母把他推荐给伯伦瑞克公爵，希望公爵能资助这位聪明的孩子上学。布伦兹维克公爵卡尔威廉斐迪南召见了 14 岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。高斯的花体亲笔签名。1792 年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795 年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照

26、自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1796 年高斯 19 岁，发现了正十七边形的尺规作图法，1 解决了自欧几里德以来悬而未决的一个难题。1 同年，发表并证明了二次互反律。这是他的得意杰作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”2 。1799 年，高斯完成了博士论文，获黑尔姆施泰特大学的博士学位，回到家乡布伦兹维克，虽然他的博士论文顺利通过了，被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵继续慷慨资助高斯的研究，使得他能在 1803 年谢绝圣彼得堡提供的教授职位，他一直是圣彼得堡科学院通讯院士。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷

27、费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了算术研究 ，使该书得以在 1801 年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和算术研究中，写下了情真意切的献词：“献给大公“，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究“。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。历经变故1806 年，卡尔威廉斐迪南公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸在耶拿战役阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲

28、痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在 19 世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字：“对我来说，死去也比这样的生活更好受些。“慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从 1802 年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从 1783 年莱昂哈

29、德欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位。1807 年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志

30、着科学研究社会化的一个良好开端。投身研究 1833 年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 洛巴切夫斯基，波尔约。其中波尔约的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小波尔约还是沉溺于平行公理

31、。最后发展出了非欧几何，并且在 18321833年发表了研究结果，老波尔约把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。 他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。他的父亲死于 1808 年 4 月 14 日，1809 年 10 月 11 日，他的第一位妻子 Johanna 也离开人世

32、。次年8 月 4 日高斯迎娶第二位妻子 Friederica Wilhelmine （1788-1831） 。他们又有三个孩子：Eugen （1811-1896）,Wilhelm （1813-1883） 和 Therese （1816-1864） 。1831 年 9 月 12 日她的第二位妻子也死去，1837 年高斯开始学习俄语。1839 年 4 月 18 日，他的母亲在哥廷根逝世，享年 95 岁。高斯于1855 年 2 月 23 日凌晨 1 点在哥廷根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记发现于 1898 年。3 个人信仰高斯的信仰是基于寻求真理的。他相信“精神个性上的不朽，像是个人在死后的

33、持久性，还有最后命令的东西，以及永恒的、正义的、无所不知和无所不能的上帝。 ”高斯也坚持宗教的宽容，他相信打扰其他正处在他们自己和平信念中的人是不对的。4 他说：”微小的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。 “高斯具有浓厚的宗教感情、贵族的举止和保守的倾向。他一直远离他那个时代的进步政治潮流。在高斯身上表现出的矛盾是与他实际上的和谐结合在一起的。高斯身为才气横溢的算术家，对於数具有非凡的记忆力。他既是一个深刻的理论家，又是一个杰出的数学实践家。教学是他最讨厌的事，因此他只有少数几个学生。但他的那些影响数学发展进程的论著(大约 155 篇)却使他呕心沥血。有 3 个原则指导他的工作他最喜欢说的

34、少些，但要成熟些 ；他的格言不留下进一步要做的事 ；和他的极度严格的要求。从他死后出版的著作中可以看出，他有许多重要和内容广泛的论文从未发表，因为按他的意见，它们都不符合这些原则。高斯所追求的数学研究题目都是那些他能在其中预见到具有某种有意义联系的概念和结果，它们由於优美和普遍而值得称道。伟人之死1849 年举办了高斯获博士学位 50 周年庆祝会，为此高斯准备了他早期对代数基本定理证明的一个新版本。由於健康状况愈来愈差，这成了他最后的著作。给他带来最大欢乐和荣誉的还是哥廷根市赠与他的荣誉公民头衔。由於他在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成就，他被选为许多科学院和学术团体的成员。他谢

35、绝了许多大学请他当教授的邀请而一直留在哥廷根大学的院系中，直至 1855年 2 月 23 日逝世。逝世后不久就铸造了纪念他的钱币。个人成就数学成就欧几里德已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法)作出了贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是

36、直观地被引进。1831 年(发表於 1832 年)他给出了一个如何藉助於 x,y 平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与该直线平行的线。不久就有人推测这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的几何学的人之一。他逐渐得出革命性的结论确

37、实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表(参阅非欧几里得几何条)。当 1830 年前后匈牙利的波尔约(Janos Bolyai)和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非欧几何学时，高斯宣称他大约在 30 年前就得到同样的结论。高斯也没有发表特殊复函数方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。1830 年前后，极值(极大和极小)原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体

38、粒子和与它接触的固体或流体粒子之间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从 1830 年起高斯就与物理学家威廉爱德华韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为他们的资金有限，所以试验都是小规模的。天文发现1801 天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。1801 年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（Ceres）的小行星在天空出现了 41 天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下

39、没了踪影。我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是 Piazzi 只能观察到它 9 度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法虽然他当时没有公布就是“最小平方法” 。在天文学中这一成就立即得到公认。他在天体运动理论(1809)

40、中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星智神星方面也获得类似的成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。 这时他的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了。1807 年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世。1809 年，在结婚 4 年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第二次婚姻(18101831)带给他两个儿子和一个女儿。在 1812 年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。地理测量1820 年前后，高斯把注意力转向大地测量用数学方法测定地球表

41、面的形状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。为了增加测量的精确度，他发明了回光仪(一种利用日光以保证比较精确测量的仪器)。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线(一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础)来表示。他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透过测量曲面上曲线的长度就能确定。这种内蕴曲面论启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几何学。这是黎曼 1854 年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大约 60 年以后黎曼的思想形成爱因

42、斯坦广义相对论的数学基础。与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在 1840 年发表的实分析论文。这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他本人高标准要求的一个。只有到 20 世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。1820 到 1830 年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯（Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物

43、理问题，影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。研究领域高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生共发表 155 篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在 1808 年谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。 ”高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本

44、定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。高斯在 1816 年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。在物理学方面高斯最引人注目的成就是在 1833 年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。人物著作著作 出

45、版时间 著作介绍算术研究 1801 年 介绍了同余、二次互逆定理天体运动理论 1809 年 天体运动的著作曲面的一般研究 1827 年 阐述了空间曲面的微积分几何学关于代数基本定理的博士论文 1799 年 证明了每个复系数方程必有复数解高等大地测量学理论上 1843/44 年 地理测量高等大地测量学理论下 1846/47 年 地理测量地磁的一般理论 1839 年 地磁概念 1840 年 论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律 1840 年 人物评价高斯不仅对纯粹数学作出了意义深远的贡献，而且对 20 世纪的天文学、大地测量学和电磁学的实际应用也作出了重要的贡献。高斯开辟了许多新的数学领域，从

46、最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是 1819 世纪之交的中坚人物。如果我们把 18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把 19 世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。高斯是“人类的骄傲“。天才、早熟、高产、创造力不衰人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分。爱因斯坦曾评论说：“高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论） ，其重要性是超越一切，无与伦比的。 ”贝尔曾经这样评论高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在

47、1800 年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。人物名言编辑浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。高斯数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。高斯后世纪念从 1989 年直到 2001 年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国 10 马克的钞票中。另一方面，在汉诺威有和他有关的鸡血石以及三角测量方法。在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票。第一种邮票(第 725 号)发行于 1955 年他死后的第 100 周年；另外两种邮票(第 1246 号.第 1811号)发行于 1977 年，他出生的第 200 周年。在高斯的荣耀中，以他命名的事物包括：1.用在磁场的 CGS 制计量单位以高斯来命名。2.月球上的坑洞以他来命名。3.小行星 1001 又称为高斯星 。4.1901 年德国建造了一艘名为“高斯”的船，并进行了被称为“高斯号远征的”南极探险活动。5 2007 年的时候，高斯的半身像被引进瓦尔哈拉神殿。