人教版数学九年级上册第二十四章《圆》导学案
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1、第二十四章 圆241 圆的有关性质24. 1. 1 圆1了解圆的基本概念,并能准确地表示出来2. 理解并掌握与圆有关的概念:弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等重点:与圆有关的概念难点:圆的有关概念的理解一、自学指导(10 分钟)自学:研读课本 P7980 内容,理解记忆与圆有关的概念,并完成下列问题探究:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做_圆_,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做_半径_用集合的观点叙述以 O 为圆心 ,r 为半径的圆,可以说成是到定点 O 的距离为_r_的所有的点的集合连接圆上任意两点的_线段_叫做弦,经过圆心的弦
2、叫做_直径_;圆上任意两点间的部分叫做圆弧;圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做_优弧_,小于半圆的弧叫做_劣弧_二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视(3 分钟)1以点 A 为圆心,可以画_ 无数_个圆;以已知线段 AB 的长为半径可以画_无数_个圆;以点 A 为圆心,AB 的长为半径,可以画_1_个圆点拨精讲:确定圆的两个要素:圆心(定点) 和半径(定长) 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小2到定点 O 的距离为 5 的点的集合是以 _O_为圆心, _5_为半径的圆一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果(
3、5 分钟)1O 的半径为 3 cm,则它的弦长 d 的取值范围是_0d6_点拨精讲:直径是圆中最长的弦2O 中若弦 AB 等于O 的半径,则AOB 的形状是 _等边三角形_点拨精讲:与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型3如图,点 A,B,C,D 都在O 上在图中画出以这 4 点为端点的各条弦这样的弦共有多少条?解:图略.6 条二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路(15 分钟)1(1)在图中,画出O 的两条直径;(2)依次连接这两条直径的端点,得一个四边形判断这个四边形的形状 ,并说明理由解:矩形理由:由于该四边形对角线互相平分且相等,所以该四边形为矩
4、形作图略点拨精讲:由刚才的问题思考:矩形的四个顶点一定共圆吗?2一点和O 上的最近点距离为 4 cm,最远点距离为 10 cm,则这个圆的半径是_3_cm 或 7_cm_点拨精讲:这里分点在圆外和点在圆内两种情况3如图,图中有_1_条直径,_2_条非直径的弦,圆中以 A 为一个端点的优弧有_4_条,劣弧有_4_条点拨精讲:这类数弧问题,为防多数或少数,通常按一定的顺序和方向来数,第 3 题图) ,第 4 题图)4如图,O 中,点 A,O,D 以及点 B,O,C 分别在一直线上 ,图中弦的条数为_2_点拨精讲:注意紧扣弦的定义5如图,CD 为O 的直径,EOD72,AE 交O 于 B,且 ABO
5、C,求A的度数解:24.点拨精讲:连接 OB 构造三角形,从而得出角的关系,第 5 题图) ,第 6 题图)6如图,已知 AB 是O 的直径,点 C 在O 上,点 D 是 BC 的中点,若 AC10 cm,求 OD 的长解:5 cm.点拨精讲:这里别忘了圆心 O 是直径 AB 的中点学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)1圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件2圆的相关概念:(1)弦、直径;(2)弧及其表示方法;(3)等圆、等弧学习至此,请使用本课时对应训练部分(10 分钟)241.2 垂直于弦的直径1圆的对称性2通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论3能运用垂径定理及其推论
6、进行计算和证明重点:垂径定理及其推论难点:探索并证明垂径定理一、自学指导(10 分钟)自学:研读课本 P8183 内容,并完成下列问题1圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,它也是中心对称图形,对称中心为圆心2垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,即一条直线如果满足:AB经过圆心 O 且与圆交于 A,B 两点;ABCD 交 CD 于 E,那么可以推出:CEDE ; ; .CB DB CA DA 3平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧点拨精讲:(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径(2)实际上,当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧
7、、平分弦所对的劣弧,这五个条件中的任何两个,就可推出另外三个二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视(6 分钟)1在O 中,直径为 10 cm,圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm,则弦 AB 的长为 _8_cm_2在O 中,直径为 10 cm,弦 AB 的长为 8 cm,则圆心 O 到 AB 的距离为_3_cm_点拨精讲:圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个,即可求出另一个3O 的半径 OA5 cm,弦 AB8 cm,点 C 是 AB 的中点,则 OC 的长为_3_cm_点拨精讲:已知弦的中点,连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线4某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧) ,其
8、跨度为 24 米, 拱的半径为 13 米,则拱高为多少米?(8 米)点拨精讲:圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个,即可求出另一个一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果(6 分钟)1AB 是O 的直径,弦 CDAB,E 为垂足,若 AE9,BE1,求 CD 的长解:6.点拨精讲:常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形2O 的半径为 5,弦 AB 的长为 8,M 是弦 AB 上的动点,则线段 OM 的长的最小值为_3_,最大值为_5_点拨精讲:当 OM 与 AB 垂直时,OM 最小( 为什么),M 在 A(或 B)处时 OM 最大3如
9、图,线段 AB 与O 交于 C,D 两点,且 OAOB. 求证:ACBD.证明:作 OEAB 于 E.则 CEDE.OAOB,OEAB,AEBE,AECEBEDE.即 ACBD.点拨精讲:过圆心作垂线是圆中常用辅助线二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路(10 分钟)1在直径是 20 cm 的O 中,AOB 的度数是 60,那么弦 AB 的弦心距是_5 _cm.3点拨精讲:这里利用 60角构造等边三角形,从而得出弦长2弓形的弦长为 6 cm,弓形的高为 2 cm,则这个弓形所在的圆的半径为_ _cm.1343如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中 ,大圆的弦 AB 交
10、小圆于 C,D 两点求证:ACBD.证明:过点 O 作 OEAB 于点 E.则 AEBE,CEDE.AECEBEDE.即 ACBD.点拨精讲:过圆心作垂径4已知O 的直径是 50 cm,O 的两条平行弦 AB40 cm,CD48 cm,求弦 AB与 CD 之间的距离解:过点 O 作直线 OEAB 于点 E,直线 OE 与 CD 交于点 F.由 ABCD,则OF CD.(1)当 AB,CD 在点 O 两侧时,如图.连接 AO,CO,则 AOCO 25 cm,AE 20 cm,CF 24 cm .由勾股定理知 OE15 cm ,OF7 cm.EFOEOF22 (cm) 即 AB 与 CD 之间距离
11、为 22 cm.(2)当 AB,CD 在点 O 同侧时,如图,连接 AO,CO.则 AOCO 25 cm,AE 20 cm,CF 24 cm .由勾股定理知 OE15 cm ,OF7 cm.EFOEOF8 (cm) 即 AB 与 CD 之间距离为 8 cm.由(1)(2)知 AB 与 CD 之间的距离为 22 cm 或 8 cm.点拨精讲:分类讨论,AB,CD 在点 O 两侧,AB,CD 在点 O 同侧学生总结本堂课的收获与困惑(3 分钟)1圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴2垂径定理及其推论以及它们的应用学习至此,请使用本课时对应训练部分(10 分钟)241.3 弧、弦、圆心
12、角1. 通过学习圆的旋转性,理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题重点:圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理难点:探索推导定理及其应用一、自学指导(10 分钟)自学:自学教材 P8384 内容,回答下列问题探究:1顶点在_圆心_的角叫做圆心角,能够重合的圆叫做_等圆_;能够_重合_的弧叫做等弧;圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合,这就是圆的_旋转性_2在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_相等_,所对的弦也_相等_3在同圆或等圆中,两个_圆心角_,两条_弦_,两条_弧_中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等4在O 中,AB,CD 是两条弦,
13、(1)如果 ABCD,那么_ ,_AOB COD_;AB CD (2)如果 ,那么_ABCD_,_AOB COD;AB CD (3)如果AOBCOD,那么_AB CD_, _AB CD 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视(6 分钟)1如图,AD 是O 的直径,AB AC,CAB120,根据以上条件写出三个正确结论( 半径相等除外)(1)_ACO _ABO_;(2)_AD 垂直平分 BC_;(3) .AB AC 2如图,在O 中, ,ACB60,求证:AOBBOCAOC.AB AC 证明: ,AB AC.AB AC 又ACB60,ABC 为等边三角形,ABAC BC,AOBB
14、OCAOC.,第 2 题图) ,第 3 题图)3如图,(1)已知 .求证:ABCD.AD BC (2)如果 ADBC,求证: .DC AB 证明:(1) ,AD BC ,AD AC BC AC ,AB CD.DC AB (2)ADBC, ,AD BC ,即 .AD AC BC AC DC AB 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果(7 分钟)1O 中,一条弦 AB 所对的劣弧为圆周的 ,则弦 AB 所对的圆心角为_90_14点拨精讲:整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角2在半径为 2 的O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离为 1,则弦 AB 所对的圆心角的度
15、数为_120_3如图,在O 中, ,ACB75,求BAC 的度数AB AC 解:30.,第 3 题图) ,第 4 题图)4如图,AB,CD 是O 的弦,且 AB 与 CD 不平行,M,N 分别是 AB,CD 的中点,ABCD,那么 AMN 与 CNM 的大小关系是什么?为什么?点拨精讲:(1)OM,ON 具备垂径定理推论的条件(2)同圆或等圆中,等弦的弦心距也相等解:AMNCNM.ABCD ,M,N 为 AB,CD 中点,OMON,OMAB,ONCD,OMAONC,OMNONM,OMAOMNONCONM.即AMNCNM.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路(10
16、分钟)1如图,AB 是O 的直径, ,COD 35 ,求AOE 的度数BC CD DE 解:75.,第 1 题图) ,第 2 题图)2如图所示,CD 为O 的弦,在 CD 上截取 CEDF,连接 OE,OF,它们的延长线交O 于点 A,B.(1)试判断OEF 的形状,并说明理由;(2)求证: .AC BD 解:(1)OEF 为等腰三角形理由:过点 O 作 OGCD 于点 G,则 CGDG.CEDF ,CGCEDGDF.EGFG. OGCD,OG 为线段 EF 的垂直平分线OEOF ,OEF 为等腰三角形(2)证明:连接 AC,BD.由(1)知 OEOF,又OAOB,AEBF ,OEF OFE.
17、CEAOEF,DFBOFE ,CEADFB.在CEA 与DFB 中,AEBF,CEABFD, CEDF,CEADFB,ACBD , .AC BD 点拨精讲:(1)过圆心作垂径;(2)连接 AC,BD,通过证弦等来证弧等3已知:如图,AB 是O 的直径,M,N 是 AO,BO 的中点CMAB , DNAB,分别与圆交于 C,D 点求证: .AC BD 证明:连接 AC,OC,OD,BD.M,N 为 AO,BO 中点,OMON,AMBN.CMAB ,DN AB,CMODNO90.在 RtCMO 与 RtDNO 中,OMON,OCOD,Rt CMORtDNO.CMDN.在 RtAMC 和 RtBND
18、 中,AMBN,AMCBND ,CM DN,AMCBND.ACBD. .AC BD 点拨精讲:连接 AC,OC,OD,BD,构造三角形学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法学习至此,请使用本课时对应训练部分(10 分钟)241.4 圆周角1理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角2能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理一、自学指导(10 分钟)自学:阅读教材 P8587,完成下列问题归纳:1顶点在_圆周_上,并且两边都与圆_相交_的角叫做圆周角
19、2在同圆或等圆中,_等弧_或_等弦_所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的_圆心角_的一半3在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_相等_4半圆(或直径)所对的圆周角是_直角_,90的圆周角所对的弦是 _直径_5圆内接四边形的对角_互补_二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视(8 分钟)1如图所示,点 A,B,C, D 在圆周上,A65,求D 的度数解:65.,第 1 题图) ,第 2 题图)2如图所示,已知圆心角BOC100,点 A 为优弧 上一点,求圆周角BACBC 的度数解:50.3如图所示,在O 中, AOB100,C 为优弧 AB 的中点,求CAB 的度数解:65.,第
20、 3 题图) ,第 4 题图)4如图所示,已知 AB 是O 的直径,BAC32,D 是 AC 的中点,那么DAC的度数是多少?解:29.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果(7 分钟)1如图所示,点 A,B,C 在 O 上,连接 OA,OB,若ABO 25,则C_65_,第 1 题图) ,第 2 题图)2如图所示,AB 是O 的直径,AC 是弦,若ACO 32,则COB _64_3如图,O 的直径 AB 为 10 cm,弦 AC 为 6 cm,ACB 的平分线交O 于 D,求 BC,AD,BD 的长解:AB 为直径,ACB90.BC 8 (cm )AB2 AC2
21、CD 平分ACB ,ACDBCD,ADBD.由 AB 为直径,知 ADBD,ABD 为等腰直角三角形,AD 2BD 22AD 22BD 2AB 2,AD5 cm,BD5 cm.2 2点拨精讲:由直径产生直角三角形,由相等的圆周角产生等腰三角形二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路(8 分钟)1如图所示,OA 为O 的半径,以 OA 为直径的C 与O 的弦 AB 相交于点 D,若 OD5 cm, 则 BE_10_ cm_点拨精讲:利用两个直径构造两个垂直,从而构造平行,产生三角形的中位线,第 1 题图) ,第 2 题图)2如图所示,点 A,B,C 在 O 上,已知B6
22、0,则CAO_30_3OA,OB,OC 都是O 的半径 ,AOB 2BOC.求证:ACB2BAC.证明:AOB 是劣弧 所对的圆心角,AB ACB 是劣弧 所对的圆周角,AB AOB2ACB.同理BOC2BAC ,AOB2BOC,ACB 2BAC.点拨精讲:看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角,再看所对的圆心角4如图,在O 中,CBD30,BDC20,求A.解:A50点拨精讲:圆内接四边形的对角互补学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)圆周角的定义、定理及推论学习至此,请使用本课时对应训练部分(10 分钟)242 点和圆、直线和圆的位置关系242.1 点和圆的位置关系1. 结合实例,理解平面内
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