【易错题】沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元检测试卷（教师用）

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1、 第 1 页 共 19 页【 易错题解析 】沪科版九年级数学上册 第 23 章 解直角三角形 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.在 RtABC 中， C=90，B=35，AB=7，则 BC 的长为（ ） A. 7sin35 B. 7cos35 C. 7tan35 D. 7cos35【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】在 RtABC 中，cosB= ，BCABBC=ABcosB=7cos35，故答案为：B【分析】余弦的定义：角的余弦=角的邻边 角的斜边.2.在ABC 中， C=90，若 cosB= ，则B 的值为（ ） 32A. B. C. D. 30

2、60 45 90【答案】A 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义计算是解题的关键cosB= ，32B=30，故选 A3.要在宽为 22 米的九州大道 AB 两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米(11-22) (113-4) (11-23) (113-22)【答案】B 【考点】解直角三角形的应用 第 2 页 共 19 页【解析】【解答】

3、如图，延长 OD，BC 交于点 PODC=B=90，P=30 ，OB=11 米，CD=2 米，在直角CPD 中，DP=DCcot30=2 m，PC=CD（sin30）=4 米，3P=P， PDC=B=90，PDCPBO， ，PDPB=CDOBPB= 米，PDOBCD=23112 =113BC=PB-PC= 米（ 113-4）故答案为：B【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得 PB、PC，再相减即可求得 BC长4.已知点 A，B 分别在反比例函数 y= （x0 ），y= （x0）的图象上且 OAOB，则 tanB 为（ ）2x -8xA. B. C. D. 12 12

4、 13 13【答案】B 【考点】相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：法一：设点 A 的坐标为（x 1 ， ），点 B 的坐标为（x 2 ， ），2x1 8x2设线段 OA 所在的直线的解析式为：y=k 1x，线段 OB 所在的直线的解析式为：y=k 2x，则 k1= ，k 2= ，2x21 8x22OAOB，k1k2= （ ）= 12x21 8x22整理得：（x 1x2） 2=16，第 3 页 共 19 页tanB= = = = = = = OAOB x21+(2x1)2x22+(-8x2)2 x22x41+4x22x21x42+64x

5、21 4x22+16x2164x21+16x22 2(2x22+8x21)(-8)(-8x21-2x22) - 2-8 12法二：过点 A 作 AMy 轴于点 M，过点 B 作 BNy 轴于点 N， AMO=BNO=90，AOM+PAM=90，OAOB，AOM+BON=90，AOM=BON，AOMOBN，点 A，B 分别在反比例函数 y= （x0 ），y= （x0）的图象上，2x -8xSAOM：S BON=1：4 ，AO：BO=1：2，tanB= 12故答案为：B【分析】由AMO=BNO=90，得到AOM+ PAM=90，因为 OAOB，所以AOM+ BON=90，AOM=BON，所以AOM

6、OBN ，因为点 A，B 分别在反比例函数 y= （x0），y= （x0）的图2x -8x象上，得到 SAOM：S BON=1： 4，AO：BO=1：2，求出 tanB 的值5.如果把 RtABC 的三边长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的余弦值（ ） A. 扩大到原来的 2 倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 都不能确定12【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：把 RtABC 的三边长度都扩大 2 倍后所得的三角形与原三角形相似，锐角 A 的大小没改变，锐角 A 的余弦值也不变故选：C【分析】首先判断出把 RtABC 的三边长度都扩大 2 倍后所得的三角形与原三角

7、形相似，锐角 A 的大小没改变，然后根据锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，可得锐角 A 的余弦值也不变，据此解答即可6.在ABC 中，若|sinA |+（ tanB） 2=0，则C 的度数为（ ）12 33第 4 页 共 19 页A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】D 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：|sinA |+（ tanB） 2=0，12 33|sinA |=0，（ tanB） 2=0，12 33sinA =0， tanB=0，12 33sinA= ， tanB=12 33A=30，B=30，C=120故选 D【分析】先根据非负数的性质求

8、出 sinA= ， tanB= ， 再根据特殊角的三角函数值即可求解12 337.（2017滨州）如图，在ABC 中，ACBC，ABC=30，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD=BA，则tanDAC 的值为（ ） A. 2+ B. 2 C. 3+ D. 3 3 3 3 3【答案】A 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，在ABC 中，ACBC，ABC=30， AB=2AC，BC= = ACACtan30 3BD=BA，DC=BD+BC=（2+ ）AC，3tanDAC= = =2+ DCAC(2+3)ACAC 3故选：A第 5 页 共 19 页【分析】通过解直角ABC 得到 A

9、C 与 BC、AB 间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求 tanDAC的值8.在 RtABC 中， C=90，AC=5，A=，那么 BC 的长是（ ） A. 5cot B. 5tan C. D. 5cos 5sin【答案】B 【考点】解直角三角形 【解析】 【 解答 】 解：tanA= ， AC=5，A=，BCACBC=5tan，故选 B【 分析 】 利用A 的正切值进行计算即可考查解直角三角形的知识；掌握和一个锐角的邻边与对边有关的三角函数值是正切值的知识是解决本题的关键9.（2017深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡 旁一棵树 的高度，他们先在点 处测得树顶 CD AB C的仰角为

10、 ，然后在坡顶 测得树顶 的仰角为 ，已知斜坡 的长度为 ， 的B 60 D B 30 CD 20m DE长为 ，则树 的高度是（ ） 10m AB mA. B. 30 C. D. 40203 303【答案】B 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在 RtDEC 中，CD=20,DE=10.第 6 页 共 19 页 DCE=30,CDE=60. CDF=30.又BDF=30.BCA=60. BCD=30.BDC=60.在 RtBCD 中， tan60= .BCDC BC=DCtan60=20 .3在 RtBAC 中， sin60= .BABC BA=BCsin60=20 =30（m）.3

11、32故 AB 的高度为 30m.【分析】依题可得 CD=20,DE=10.BDF=30.BCA=60.在 RtBCD 中和 RtBAC 中，利用锐角三角函数即可求出 CB,BA10.将一副三角板如下图摆放在一起，连接 AD，则 ADB 的正切值为（ ）A. B. C. D. 3-1 3+13+12 3-12【答案】D 【考点】含 30 度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形 【解析】【解答】作 ，交 的延长线于点 ，AE BD DB E由题意可得： ， ABE= CBD=45设 ，则 ，AE=1 AB= 2， BC= 6是等腰直角三角形， Rt BCD， BD= 3， DE=1+

12、 3， tan ADB=1(3+1)3-12第 7 页 共 19 页故答案为： .D【分析】作 AEBD ，交 DB 的延长线于点 E ，本题一定要抓住是一副三角形板，故知道很多内角的度数，根据邻补角的定义得出ABE=45 ，从而判断出ABE 是一个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质设 AE=1 ，则 AB= ，根据含 30直角三角形的边之间的关系得出 BC 的长，进而根据等腰直角三2角形的性质得出 BD 的长，从而根据正切函数的定义即可得出 tanADB 的值。二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.计算： =_ ( -3.14)0-23cos30 +(12)-2-|-3|【答案

13、】1 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：原式= = =1故答案为：11-2332+4-3 1-3+1【分析】根据实数的混合运算性质即可求解。12.计算： sin260+cos260tan45=_ 【答案】0 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】 .sin260+cos260-tan45=(32)2+(12)2-1=34+14-1=0故答案为： .0【分析】根据特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的混合运算顺序算出答案。13.若 sinA= ，则 cos（90 A）=_ 23【答案】 23【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：A 与9

14、0A 互余， cos（90A ）=sinA= 23故答案为 23【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解14.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心 A 处修建通往百米观景长廊 BC 的两条栈道AB， AC若 B=56，C=45 ，则游客中心 A 到观景长廊 BC 的距离 AD 的长约为_米（ ， ）sin56 0.8 tan56 1.5第 8 页 共 19 页【答案】60 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】B=56，C=45 ，ADB=ADC=90，BC=BD+CD=100 米， BD= ，CD= ADtan56 ADtan45， + =100，解得：AD

15、60 故答案为：60ADtan56 ADtan45【分析】在直角三角形 ABD 中，由 ABD 的正切可得 tanABD= ,所以 BD= ,在直角三角形 ACD 中，ADBD ADtan56有ACD 的正切可得 tanACD= ,CD= ,而 BD+CD=BC，所以 + =100，解得 AD60ADCD ADtan45 ADtan56ADtan4515.在 ABC 中，AC=6 ，点 D 为直线 AB 上一点，且 AB=3BD，直线 CD 与直线 BC 所夹锐角的正切值为 5，并且 CDAC，则 BC 的长为_ 12【答案】 或 15 152【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图 1

16、 中，当点 D 在 AB 的延长线上时，作 BECD 垂足为 E，AC CD，ACBE， = = ，AC=6 ，5BE= ，32 5tanBCE= ，12EC=2BE=3 ，5BC= = = 152如图 2 中，当点 D 在线段 AB 上时，作 BECD 于 E，ACBE，AC=6 ，5 = = ，12BE=3 ，5tanBCE= ，12EC=2BE=6 ，5BC= =15故答案为： 或 15152第 9 页 共 19 页【分析】如图 1 中，当点 D 在 AB 的延长线上时，作 BECD 垂足为 E，先求出 BE，EC ，在 RTBCE 中利用勾股定理即可解决，如图 2 中，当点 D 在线段

17、 AB 上时，作 BECD 于 E，方法类似第一种情形16.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角ACB 等于 _ 度【答案】90【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：C 岛在 A 岛的北偏东 50方向，DAC=50，C 岛在 B 岛的北偏西 40方向，CBE=40，DAEB，第 10 页 共 19 页DAB+EBA=180，CAB+CBA=90，ACB=180（CAB+CBA ）=90故答案为：90【分析】根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解17.如果一个四边形的某个顶点到其他

18、三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.如图，已知梯形 ABCD 是等距四边形，AB/CD，点 B 是等距点. 若 BC=10， ，则 CD 的长等于_cosA=1010【答案】16 【考点】勾股定理的应用，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】连接 BD，过点 B 分别作 BMAD 于点 M，BN DC 于点 N，梯形 ABCD 是等距四边形，点 B 是等距点，AB=BD=BC=10， = ，cosA=1010AMABAM= ，BM= =3 ，10 AB2-AM2 10BMAD， AD=2AM=2 ，10AB/CD，SABD= ，12ABBN=12A

19、DBM第 11 页 共 19 页BN=6，BNDC，DN= =8，BD2-BN2CD=2DN=16，故答案为：16.【分析】利用勾股定理求出边长，然后利用三角形的面积公式求出 BN，再应用勾股定理可求 CD 的长。18.如图，点 A(2，2 ),N(1，0), AON=60,点 M 为平面直角坐标系内一点 ,且 MO=MA,则 MN 的最小值为3_.【答案】 32【考点】相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】如图，过点 A 作 ABx 轴，则 OB=2、AB=2 ，3OA= ，OB2+AB2= 22+(23)2=4cosAOB= ，OBOA=24=12AOB=60，作 A

20、O 的中垂线交 x 轴于点 P，交 OA 于点 Q，则 OQ=AQ=2，OP= =4，OQcos AOBN(1,0)，PN=3，MO=MA，点 M 在 PQ 上，当 MNPQ 时，MN 最小，PQOA、PQMN ，PMNPQO， ,即 ，PNPO=MNOQ 34=MN2第 12 页 共 19 页解得：MN= ，32故答案为： .32【分析】根据勾股定理求出 OA 的值，再根据三角函数得到 AOB 的度数，由 MO=MA，得到点 M 在 OA的垂直平分线上，得到PMN PQO，求出 MN 的值.19.如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O若 tanBAC= ，AC=6，则 B

21、D 的长是_13【答案】2 【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC=6，AC BD，OA= AC=3，BD=2OB12在 RtOAB 中，AOD=90，tanBAC= ，OBOA=13OB=1，BD=2故答案为 2【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，OA= AC=3，BD=2OB在 RtOAB 中根据正切函数的定义得出12tanBAC= ，即可得出 OB 的长，进而得出 BD 的长。OBOA=1320.（ 2017宁波）如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB 2，A60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点

22、F、G 分别在边 AB、AD 上则 cosEFG 的值为_【答案】 217【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接 BE、AE 交 FG 于点 O,菱形 ABCD 中，AB2，A60，E 为 CD 中点，BECD,CE=1,BC=2,C60,ABC 120,第 13 页 共 19 页BE= ,CBE30,3FBE 90,AE= = = .AB2+BE2 22+( 3)2 7AGF 翻折至EGF ，AGFEGF,AF=EF,AFGEFG,在 RtEBF 中，设 BF=x,则 AF=EF=2-x,（ 2-x） 2=x2+（ ） 23x= ,EF= ,1

23、4 74又 AG=EG,AF=EF,GF 垂直平分 AE，EO= .72FO= = =EF2-EO2 (74)2-(72)2 214在 RtEOF 中.cosEFG= = .OFEF217故答案为： .217【分析】连接 BE、AE 交 GF 于点 O,在菱形 ABCD 中，AB 2， A60，E 为 CD 中点，以及图形的翻折，可以求出 BE ， BF，EF，AE，根据 AG=EG,AF=EF,得出 GF 垂直平分 AE，从而求出 EO，FO，最后在 RtEOF 中，利用三角函数定义即可得出答案.三、解答题（共 8 题；共 60 分）第 14 页 共 19 页21.如图，水库大坝的横截面是梯

24、形，坝顶宽 5 米，坝高 20 米，斜坡 AB 的坡比为 1：2.5，斜坡 CD 的坡比为 1：2 ，求大坝的截面面积【答案】解：斜坡 AB 的坡度 i=1：2.5， ，BEAE= 12.5斜坡 CD 的坡度 i=1：2， ，CFDF=12BE=20 米，AE=50 米，DF=40 米，EF=BC，BC=5 米，EF=5 米，AD=AE+EF+DF=50+5+40=95 米S 梯形 ABCD= (AD+BC)BE= 10020=1000(平方米) 12 12【考点】解直角三角形的应用，解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【分析】坡度是垂直距离与水平距离的比，坡度 (高程差/ 水平距离).

25、本题考查了解直角三角形的应用.22.如图，某游客在山脚下乘览车上山导游告知，索道与水平线成角 BAC 为 40，览车速度为 60 米/分，11 分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度 BC（精确到 1 米）（参考数据： sin40=0.64，cos40=0.77 ， tan40=0.84）【答案】解：由题意可得：BAC=40，AB=66 米sin40= ，BC0.64660=422.4 米422 米BCAB答：山的高度 BC 约为 422 米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】利用正弦函数的定义由 sin40=BC AB 得出 B 错的长度，从而得出答案。第 15 页

26、共 19 页23.一轮船在 P 处测得灯塔 A 在正北方向，灯塔 B 在南偏东 30方向，轮船向正东航行了 900m，到达 Q 处，测得 A 位于北偏西 60方向， B 位于南偏西 30方向.（1 ）线段 BQ 与 PQ 是否相等？请说明理由； （2 ）求 A、B 间的距离（结果保留根号）. 【答案】（1）相等，理由如下：由图易知， QPB60，PQB60BPQ 是等边三角形，BQPQ.（2 ）由（1 ）得 PQBQ900m在 RtAPQ 中， AQ （m），PQcos AQP=90032=6003又AQB 180（60+30 ） 90，在 RtAQB 中，AB 300 （m）.AQ2+BQ2

27、 (6003)2+9002 21答：A、B 间的距离是 300 m. 21【考点】等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】【分析】（1）由题意及图形可得QPB90-30=60， PQB90-30=60，根据三角形内角有两个角是 60 度的是等边三角形，可得BPQ 是等边三角形，由等边三角形的性质可得 BQ=PQ；（2 ） AB 是AQP 的边，而AQB 180（60+30）90，则AQP 是直角三角形，所以可以根据勾股定理，只要求出 BQ，AQ 的值即可；由（1）中 BPQ 是等边三角形，可得 PQBQ900m，在 RtAPQ中，AQP=30，由三角函数即可解出

28、AQ，所以可解得。24.如图，某光源下有三根杆子，甲杆 GH 的影子 GM，乙杆 EF 的影子一部分照在地面上 EA，一部分照在斜坡 AB 上 AD（1 ）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置 R，并画出丙杆 PQ 在地面上的影子（2 ）在（1 ）的结论下，若过点 F 的光线 FDAB，斜坡与地面夹角为 60，AD=1 米，AE=2 米，请求出乙第 16 页 共 19 页杆 EF 的高度（结果保留根号）【答案】解：（1）如图，QN 即为 PQ 在地面的影子（2 ）分别延长 FD、EA 交于点 S 在 RtADS 中， ADS=90DAS=60，S=30又 AD=1，AS=2，ES=A

29、S+AE=2+2=4，在 RtEFS 中， FES=90，EF=EStanFSE=4tan30=4 （米）33433【考点】解直角三角形的应用，中心投影 【解析】【分析】（1）根据甲杆 GH 的影子 GM，乙杆 EF 的影子一部分照在地面上 EA，一部分照在斜坡AB 上 AD，得出光源的位置，进而画出 PQ 在地面上的影子；（2 ）利用 DAS=60，得出S=30，即可得出 ES=AS+AE=2+2=4，再利用 tanFSE= 求出即可EFES25.如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37，旗杆底部 B点的俯角为 45，升旗时，国旗上端悬挂在距

30、地面 2.25 米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/ 秒的速度匀速上升？（参考数据：sin370.60，cos37第 17 页 共 19 页0.80，tan370.75）【答案】解：在 RtBCD 中，BD=9 米，BCD=45，则 BD=CD=9 米在 RtACD 中，CD=9 米，ACD=37，则 AD=CDtan3790.75=6.75（米）所以，AB=AD+BD=15.75 米，整个过程中旗子上升高度是：15.75 2.25=13.5（米），因为耗时 45s，所以上升速度 v= =0.3（米/秒） 13.545【考点】解直角三角形的应

31、用仰角俯角问题 【解析】【分析】通过解直角BCD 和直角ACD 分别求得 BD、CD 以及 AD 的长度，则易得 AB 的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度= ”进行解答即可上升的高度 时间26.（ 2017阿坝州）如图，小明在 A 处测得风筝（C 处）的仰角为 30，同时在 A 正对着风筝方向距 A 处30 米的 B 处，小明测得风筝的仰角为 60，求风筝此时的高度（结果保留根号）【答案】解：A=30，CBD=60，ACB=30，BC=AB=30 米，在 RtBCD 中，CBD=60，BC=30，sinCBD= ，sin60= ，CDBC CD30CD=15 米，3答：风筝

32、此时的高度 15 米 3【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 第 18 页 共 19 页【解析】【分析】结合已知条件根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，得出ACB=30 ，根据等腰三角形的性质得出 BC=AB=30 米，在 RtBCD 中，根据锐角三角函数定义得出 CD 值即可.27.如图，建筑物 AB 的高为 6m，在其正东方向有一个通信塔 CD，在它们之间的地面点 M（B，M ，D 三点在一条直线上）处测得建筑物顶端 A，塔顶 C 的仰角分别为 37和 60，在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高度（精确到 0.01m）【答案】解：过点 A 作 AECD 于

33、 E，则四边形 ABDE 是矩形，设 CE=xcm在 RtAEC 中，AEC=90，CAE=30，所以 AE= = xcm在CEtan30 3RtCDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，DM= = cm在 RtABM 中，BM= = CDtan60 3(x+6)3 ABtan37cm，AE=BD，所以 = + ，解得：x= +3，CD=CE+ED= 6tan37 3x 6tan37 3(x+6)3 33tan37 33tan37+915.90（cm）答：通信塔 CD 的高度约为 15.90cm 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点 A 作 AECD 于

34、 E，首先得出四边形 ABDE 是矩形，设 CE=xcm在 RtAEC 中，根据正切函数的定义得出 AE 的长，在 RtCDM 中，根据 CD=CE+DE=CE+AB 得出 CD 的长，根据正切函数表示出 DM,在 RtABM 中根据正切函数的定义得出 BM，根据矩形的性质得出 AE=BD，从而得出方程，求解得出 x 的值，再根据 CD=CE+ED 得出答案。28.（ 2014本溪）某海域有 A、B、C 三艘船正在捕鱼作业， C 船突然出现故障，向 A、B 两船发出紧急求救信号，此时 B 船位于 A 船的北偏西 72方向，距 A 船 24 海里的海域，C 船位于 A 船的北偏东 33方向，同时

35、又位于 B 船的北偏东 78方向（1 ）求 ABC 的度数；（2 ） A 船以每小时 30 海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到 0.01 小时）第 19 页 共 19 页（参考数据： 1.414， 1.732）2 3【答案】解：（1） BDAE，DBA+BAE=180，DBA=18072=108，ABC=10878=30；（2 ）作 AHBC，垂足为 H，C=180723330=45，ABC=30，AH= AB=12，12sinC= ，AHACAC= = =12 AHsinC 12sin45 2则 A 到出事地点的时间是： 0.57 小时1223021.4145答：约 0.57 小时能到达出事地点【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到DBA 的度数，则 ABC 即可求得；（2 ）作 AHBC 于点 H，分别在直角 ABH 和直角ACH 中，利用三角函数求得 BH 和 CH 的长，则 BC 即可求得，进而求得时间