江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

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1、南京市六校联合体高三年级 12 月份联考试卷数 学 注 意 事 项 ：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据 x1，x 2，x n 的方差 s2 (xi )2，其中 xi；1n x x 1n锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；13圆锥的侧面积公式： ，其中 为底面半径， 为母线长rll一 、 填 空 题 （

2、 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的指 定 位 置 上 ）1已知集合 ，集合 ，则 = 3,20M1,NMN2双曲线 的渐近线方程是 592yx3复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的模是 zi1iz4. 若一组样本数据 3，4，8，9， 的平均数为 6，则该组数据的a方差 s2 5从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，则所取2 个数的乘积为奇数的概率是_6如图所示的流程图的运行结果是 7若圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,则该圆锥的体积5是_ 8设直线 是

3、曲线 的切线，则直线 的斜率 l xyln2 l的最小值是 9已知 ，则 的值是 ,)tan(740,)sin(610已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， 若xf2(f (a)4f (a)，则实数 a 的取值范围是 11 中， ， 为边 AC 中点， ，则ABC0634ACB, E13ADBC开 始 结 束 S输 出YN4a1,5SS1第 6 题图的值为 CDBE12已知圆 ，直线 与 轴交于点 ，过 上一点 作圆 的切线，22:()xy:20lkxyAlPC切点为 ，若 ，则实数 的取值范围是 TPAT13已知 nN*, ， ， ，其中na1b12max,n ncb

4、nab表示 这 个数中最大的数数列 的前 n 项和为 ，若 12mxs2,sx cT对任意的 nN* 恒成立，则实数 的最大值是 0nT14已知函数 .若对任意的 ，存在 0,4x，使得 0|()|tfx成2()1fxa(,3)a立，则实数 t的取值范围是 _.二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC, ,abc3sincosAaB（1）求角 ； （2）若 ， ，求 ， 3bsin3siA16(本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，

5、底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点 O，PC底面 ABCD， 点 E 为侧棱 PB 的中点求证：(1) PD 平面 ACE；(2) 平面 PAC 平面 PBD17. (本小题满分 14 分）已知椭圆 ： 上一点与两焦点构成的三角形的周长为 ,离心率为C)0(12bayx 4+23. 32题 16 图ABCDPOE（ 1） 求椭圆 的方程；C（ 2） 设 椭圆 C 的右顶点和上顶点分别为 A、B ，斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点12（点 P 在第一象限）.若四边形 APBQ 面积为 ，求直线 l 的方程. 718(本小题满分 16 分）如图，某公园内有一个以 O

6、 为圆心，半径为 5 百米，圆心角为 的扇形人工湖 OAB，OM 、ON23是分别由 OA、OB 延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与 相切点 F，且与 OM、ON 分别相交于 C、D，另两条是分别和湖岸AB OA、OB 垂直的 FG、FH (垂足均不与 O 重合) (1) 求新增观光道 FG、 FH 长度之和的最大值； (2) 在观光道 ON 段上距离 O 为 15 百米的 E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD 的延长线不能进入以 E 为圆心，2.5 百米为半径的圆形E 的区域内则点 D

7、应选择在 O 与 E 之间的什么位置？请说明理由19(本小题满分 16 分）已知数列a n各项均不相同，a 11，定义 ，其中 n，kN*knnnakb)1()（1）若 ，求 ；b）（ 5（2）若 bn1 (k)2b n(k)对 均成立，数列 an的前 n 项和为 Sn2,（i）求数列a n的通项公式；（ii）若 k，t N*，且 S1，S kS 1，S tS k 成等比数列，求 k 和 t 的值ABMCDO NGFHE20(本小题满分 16 分）已知函数 ln(),()xxfge.(1)求 fx的极大值；(2)当 0a时，不等式 ()xab恒成立，求 a的最小值；(3)是否存在实数 kN，使

8、得方程 ()1()fxgx在 ,1)k上有唯一的根，若存在，求出所有 k的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级 12 月份联考试卷数学(附加题)注 意 事 项 ：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21 【选做题】本题 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤来源: 学A选修 42：矩阵与变换 (本小题满分 10 分)已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵

9、 的变换下得到的点1-baRba,(1,)PA)4,1(P（1）求实数 的值；,（2）求矩阵 的逆矩阵.AB选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （t 是参数） ，若以 为极点， 轴的xOyl21yxOx正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线 的C极坐标方程为 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长2(sin)4C选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值22xyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作

10、答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）将 4 名大学生随机安排到 A,B,C,D 四个公司实习 （1）求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量 X 表示分到 B 公司的学生的人数，求 X 的分布列和数学期望 E(X)23.（本小题满分 10 分）设 且 ，集合 的所有 个元素的子集记为 *nN41,23,Mn 3312,nCA（1）当 时，求集合 中所有元素之和 ；312,nCA S（2）记 为 中最小元素与最大元素之和，求 的值imi 3(,)n 3201832018mCi南京市六校联合体高三年级 12 月份联考试卷数学参考答案及评分标准 20

11、18.12说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.)1 2 3 4 5 6 7 0,xy52612038 4 9 10 11 12 或143-，kk13 14 t二、解答题（本大题

12、共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 【解析】 （1）在 中，ABC由正弦定理 ，得 2分siniab3sinsicoBAB又因为在 中 0所以 4分3ico法一：因为 ，所以 ，因而 0Bsincos0所以 ，sin3tac所以 6分6法二： 即 ， 4分3sinco0B2sin()06B所以 ，因为 ，()kZ所以 6分6（2）由正弦定理得 ，siniacAC而 ，si3C所以 ， 9分ca由余弦定理 ，得 ，22cosbaB29cos6a即 ， 12分239ac把代入得 ， . 14分3c16 【解析】证明：(1)

13、 连接 OE因为 O 为正方形 ABCD 的对角线的交点，所以 O 为 BD 中点 2分因为 E 为 PB 的中点，所以 PDOE 4分又因为 OE面 ACE，PB 平面 ACE，所以 PD平面 ACE 6 分(2) 在四棱锥 PABCD 中， 因为 PC底面 ABCD，BD 面 ABCD，所以 BDPC 8 分因为 O 为正方形 ABCD 的对角线的交点，所以 BDAC 10 分又 PC、AC平面 PAC，PCACC，所以 BD平面 PAC 12 分因为 BD平面 PBD，所以平面 PAC平面 PBD 14 分17. 【解析】 （1）由题设得 4+23，又 2e，解得 2,3ac, 1b.2

14、 分故椭圆 C的方程为1xy. 4 分（2）设直线 l方程为： 2m代入椭圆2:14xCy并整理得： ，220xm设 ，则 . 6 分12(,)(,)PxyQ12x21| y， 8 分2 2 215|()4844kxxxm到直线 PQ 的距离为 ，B51md题 16 图ABCDPOE到直线 PQ 的距离为 ， 10 分A5121md又因为 在第一象限, 所以 ，P所以 ，421)()(d所以 ， 12 分78221 PQdSAPBQ解得 ，m所以直线方程为 14 分2xy18解： (1) 连结 OF，OFCD 于点 F，则 OF5设FOD ，则FOC ( )，故 FH5sin ，FG5sin(

15、 )，2 分23 6 2 23则 FGFH 5sin( )5sin235( cos sinsin)5( sin cos)5 sin( ) 4 分32 12 32 32 3 6因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，6 2 3 6 23 6 2 3(FGFH )max5 6 分3(2) 以 O 为坐标原点，以 ON 所在的直线为 x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 xOy由题意，可知直线 CD 是以 O 为圆心，5 为半径的圆 O的切线，直线 CD 与圆 E 相离，且点 O 在直线 CD下方，点 E 在直线 CD 上方由 OF5，圆 E 的半径为 2.5，因为圆 O 的方程为 x2y 225，圆 E

16、 的方程为(x15)2y 26.25，8 分设直线 CD 的方程为 ykxt ( k0，t0)，3即 kxyt0，设点 D(xD，0)则 10 分tk2 1 5 ， 15k tk2 1 2.5 )由得 t5 ， 12 分k2 1xyEABMCDOGFH N代入得 ，解得 k2 13 分13又由 k 0，得 0 k23，故 k 23，即 3313 13 1k2在 ykxt 中，令 y0，解得 xD ，所以 x D10t k 51 1k2 103315 分答：(1) 新增观光道 FG、FH 长度之和的最大值是 5 百米；3(2) 点 D 应选择在 O 与 E 之间，且到点 O 的距离在区间( ，1

17、0)(单位：百米)内的任何一点1033处 16 分19.解：（1）因为 ，nabn1)（所以 ，043215a所以 . 4 分9（2） （i）因为 bn1 (k)2b n(k)，得 ， ）（ knaa )1令 k1, ，）（21-nnk2， ， 6 分）（ 23由得 ，）（ 12-nnaa+得 ， 8 分）（+得 ，nn1又 ，所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，0ana所以 10 分12n（ii）由（i）可知 Sn2 n1因为 S1，S kS 1，S tS k 成等比数列，所以(S kS 1)2S 1(StS k)，即(2 k2) 22 t2 k， 12 分所以 2t(2 k)

18、2 3 2k4，即 2t2 (2 k1 )23 2k2 1(*)由于 Sk S10 ，所以 k1，即 k2当 k2 时，2 t8，得 t3 14 分当 k3 时，由(*)，得(2 k1 )23 2k2 1 为奇数，所以 t20，即 t2，代入(*)得 22k2 3 2k2 0，即 2k3，此时 k 无正整数解综上，k2，t3 16 分20 （1） 1()xfe，令 ()0f，得 1x. 2 分当 x时， ，则 在 ,)上单调递增，当 1x时， ()0fx，则 ()fx在上单调递减，故当 时， 的极大值为 4 分(,)x(fxe（2）不等式 恒成立，即 恒成立，(xgabln0ab记 ，则 ，)

19、ln(0)mx1()()mx当 时，令 ，得 ，6 分0a)a当 时， ，此时 单调递增，当 时， ，此时1(,x(x()x1(,)xa()0mx单调递减，则 ，即 ，8 分)mma1)ln0bln则 ， 记 ，则 ，令 ，得lnbal(2l()()()1a当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调(0,1)0()1,a0()n递增， ，故 的最小值为 . 10 分min(1aba（3）记 )l()xxse，由 213ln()0,()ssee，12 分故存在 1k，使 (fg在 上有零点，下面证明唯一性： 当 0x时， )0,(x1)，故 ()sx， 在 (0,1上无解)(s14 分当

20、 1时， 2ln()xse，而 20,1ln,xxe，此时 ()0x， 单调递减，所以当 k符合题意 16 分数学附加题参考答案21 【选做题】本题 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答A解：（1）因为 ， 2 分41ba所以 所以 4 分4b32（2） ， 6 分5132)det(A 10 分52521B解：消去参数 ，得直线 的普通方程为 ， 2 分tl21yx即 ，两边同乘以 得 ， )4(2sin )(2cosin2(sincos)所以 ， 4 分1x圆心 到直线 的距离 ， 6 分Cl 521|2d所以弦长为 10 分30)5(ABC解：由柯西不等式，得 2

21、 分2222(1)()xyzxyz因为 ，所以 ， 6 分2=6xyz4当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，12433xyz， ，所以 的最小值为 4 10 分22xyz22解：（1）将 4 人安排四个公司中，共有 44=256 种不同放法记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 A，事件 A 共包含 个基本事件，2所以 ，24356PA所以 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率 3 分32（2）方法 1：X 的可能取值为 0，1，2，3，4， ， ，438056P13476CPX24718CPX， 4C25所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 82567486125 8 分所以 X

22、 的数学期望为： 10 分81731042564128625E方法 2：每个同学分到 B 公司的概率为 ， 5 分()PB13()4根据题意 ，所以 ， 4，X， 443kXC02， ， ， ，所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 82567486125 8 分所以 X 的数学期望为 10 分1EX23 （1）因为含元素 的子集有 个，同理含 的子集也各有 个，于是所求元素之和123C4,323C为 ； 3 分0)432(23（2）集合 的所有 个元素的子集中：,Mn以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个；121nC 21nC以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个；22 2 以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个 5 分n2C32C31nCiim312nCm212()n22312() )nCC4n， 8 分3() 13nCiinm2019320183201Cmi 10 分