人教版九年级数学下册《第28章 锐角三角函数》单元测试卷（含答案）

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1、第 1 页，共 16 页新人教版九年级下第 28 章锐角三角函数单元测试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. sin60的值等于（ ）A. B. C. D. 12 22 32 332. 已知 为锐角，sin（-20）= ，则 =（ ）32A. B. C. 20 40 60D. 803. 在正方形网格中， 的位置如图所示，则 tan 的值是（ ）A. 33B. 53C. 12D. 24. 在ABC 中， C=90，a 、b、c 分别为 A、B、C 的对边，下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. = = = =5. 在 RtABC 中，各边都扩大 5 倍，则角 A 的三

2、角函数值（ ）A. 不变 B. 扩大 5 倍 C. 缩小 5 倍 D. 不能确定6. 在ABC 中， C=90，tan A= ，则 cosA 的值为（ ）13A. B. C. D. 1010 23 34 310107. 在ABC 中， A=120，AB=4，AC =2，则 sinB 的值是（）A. B. C. D. 5714 2114 35 2178. 如图，山顶一铁塔 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 6 米，此时太阳光与地面的夹角ACD=60，则铁塔 AB 的高为（ ）第 2 页，共 16 页A. 3 米B. 米63C. 米33D. 米239. 坡度等于 1： 的斜坡的坡角等于（ ）3A

3、. B. C. D. 30 40 50 6010. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往楼的方向前进 60m 至 B 处，测得仰角为 60，若学生的身高忽略不计， 1.7，结果3精确到 1m，则该楼的高度 CD 为（ ）A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m二、填空题（本大题共 7 小题，共 26.0 分）11. 求值：sin60-tan30= _ 12. 如图，在直角三角形 ABC 中， C=90，AC =5 ，AB=10，则A= _ 度313. 如图，AOB 放置在正方

4、形网格中，则 cosAOB 的值为_ 14. ABC 中， C=90，斜边上的中线 CD=6，sinA= ，则 SABC= _ 1315. 如图，身高 1.6m 的小丽用一个两锐角分别为 30和 60的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）_ 第 3 页，共 16 页16. 在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置如小岛 A 在码头 O 的南偏东60方向的 14 千米处，若以码头 O 为坐标原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向，1 千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛 A 也可表示成_ 17. 如图

5、，在ABC 中， C=90，BC =1，AB=2，则 sinA= _ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64.0 分）18. 已知 为一锐角，sin= ，求 cos，tan 4519. 如图，已知 AC=4，求 AB 和 BC 的长20. 如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36，求长方形卡片的周长（精确到 1mm）（参考数据：sin360.60，cos360.80，tan360.75）第 4 页，共 16 页21. 如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 45改

6、为 30 已知原传送带 AB 长为 4米求新传送带 AC 的长度222. 某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 45，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌底部 C 的仰角为 30已知山坡 AB 的坡度i=1： ，AB=10 米，AE=15 米，求这块宣传牌 CD 的3高度23. 如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 观测站在 B 观测站的正东方向，有一艘小船在点 P 处，从 A 处测得小船在北偏西 60方向，从 B 处测得小船在北偏东 45的方向，点 P 到点 B 的距离是 3 千米（注：结果有根号的保

7、留2根号）（1）求 A，B 两观测站之间的距离；（2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向以 千米/ 时的速度进行沿途考察，航行一3段时间后到达点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15方向，求小船沿途考察的时间第 5 页，共 16 页24. 如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45时，办公楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离（B，F，C 在一条直线上）（1）求办公楼 AB 的高度；（2）若要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出 A，E 之间的距离（参考数

8、据：sin22 ，cos22 ，tan22 ）38 1516 25第 6 页，共 16 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin60= 故选：C 根据特殊角的三角函数值直接解答即可此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累2.【答案】D【解析】解： 为锐角，sin（-20） = ， -20=60， =80， 故选 D 根据特殊角的三角函数值直接解答即可 本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目3.【答案】D【解析】解：由图可得，tan=21=2 故选 D 此题可以根据“ 角的正切值 =对边邻边”求解即可 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键

9、4.【答案】D【解析】解：A、 sinB= ，b=csinB，故选项错误； B、cosB= ，a=ccosB，故选项错误； C、tanB= ，a= ，故 选项错误； 第 7 页，共 16 页D、tanB= ，b=atanB，故选项正确 故选 D 根据三角函数的定义即可判断 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切 为对边比邻边5.【答案】A【解析】解：各 边都扩大 5 倍， 新三角形与原三角形的对应边的比为 5：1， 两三角形相似， A 的三角函数值不变， 故选：A易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变

10、用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等三角函数值只与角的大小有关，与角的 边的长短无关6.【答案】D【解析】解：如图， tanA= = ， 设 BC=x，则 AC=3x， AB= = x， cosA= = = 故选 D 根据正切的定义得到 tanA= = ，于是可设 BC=x，则 AC=3x，根据勾股定第 8 页，共 16 页理计算出 AB，然后利用余弦的定义求解 本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值也考查了勾股定理7.【答案】B【解析】解：延长 BA 过点 C 作 CDBA 延

11、长线于点 D， CAB=120， DAC=60， ACD=30， AB=4，AC=2， AD=1，CD= ，BD=5， BC= =2 ， sinB= = = 故选：B 首先延长 BA 过点 C 作 CDBA 延长线于点 D，进 而得出 AD，CD，BC 的长，再利用锐角三角函数关系求出即可 此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键8.【答案】B【解析】解：设直线 AB 与 CD 的交点为点 O AB= ACD=60BDO=60在 RtBDO 中，tan60= CD=6第 9 页，共 16 页AB= =6 故选：B 依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比

12、例及 60的正切值联立求解本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形9.【答案】A【解析】解：坡角 ，则 tan=1： ， 则 =30 故选 A根据坡度就是坡角的正切值即可求解本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键10.【答案】B【解析】解：根据题意得：A=30 ，DBC=60，DCAC，ADB=DBC-A=30，ADB=A=30，BD=AB=60m，CD=BDsin60=60 =30 51（m）故选：B 由题意易得：A=30 ，DBC=60，DCAC，即可证得 ABD 是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案此题考查了解直角三角形的应用-仰

13、角俯角问题注意证得ABD 是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键第 10 页，共 16 页11.【答案】36【解析】解：原式= - = - = 故答案为 根据 sin60= ，tan30= 得到原式= - ，然后通分合并即可 本题考查了特殊角的三角函数值：sin60= ，tan30= 也考查了二次根式的运算12.【答案】30【解析】解：C=90，AC=5 ，AB=10， cosA= = = ， A=30， 故答案为：30 根据条件求出 ，即可得到 cosA 的值，再根据特殊角的三角函数值求出A 的度数 此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出 cos

14、A13.【答案】55【解析】解：将AOB 放在一直角三角形中，邻边为 1，对边为 2，由勾股定理得斜边， 则 cosAOB 的值= = 根据余弦的定义，cos AOB 等于邻边比斜边，可以求得 cosAOB 的值 第 11 页，共 16 页本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边14.【答案】 162【解析】解：在 RtABC 中， 斜边上的中线 CD=6， AB=12 sinA= = ， BC=4，AC= =8 SABC= ACBC=16 根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出 AB；根据三角函数的定义求出 AC，根据面积公式解答 本题利用了直角三角形

15、的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解15.【答案】（2 +1.6）m3【解析】解：由题意得：AD=6m， 在 RtACD 中，tanA= = CD=2 ，又 AB=1.6m CE=CD+DE=CD+AB=2 +1.6， 所以树的高度为（2 +1.6）m 已知小丽与树之间的距离为 6m 即 AD=7m，可由直角三角形 ACD 及三角函数的关系可求出 CD 的长度，再由 AB=1.6m 可得出树的高度 本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段第 12 页，共 16 页16.【答案】 (73， 7)【解析】解：过点 A 作 ACx 轴于

16、C 在直角OAC 中，AOC=90-60=30，OA=14 千米， 则 AC= OA=7 千米，OC=7 千米 因而小岛 A 所在位置的坐标是（7 ，-7） 故答案为：（7 ，-7） 过点 A 作 ACx 轴于 C，根据已知可求得小 岛 A 的坐标 本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键17.【答案】12【解析】【分析】本题考查了锐角的三角函数值的定义，理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解.【解答】解：sinA= = .故答案为 .18.【答案】解：由 sin= = ，设 a=4x，c=5x，45则 b= =3x，22故 cos= = ，ta

17、n= = 35 43【解析】根据 sin= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出 cos 的值 ，同理可得 tan 的值 第 13 页，共 16 页本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值19.【答案】解：作 CDAB 于点 D，在 RtACD 中，A=30 ，ACD=90-A=60，CD= AC=2，12AD=ACcosA=2 3在 RtCDB 中，DCB=ACB- ACD=45，BD=CD=2，BC=2 ，2AB=AD+BD=2+2 3【

18、解析】作 CDAB 于点 D，根据三角函数的定义在 RtACD 中，在 RtCDB 中，即可求出 CD，AD，BD，从而求解 本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等20.【答案】解：作 BEl 于点 E，DFl 于点 F根据题意，+=180=18090=90，+=90，=36. 得 BE=24mm，DF=48 mm在 RtABE 中，sin ，= mm=36=240.60=40在 RtADF 中， cos ，= mm=36=480.80=60矩形 ABCD 的周长=2 （40+60 ）=200 mm【解析】作 BEl 于点 E，DFl 于点 F，求ADF 的度数，在 RtAB

19、E 中，可以求得AB 的值，在 RtADF 中，可以求得 AD 的值，即可计算矩形 ABCD 的周长，即可解题第 14 页，共 16 页本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算21.【答案】解：在 RtABD 中，AD=ABsin45=4 =4222在 RtACD 中，ACD=30，AC=2AD=8答：新传送带 AC 的长度约为 8 米【解析】根据正弦的定义求出 AD，根据直角三角形的性质解答即可 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键22.【答案】解：过 B 作 BFAE，交 EA 的延长线于

20、 F，作BGDE 于 G 在 RtABF 中，i=tanBAF= = ，13 33BAF=30，BF= AB=5，AF=5 12 3BG=AF+AE=5 +153在 RtBGC 中，CBG=30，CG：BG = ，33CG=5+5 3在 RtADE 中， DAE=45，AE =15，DE=AE=15，CD=CG+GE-DE=5+5 +5-15=（5 -5）m3 3答：宣传牌 CD 高约（5 -5）米3【解析】过 B 分 别作 AE、DE 的垂线， 设垂足为 F、G分 别在 RtABF 和 RtADE 中，通过解直角三角形求出 BF、AF、DE 的长， 进而可求出 EF 即 BG 的长；在RtC

21、BG 中，CBG=30 ，求出 CG 的长；根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度 第 15 页，共 16 页此题综合考查了仰角、坡度的定义，能 够正确地构建出直角三角形，将 实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键23.【答案】解：（1）如图，过点 P 作PDAB 于点 D在 RtPBD 中， BDP=90，PBD=90-45=45，BD=PD=3 千米在 RtPAD 中， ADP=90，PAD=90-60=30，AD= PD=3 千米，PA=6 千米3 3AB=BD+AD=3+3 （千米）；3（2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F根据题意得：ABC =105，在

22、 RtABF 中，AFB=90， BAF=30，BF= AB= 千米，AF= AB= +3 千米12 3+332 32 3在ABC 中， C=180-BAC-ABC=45在 RtBCF 中， BFC=90，C=45，CF=BF= 千米，3+332PC=AF+CF-AP=3 千米3故小船沿途考察的时间为：3 =3（小时）3 3【解析】（1）过点 P 作 PDAB 于点 D，先解 RtPBD，得到 BD 和 PD 的长，再解 RtPAD，得到 AD 和 AP 的长，然后根据 BD+AD=AB，即可求解； （2）过点 B 作 BFAC 于点 F，先解 RtABF，得出 BF 和 AF 的长，再解 R

23、tBCF，得出 CF 的长，可求 PC=AF+CF-AP，从而求解 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键第 16 页，共 16 页24.【答案】解：（1）如图，过点 E 作 EMAB，垂足为 M设 AB 为 xRtABF 中，AFB=45，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+25，在 RtAEM 中，AEM=22， AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22= ，则 = ，2+2525解得：x=20即教学楼的高 20m（2）由（1）可得 ME=BC=x+25=20+25=45在 RtAME 中，cos22= AE= ，22即 A、E 之间的距离约为 48m【解析】（1）首先构造直角三角形AEM，利用 tan22= ，求出即可； （2）利用 RtAME 中， cos22= ，求出 AE 即可 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22= 是解题关键