2016年山东省潍坊市中考数学试卷及答案解析

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1、第 1 页（共 23 页）2016 年山东省潍坊市中考数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分1计算：2 023=（ ）A B C0 D82下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A B C D3如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）A B C D4近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016 年第一季度潍坊全市实现生产总值 1256.77 亿元，将 1256.77 亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位） （ ）A1.210 11B1.3 1011C1.2610 11D0.1310 125实数 a，b 在数轴上

2、对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）A2a+b B 2ab C b Db6关于 x 的一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，则锐角 等于（ ）A15 B 30 C45 D60 7木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A B C D8将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ）Aa 21 Ba 2+a Ca 2+a2 D （a+2） 22（a+2）+1第 2 页（共 23 页）9如图，在平面直角坐标系中，M

3、与 x 轴相切于点 A（8，0） ，与 y 轴分别交于点B（0，4）和点 C（0，16） ，则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ）A10 B8 C4 D210若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm 且 m Cm Dm 且 m11如图，在 RtABC 中， A=30，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作O 交 AB 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A B C D 12运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 x”到“ 结果是否95” 为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么 x 的取值范围是（ ）Ax11 B11 x23 C11x23 D

4、x23二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分13计算： （ + ）= 14若 3x2nym 与 x4nyn1 是同类项，则 m+n= 15超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目 创新能力 综合知识 语言表达测试成绩（分数） 70 80 92将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分第 3 页（共 23 页）16已知反比例函数 y= （k0）的图象经过（3，1） ，则当 1y3 时，自变量 x 的取值范围是 17已知AOB=60，点 P 是 AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上，

5、且OM=4，则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 18在平面直角坐标系中，直线 l：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、正方形 AnBnCnCn1，使得点 A1、A 2、A 3、在直线 l 上，点 C1、C 2、C 3、在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分19关于 x 的方程 3x2+mx8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值20今年 5 月，某大型商业集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了

6、如图尚不完整的统计图表评估成绩 n（分） 评定等级 频数90n100 A 280n90 B70n80 C 15n70 D 6根据以上信息解答下列问题：（1）求 m 的值；（2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）（3）从评估成绩不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求其中至少有一家是 A等级的概率第 4 页（共 23 页）21正方形 ABCD 内接于O ，如图所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、BE ，过点 D作 DFBE 交O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证：（1）四边形 EBFD 是矩形；（2）D

7、G=BE22如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD ，测得 BC=6 米，CD=4 米，BCD=150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30，试求电线杆的高度（结果保留根号）23旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数发现每天的营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆已知所有观光车每天的管理费是 1100 元（1）优惠活动期间，为使观光车全部

8、租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？24如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，过点 D 作 DEAB 于点 E，DF BC 于点 F（1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N ，求证：MN= AC；（2）如图 2，将EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE、DF 分别与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连接 GP，当 DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向第 5 页（共 23 页）25如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过ABC

9、 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点B（9，10） ，AC x 轴，点 P 时直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由第 6 页（共 23 页）2016 年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分1计算：2 023=（ ）A B C0

10、 D8【考点】负整数指数幂；零指数幂【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案【解答】解：2 023=1 = 故选：B2下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确故选：D3如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图

11、是（ ）A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可【解答】解：图中几何体的俯视图是 C 选项中的图形故选：C第 7 页（共 23 页）4近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016 年第一季度潍坊全市实现生产总值 1256.77 亿元，将 1256.77 亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位） （ ）A1.210 11B1.3 1011C1.2610 11D0.1310 12【考点】科学记数法与有效数字【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10

12、，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 1256.77 亿用科学记数法可表示为 1.31011故选 B5实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）A2a+b B 2ab C b Db【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a0，ab0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案【解答】解：如图所示：a0，a b0，则|a|+=a（ab）=2a+b故选：A6关于 x 的一

13、元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，则锐角 等于（ ）A15 B 30 C45 D60 【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出 sin= ，再由 为锐角，即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，= 4sin=24sin=0，解得：sin= ， 为锐角，=30第 8 页（共 23 页）故选 B7木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）

14、A B C D【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线【分析】先连接 OP，易知 OP 是 RtAOB 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么 OP 就是一个定值，那么 P 点就在以 O 为圆心的圆弧上【解答】解：如右图，连接 OP，由于 OP 是 RtAOB 斜边上的中线，所以 OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是 OP 是一个定值，点 P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点 P 下落的路线是一段弧线故选 D8将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ）Aa 21 Ba 2+a Ca 2+a

15、2 D （a+2） 22（a+2）+1【考点】因式分解的意义【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果【解答】解：a 21=（a+1） （a 1） ，a2+a=a（ a+1） ，a2+a2=（a+2） （a 1） ，（a+2） 22（a+2）+1=（a+21） 2=（a+1） 2，结果中不含有因式 a+1 的是选项 C；第 9 页（共 23 页）故选：C9如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点 A（8，0） ，与 y 轴分别交于点B（0，4）和点 C（0，16） ，则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ）A10 B8 C4 D2【考点】切线的性质；坐标与图形性质【分析】如图连接

16、BM、OM，AM ，作 MHBC 于 H，先证明四边形 OAMH 是矩形，根据垂径定理求出 HB，在 RTAOM 中求出 OM 即可【解答】解：如图连接 BM、OM，AM ，作 MHBC 于 HM 与 x 轴相切于点 A（8，0） ，AMOA，OA=8，OAM=MH0=HOA=90，四边形 OAMH 是矩形，AM=OH，MHBC，HC=HB=6，OH=AM=10，在 RTAOM 中，OM= = =2 故选 D10若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm 且 m Cm Dm 且 m【考点】分式方程的解【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得

17、出 x 的取值范围，进而得出答案第 10 页（共 23 页）【解答】解：去分母得：x+m 3m=3x9，整理得：2x= 2m+9，解得：x= ，关于 x 的方程 + =3 的解为正数，2m+90，级的：m ，当 x=3 时，x= =3，解得：m= ，故 m 的取值范围是：m 且 m 故选：B11如图，在 RtABC 中， A=30，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作O 交 AB 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A B C D 【考点】扇形面积的计算；含 30 度角的直角三角形【分析】连接连接 OD、CD，根据 S 阴 =SABCSACD（S 扇形 OCDSOCD）计算即可解决问题【解答】

18、解：如图连接 OD、CDAC 是直径，ADC=90，A=30，ACD=90A=60，OC=OD，OCD 是等边三角形，第 11 页（共 23 页）BC 是切线ACB=90，BC=2 ，AB=4 ，AC=6，S 阴 =SABCSACD（S 扇形 OCDSOCD）= 62 3 （ 32）= 故选 A12运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 x”到“ 结果是否95” 为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么 x 的取值范围是（ ）Ax11 B11 x23 C11x23 D x23【考点】一元一次不等式组的应用【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于 95，第三次运算结果大于 95 列

19、出不等式组，然后求解即可【解答】解：由题意得， ，解不等式得，x 47，解不等式得，x 23，解不等式得，x11，所以，x 的取值范围是 11x23故选 C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分13计算： （ + ）= 12 【考点】二次根式的混合运算【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算【解答】解：原式= （ +3 ）第 12 页（共 23 页）= 4=12故答案为 1214若 3x2nym 与 x4nyn1 是同类项，则 m+n= 【考点】同类项【分析】直接利用同类项的定义得出关于 m，n 的等式，进而求出答案【解答】解：3x 2nym 与 x4nyn1 是

20、同类项， ，解得：则 m+n= + = 故答案为： 15超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目 创新能力 综合知识 语言表达测试成绩（分数） 70 80 92将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 77.4 分【考点】加权平均数【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力所占的比值+综合知识所占的比值+语言表达所占的比值即可求得【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70 +80 +92 =77.4（分） ，故答案为：77.416已知反比例函数 y= （k0）的图象经过（3，1） ，则当 1y3 时，自变量

21、x 的取值范围是 3x 1 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征第 13 页（共 23 页）【分析】根据反比例函数过点（3，1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，根据 k 值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入 y=1、y=3 求出 x值，即可得出结论【解答】解：反比例函数 y= （k0）的图象经过（3， 1） ，k=3（1）=3，反比例函数的解析式为 y= 反比例函数 y= 中 k=3，该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增当 y=1 时，x= =3；当 y=3 时，x= =11 y 3 时，自变量 x 的取值范围是3x1故

22、答案为：3 x 117已知AOB=60，点 P 是 AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上，且OM=4，则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 2 【考点】轴对称-最短路线问题【分析】过 M 作 MNOB 于 N，交 OC 于 P，即 MN的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过 M 作 MNOB 于 N，交 OC 于 P，则 MN的长度等于 PM+PN 的最小值，即 MN的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值，ONM=90， OM=4，MN=OMsin60=2 ，点 P 到点 M

23、 与到边 OA 的距离之和的最小值为 2 第 14 页（共 23 页）18在平面直角坐标系中，直线 l：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、正方形 AnBnCnCn1，使得点 A1、A 2、A 3、在直线 l 上，点 C1、C 2、C 3、在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 （2 n1，2 n1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质【分析】先求出 B1、B 2、B 3 的坐标，探究规律后即可解决问题【解答】解：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，A1 点坐标（ 1，0） ，四边形 A1B1C1O 是正方形，B1

24、坐标（1，1） ，C1A2x 轴，A2 坐标（ 2， 1） ，四边形 A2B2C2C1 是正方形，B2 坐标（2，3） ，C2A3x 轴，A3 坐标（ 4， 3） ，四边形 A3B3C3C2 是正方形，B3（4，7） ，B1（2 0，2 11） ，B 2（2 1，2 21） ，B 3（2 2，2 31） ，Bn 坐标（2 n1，2 n1） 故答案为（2 n1，2 n1） 第 15 页（共 23 页）三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分19关于 x 的方程 3x2+mx8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值【考点】根与系数的关系【分析】由于 x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即

25、可求出 m 的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为 t依题意得：3（ ） 2+ m8=0，解得 m=10又 t= ，所以 t=4综上所述，另一个根是4，m 的值为 1020今年 5 月，某大型商业集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表评估成绩 n（分） 评定等级 频数90n100 A 280n90 B70n80 C 15n70 D 6根据以上信息解答下列问题：（1）求 m 的值；（2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）（3）从评估

26、成绩不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求其中至少有一家是 A等级的概率第 16 页（共 23 页）【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图【分析】 （1）由 C 等级频数为 15，占 60%，即可求得 m 的值；（2）首先求得 B 等级的频数，继而求得 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A 等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）C 等级频数为 15，占 60%，m=1560%=25；（2）B 等级频数为：252156=2，B 等级所在扇形的圆心角的大小为： 360

27、=28.8=2848；（3）评估成绩不少于 80 分的连锁店中，有两家等级为 A，有两家等级为 B，画树状图得：共有 12 种等可能的结果，其中至少有一家是 A 等级的有 10 种情况，其中至少有一家是 A 等级的概率为： = 21正方形 ABCD 内接于O ，如图所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、BE ，过点 D作 DFBE 交O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证：（1）四边形 EBFD 是矩形；（2）DG=BE【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理【分析】 （1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出BED=BAD=90，BFD=

28、BCD=90， EDF=90，进而得出答案；第 17 页（共 23 页）（2）直接利用正方形的性质 的度数是 90，进而得出 BE=DF，则 BE=DG【解答】证明：（1）正方形 ABCD 内接于O ，BED=BAD=90， BFD=BCD=90，又 DFBE，EDF+BED=180，EDF=90，四边形 EBFD 是矩形；（2） ）正方形 ABCD 内接于 O， 的度数是 90，AFD=45，又GDF=90，DGF=DFC=45，DG=DF，又 在矩形 EBFD 中，BE=DF，BE=DG22如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD ，测得 BC=

29、6 米，CD=4 米，BCD=150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30，试求电线杆的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE 于 F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出 DF、CF 的长，根据正切的定义求出 EF，得到 BE 的长，根据正切的定义解答即可【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE 于 F，BCD=150，DCF=30，又 CD=4，DF=2，CF= =2 ，由题意得E=30，EF= =2 ，BE=BC+CF+EF=6+4 ，第 18 页（共 23 页）AB=BEtanE

30、=（6+4 ） =（2 +4）米，答：电线杆的高度为（2 +4）米23旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数发现每天的营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆已知所有观光车每天的管理费是 1100 元（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【考点】二次函数的应用【

31、分析】 （1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则 0x100，由 50x11000 ，解得 x22，又 x 是 5 的倍数，每辆车的日租金至少应为 25 元；（2）设每辆车的净收入为 y 元，当 0x100 时， y1=50x1100，y1 随 x 的增大而增大，当 x=100 时，y 1 的最大值为 501001100=3900；当 x100 时，y2=（50 ）x1100= x2+70x1100第 1

32、9 页（共 23 页）= （x 175） 2+5025，当 x=175 时，y 2 的最大值为 5025，50253900，故当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多是 5025 元24如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，过点 D 作 DEAB 于点 E，DF BC 于点 F（1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N ，求证：MN= AC；（2）如图 2，将EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE、DF 分别与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连接 GP，当 DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向【考点】旋转的性质；菱形的

33、性质【分析】 （1）连接 BD，证明ABD 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可【解答】 （1）证明：如图 1，连接 BD，交 AC 于 O，在菱形 ABCD 中，BAD=60，AD=AB，ABD 为等边三角形，DEAB，AE=EB，ABDC， = = ，同理， = ，MN= AC；（2）解：AB DC，BAD=60，ADC=120，又 ADE=CDF=30，EDF=60，当EDF 顺时针旋转时，由旋转的性质可知，EDG=FDP ，GDP=EDF=60，DE=DF= ， D

34、EG=DFP=90，在DEG 和 DFP 中，第 20 页（共 23 页），DEGDFP，DG=DP，DGP 为等边三角形，DGP 的面积= DG2=3 ，解得，DG=2 ，则 cosEDG= = ，EDG=60，当顺时针旋转 60时，DGP 的面积等于 3 ，同理可得，当逆时针旋转 60时，DGP 的面积也等于 3 ，综上所述，将EDF 以点 D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转 60时，DGP 的面积等于 325如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点B（9，10） ，AC x 轴，点 P 时直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析

35、式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；第 21 页（共 23 页）（2）设点 P（m ， m2+2m+1） ，表示出 PE= m23m，再用 S 四边形 AECP=SAEC+SAPC=ACPE，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出 PF=CF，再得到PCF

36、=EAF，以 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，分两种情况计算即可【解答】解：（1）点 A（0 ，1） B （9，10）在抛物线上， ， ，抛物线的解析式为 y= x2+2x+1，（2）AC x 轴，A（0，1） x2+2x+1=1，x1=6，x 2=0，点 C 的坐标（6，1） ，点 A（ 0，1） B（9，10） ，直线 AB 的解析式为 y=x+1，设点 P（m， m2+2m+1）E（ m，m+1）PE=m+1（ m2+2m+1）= m23m，ACEP，AC=6，S 四边形 AECP=SAEC+SAPC= ACEF+ ACPF= AC（EF+PF）= ACPE= 6（ m23m

37、）=m29m第 22 页（共 23 页）=（m+ ） 2+ ，6m 0当 m= 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，此时点 P（ ， ） （3）y= x2+2x+1= （x+3） 22，P（ 3，2） ，PF=yFyP=3，CF=x FxC=3，PF=CF，PCF=45同理可得：EAF=45，PCF=EAF，在直线 AC 上存在满足条件的 Q，设 Q（t，1）且 AB=9 ，AC=6，CP=3以 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，当CPQABC 时， ， ，t=4，Q（ 4， 1）当CQPABC 时， ， ，t=3，Q（ 3， 1） 第 23 页（共 23 页）2016 年 7 月 11 日