【易错题】青岛版九年级数学下册《第五章 对函数的再探索》单元检测试题（教师用）

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1、 第 1 页 共 18 页【易错题解析】青岛版九年级数学下册 第五章 对函数的再探索 单元检测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.已知 A(1 ，y 1)、B(2 ，y 2)、 C(3 ，y 3)在函数 y-5(x1) 23 的图像上，则 y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ） A. y12D 不符合题意，故答案为：D【分析】根据 a=3 可知抛物线开口向上，对称轴为 x=2，由二次函数的性质可得，在对称轴左侧即 x0，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧即 x ，y 随 x 的增大而增大.23.在半径为 4 的圆中，挖去一个边长为 xcm 的正方形，剩下部分面积为 ycm2

2、， 则关于 y 与 x 之间函数关系式为（ ） A. y=x24y B. y=16x2 C. y=16x2 D. y=x24y【答案】B 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【解答】解：圆面积是 16，正方形面积是 x2 ， 则函数关系式是：y=16x 2 故选 B【分析】根据剩下部分面积=圆面积 正方形面积，即可解得4.已知 y 与 x-1 成反比例，那么它的解析式为 ( ) 第 2 页 共 18 页A. y= B. y=k(x-1)(k0) C. y= (k0) D. kx-1(k 0) kx-1 y=x-1k(k 0)【答案】C 【考点】反比例函数的定义 【解析】【解答】已知

3、y 与 x-1 成反比例，可得它的解析式为 (k0)，故答案为：C.【分析】根y=kx-1据反比例函数的定义，将定义中的 x 换成 x-1 即可。5.如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2= 的图象交于 A（1，2 ）、B（1，2）两点，若 y1y 2 ， k2x则 x 的取值范围是（ ）A. x 1 或 x 1 B. x1 或 0x 1 C. 1x0 或 0x1 D. 1x0 或 x1【答案】D 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】由图象可得，1 x0 或 x1 时， 故答案为：Dy10,解得 m2,【分析】跟你局反比例函数的图象在其所在的每一象限内，函数值

4、y 随自变量 x 的增大而减小可得其比例系数应该要大于 0，从而得出不等式，求解即可。16.（ 2017南京）函数 y1=x 与 y2= 的图象如图所示，下列关于函数 y=y1+y2 的结论：函数的图象关于4x原点中心对称；当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x0 时，函数的图象最低点的坐标是（2 ， 4），其中所有正确结论的序号是_【答案】 【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质 【解析】【解答】解：由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；结合图象的 2 个分支可以看出，在第一象限内

5、，最低点的坐标为（2，4 ），故正确；正确的有故答案为：【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可17.某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图象的一部分，如果这名学生出手处为A（0 ，2 ），铅球路线最高处为 B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是_ 【答案】6+2 15【考点】二次函数的应用 【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 y=a（xh） 2+k， 由于顶点坐标为（6，5），y=a（x6） 2+5又 A（0，2 ）在抛物线上，2=62a+5，第 8 页 共 18 页解得：a= 112二次函数的解析式为 y= （x6 ） 2+5，112整理得：y= x2+x+2112

6、当 y=0 时， x2+x+2=0112x=6+2 ，x=62 （不合题意，舍去）15 5x=6+2 （米）15故答案为：6+2 15【分析】由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2 ）代入即可求解求得的函数解析式，令 y=0，求得的 x 的正值即为铅球推出的距离18.已知双曲线 和 的部分图象如图所示，点 C 是 y 轴正半轴上一点，过点 C 作 ABx 轴分别y=3x y=kx交两个图象于点 A、B 若 CB=2CA，则 k=_ 【答案】-6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【解析】【解答】解：连结 OA、OB，如图， ABx 轴，即 OCAB，而 CB=2CA，S

7、OBC=2SOAC ， 点 A 在 图象上，y=3xSOAC= 3= ，12 32SOBC=2SOAC=3， |k|=3，12而 k0，k=6第 9 页 共 18 页故答案为6【分析】由于 ABx 轴，CB=2CA，则 SOBC=2SOAC ， 根据反比例函数 y= （k0）系数 k 的几何意义得kx到 SOAC= 3= ，所以 SOBC=2SOAC=3，然后再根据反比例函数 y= （k0）系数 k 的几何意义得到 12 32 kx 12|k|=3，由于反比例函数图象过第二象限，所以 k=619.（ 2016丽水）如图，一次函数 y=x+b 与反比例函数 y= （x0）的图象交于 A，B 两点

8、，与 x 轴、y4x轴分别交于 C，D 两点，连结 OA，OB，过 A 作 AEx 轴于点 E，交 OB 于点 F，设点 A 的横坐标为 m（1 ） b=_（用含 m 的代数式表示）； （2 ）若 SOAF+S 四边形 EFBC=4，则 m 的值是_ 【答案】（1） m+4m（2 ） 2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：（1） 点 A 在反比例函数 y= （ x0）的图象上，且点 A 的横坐标为 m， 点 A4x的纵坐标为 ，即点 A 的坐标为（m， ）4 4令一次函数 y=x+b 中 x=m，则 y=m+b，m+b= 即 b=m+ 故答案为：m+ （2 ）作 AMO

9、D 于 M，BN OC 于 N反比例函数 y= ，一4 4 4 4x次函数 y=x+b 都是关于直线 y=x 对称，AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记 AOF 面积为 S，则OEF 面积为 2S，四边形 EFBN 面积为 4S，OBC 和OAD 面积都是 62S， ADM 面积为 42S=2（2 s），SADM=2SOEF ， EF= AM= NB，点 B 坐标（2m， ）代入直线 y=x+m+ ， =2m=m+ ，整理得到 m2=2，12 12 2 4 2 4m0，m= 故答案为 2 2第 10 页 共 18 页【分析】（1）根据待定系数法点 A 的纵坐标相等列出等式即可解决

10、问题（2）作 AMOD 于M， BNOC 于 N记AOF 面积为 S，则 OEF 面积为 2S，四边形 EFBN 面积为 4S，OBC 和 OAD 面积都是 62S，ADM 面积为 42S=2（2s），所以 SADM=2SOEF ， 推出 EF= AM= NB，得 B（2m ， ）12 12 2代入直线解析式即可解决问题本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题20.如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BCCDDA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为x，ABP 的面

11、积为 y如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则ABC 的面积是_【答案】10 【考点】分段函数，一次函数的图象 【解析】【解答】解：动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD 、DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D之间时，ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程， x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明CD=94=5，AB=5， BC=4，ABC 的面积是： 45=1012故答案为：10【分析】分段函数的拐点是解决分数函数的关键点。由两图可知，在 X 取 0-4 时 p 在 BC 上，X 取 4-9 时p 在 CD 上，所

12、以 X=4 时 p 恰好与 C 重合，故可算得 BC=4，CD=9-4=5, 所以 AB=CD=5，可得答案。三、解答题（共 8 题；共 61 分）21.已知二次函数的顶点坐标为(3,1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式. 【答案】解：设此二次函数的解析式为 y=a（x-3） 2-1；二次函数图象经过点（4 ，1 ），a（4-3 ） 2-1=1，a=2，y=2（x-3 ） 2-1。 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式 【解析】【分析】已知了二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1 ）代入，即可求出抛物线的解析式。第

13、11 页 共 18 页22.已知如图，抛物线的顶点 D 的坐标为（1，-4），且与 y 轴交于点 C（0 ，3）.（1）求该函数的关系式；（2 ）求该抛物线与 x 轴的交点 A，B 的坐标.【答案】解：（1） 抛物线的顶点 D 的坐标为(1 ，4)，设抛物线的函数关系式为 y=a(x1)24，又 抛物线过点 C(0，3)，3=a(01)24，解得 a=1，抛物线的函数关系式为 y=(x1)24，即 y=x22x3；（ 2 ）令 y=0，得：x 2 ，-2x-3=0解得 ， .x1=3 x2= -1所以坐标为 A（3 ，0），B（-1 ，0 ）. 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像

14、与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点 C 的坐标代入即可求得抛物线方程；（2 ）对该抛物线令 y=0，解二元一次方程即可求得点 A，B 的坐标.23.已知反比例函数 y= （k 为常数，k1）k-1x（1 ）其图象与正比例函数 y=x 的图象的一个交点为 P，若点 P 的纵坐标是 2，求 k 的值；（2 ）若在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围；（3 ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A（x 1、x 2）、B（x 2、y 2），当 y1y 2 时，试比较 x1 与 x2 的大小；（4 ）若在其图象上任取一点，向 x

15、轴和 y 轴作垂线，若所得矩形面积为 6，求 k 的值 【答案】解：（1）由题意，设点 P 的坐标为（m，2 ）点 P 在正比例函数 y=x 的图象上，2=m，即 m=2点 P 的坐标为（2，2）点 P 在反比例函数 y= 的图象上，k-1x2= ，解得 k=5k-12（2 ） 在反比例函数 y= 图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，k-1xk10，解得 k1 第 12 页 共 18 页（3 ） 反比例函数 y= 图象的一支位于第二象限，k-1x在该函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大点 A（x 1 ， y1）与点 B（x 2 ， y2）在该函数的第二象限的图象上，且 y1y 2

16、 ， x1x 2 （4 ） 在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为 6，|k|=6，解得：k=6 【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）设点 P 的坐标为（m，2 ），由点 P 在正比例函数 y=x 的图象上可求出 m 的值，进而得出 P 点坐标，再根据点 P 在反比例函数 y= 的图象上，所以 2= ， 解得 k=5；k-1x k-12（2 ）由于在反比例函数 y= 图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，故 k10，求出 k 的取值范围即k-1x可；（3 ）反比例函数 y= 图象的一支位于第二象限，故在该

17、函数图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大，k-1x所以 A（x 1 ， y1）与点 B（x 2 ， y2）在该函数的第二象限的图象上，且 y1y 2 ， 故可知 x1x 2；（4 ）利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可24.抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x 交于 A（x 1 ， y1）、B（x 2 ， y2）两点，且满足 x10 ，x 2x11（1 ）试证明：c0；（2 ）试比较 b2 与 2b+4c 的大小；（3 ）若 c= ， AB=2，试确定抛物线的解析式 12【答案】（1）证明：将 y=x2+bx+c 代入 y=x，得 x=x2+bx+c，整理得 x2+（

18、b 1）x+c=0，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x 交于 A（x 1 ， y1）、B（x 2 ， y2）两点，x1+x2=1b，x 1x2=c，x2x11，x2x 1+1，x10，x20，c=x1x20；（2 ）解：b 2（2b+4c ）=b 22b4c=（b 1） 214c=（1 b） 24c1，x1+x2=1b，x 1x2=c，b2（2b+4c）= （x 1+x2） 24x1x21=（x 2x1） 21，第 13 页 共 18 页x2x11，（ x2x1） 21，b2（2b+4c）0，b22b+4c；（3 ）解：c= ，12y=x2+bx+ ，12AB=2， A（x 1 ， y

19、1）、B（ x2 ， y2），（ x2x1） 2+（y 2y1） 2=4，y1=x1 ， y2=x2 ， （ x2x1） 2=2，（ x1+x2） 24x1x2=2，x1+x2=1b，x 1x2=c= ，12（ 1b） 24 =2，12b=1 或 3，x10，x 2x11，x1+x2=1b1，b0，b=1，抛物线的解析式是 y=x2x+ 12【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【分析】（1）先将 y=x2+bx+c 代入 y=x，整理得出 x2+（b 1）x+c=0，由根与系数的关系得出x1+x2=1b，x 1x2=c，由 x10，x 2x11 ，利用不等式的性质即可证明 c=x1x20

20、 ；（2 ）先求出 b2（2b+4c）=b 22b4c=（1b） 24c1，再将 x1+x2=1b，x 1x2=c 代入，得出 b2（2b+4c ）=（x 1+x2） 24x1x21=（x 2x1） 21，由 x2x11 ，得出（x 2x1） 21，进而得出 b22b+4c；（3 ）将 c= 代入得 y=x2+bx+ ， 由 AB=2，A（x 1 ， y1）、B（x 2 ， y2），根据两点间的距离公式得12 12第 14 页 共 18 页出（x 2x1） 2+（y 2y1） 2=4，将 y1=x1 ， y2=x2 代入，得到（x 2x1） 2=2，即（x 1+x2） 24x1x2=2，再把x

21、1+x2=1b，x 1x2=c= 代入，得出（1 b） 24 =2，解方程求出 b=1 或 3，根据 x10 ，x 2x11 ，得到12 12x1+x2=1b1， b0，于是确定 b=1，进而得到抛物线的解析式25. 正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为 20m，水面上升 3m 达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m（ 1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离 y（m）与水面宽 x（m）之间的函数关系式；（ 2）如果水位以 0.2m/h 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【答案】（1）设所求抛物线的解析式为： y=ax2（a0），由 CD=10m，可设

22、 D（5，b），由 AB=20m，水位上升 3m 就达到警戒线 CD，则 B（10，b-3），把 D、B 的坐标分别代入 y=ax2 得： ，25a=b100a=b-3解得 a= - 125b= -1y= -125x2（2 ） b=-1，拱桥顶 O 到 CD 的距离为 1m， =5（小时）10.2所以再持续 5 小时到达拱桥顶 【考点】根据实际问题列二次函数关系式，二次函数的应用 【解析】【分析】先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解26.如图，一次函数 y=kx+1（ k0）与反比例函数 y= （m0）的图象有公共点 A（1，2）直线 lx 轴于点mxN（3，0 ），与一

23、次函数和反比例函数的图象分别交于点 B，C（1 ）求一次函数与反比例函数的解析式；第 15 页 共 18 页（2 ）求ABC 的面积？【答案】解：（1）将 A（1，2）代入一次函数解析式得： k+1=2，即 k=1，一次函数解析式为 y=x+1；将 A（1，2 ）代入反比例解析式得：m=2 ，反比例解析式为 y= ；2x（2 ） N（3 ，0），点 B 横坐标为 3，将 x=3 代入一次函数得：y=4，将 x=3 代入反比例解析式得：y= ，23即 CN= ，BC=4 = ，A 到 BC 的距离为：2，23 23103则 SABC= 2= 12103 103【考点】反比例函数与一次函数的交点问

24、题 【解析】【分析】（1）将 A 坐标代入一次函数解析式中求出 k 的值，确定出一次函数解析式，将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 m 的值，即可确定出反比例解析式；（2 ）直接求出 BN，CN 的长，进而求出 BC 的长，即可求出ABC 的面积27. 图中是一座钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋 ACB 可视为抛物线的一部分( 如图)，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度 AB 为 200 米，与 AB 中点 O 相距 20 米处有一高度为 48 米的系杆（1 ）求正中间系杆 OC 的长度；（2 ）若相邻系杆之间的间距均为 5 米(不考虑系杆的粗细)，则是否存在一根系

25、杆的长度恰好是 OC 长度的第 16 页 共 18 页一半？请说明理由【答案】解：（1） AB=200 米，与 AB 中点 O 相距 20 米处有一高度为 48 米的系杆，由题意可知：B （100 ，0），M（20，48），设与该抛物线对应的函数关系式为：y=ax 2+c，则：10000a+c=0 400a+c=48；由解得：a=-1/200，c=50。y=“-1/200“ x2+50；正中间系杆 OC 的长度为 50m；（2 ）设存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半，即为 25 米，则25=“-1/200“ x2+50；解得 x=50 2相邻系杆之间的间距均为 5 米，每根系杆上点的横

26、坐标均为整数，x=50 与实际不符， 不存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半。 2【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1 ）设该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，根据题意知道其上两点，求出 a，c ；（2 ）设存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半，即为 25 米，解得 x，然后再作讨论。28.在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 y=2x1 与 y 轴交于点 A，与直线 y=x 交于点 B，点 B 关于原点的对称点为点 C（）求过 B，C 两点的抛物线 y=ax2+bx1 解析式；（）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P

27、的坐标；若点 P 的横坐标为 t（1t1），当 t 为何值时，四边形 PBQC 面积最大？最大值是多少？并说明理第 17 页 共 18 页由【答案】解：（）联立两直线解析式可得 ，y= -xy= -2x-1解得 ，x= -1y=1B 点坐标为（ 1，1），又 C 点为 B 点关于原点的对称点，C 点坐标为（1 ，1），直线 y=2x1 与 y 轴交于点 A，A 点坐标为（0，1），设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、B、C 三点坐标代入可得 ， c= -1a-b+c=1a+b+c= -1解得 ， a=1b= -1c= -1抛物线解析式为 y=x2x1；（）当四边形 PBQC 为菱形

28、时，则 PQBC，直线 BC 解析式为 y=x，直线 PQ 解析式为 y=x，联立抛物线解析式可得 ，y=xy=x2-x-1解得 或 ，x=1- 2y=1- 2 x=1+ 2y=1+ 2P 点坐标为（1 ，1 ）或（1+ ，1+ ）；2 2 2 2第 18 页 共 18 页当 t=0 时，四边形 PBQC 的面积最大理由如下：如图，过 P 作 PDBC，垂足为 D，作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 E，则 S 四边形 PBQC=2SPBC=2 BCPD=BCPD，12线段 BC 长固定不变，当 PD 最大时，四边形 PBQC 面积最大，又PED=AOC （固定不变），当 PE 最大时，PD

29、 也最大，P 点在抛物线上，E 点在直线 BC 上，P 点坐标为（t，t 2t1），E 点坐标为（t， t），PE=t（t 2t1）=t 2+1，当 t=0 时，PE 有最大值 1，此时 PD 有最大值，即四边形 PBQC 的面积最大 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（）首先求出 A、B、C 三点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；（）当四边形 PBQC 为菱形时，可知 PQBC，则可求得直线 PQ 的解析式，联立抛物线解析式可求得 P 点坐标；过 P 作 PDBC，垂足为 D，作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 E，由PED= AOC，可知当 PE 最大时，PD 也最大，用 t 可表示出 PE 的长，可求得取最大值时的 t 的值