广东省广州市2019届高三12月调研测试数学（理）试卷及答案

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1、秘密 启用前 试卷类型： A2019 届广东省广州市高三年级调研测试理科数学2018.12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以

2、上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 |02Mx， 2|30Nx，则集合 MNA | B | C |12x D |01x2若复数i1az( 是虚数单位 )为纯虚数，则实数 a的值为A B 1 C 1 D 23已知 na为等差数列，其前 n项和为 nS，若 36,S，则公差 d等于A1 B53C2 D34若点 (,)P为圆260xy的弦 MN的中点，则弦 N所在直线方程为 A 230y B 1 C 0xy D 210xy5已知实数 ln

3、2a， ln2b， 2lc，则 ,abc的大小关系是A c B a C D acb 6下列命题中，真命题的是A00,xReB2C 0ab的充要条件是1abD若 ,xyR，且 2xy，则 ,xy中至少有一个大于 17由 ()f的图象向左平移 3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到1sin36yx的图象，则 ()fxA 2B1sin6C31sin2xD1sin63x8. 已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球现随机地从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出 1 个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A 3 B 2 C59D

4、299已知抛物线 20ypx与双曲线21(0,)xyab有相同的焦点 F，点 A是两曲线的一个交点，且 AF轴，则双曲线的离心率为A 21 B 31 C 51 D 210. 已知等比数列 na的前 项和为 nS，若 37， 63S，则数列 na的前 项和为A 3() B ()2 C 12nD 1n11如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A6 B7 C23D2312已知过点 (,0)a作曲线 :xye的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是A ,4+， B 0+，C 1， D ,1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量 ,abr的夹角为 ，且,2abr，则

5、abr_14已知 4234012xxx，则 220413a= 15已知实数 x, y满足,350,yx则142xyz的最小值为_ 16已知在四面体 ABCD中， BAC，则该四面体的体积的最大值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）在 ABC中，角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c，且BAsinsincos222.（1）求角 的大小；（2）若 6A， C的面积为 34，M为 B的中点，求 M18（本小题满分 12

6、 分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 20,4)内的产品视为合格品，否则为不合格品图1 是设备改造前样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后样本的频数分布表表 1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值 15,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 2 18 48 14 16 2（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在 5,30)内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在 20,5)或 3,

7、)内的定为二等品，每件售价 180 元；其它的合格品定为三等品，每件售价 120 元根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X（单位：元），求 X的分布列和数学期望19. （本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为矩形，二面角 ACDF为 60，E， ,2， 3， 6（1）求证： 平面 ；（2）在线段 CF上求一点 G，使锐二面角 BEGD的余弦值为1420（本题满分 12 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为12，点3,2P在 C上

8、（1）求椭圆 的方程；（2）设 12,F分别是椭圆 的左, 右焦点，过 2F的直线 l与椭圆 交于不同的两点 ,AB，求 AB的内切圆的半径的最大值21（本小题满分 12 分）已知函数21ln,xfxaaR.（1）讨论 f的单调性；（2）若 x有两个零点，求实数 a的取值范围（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程为 =23cosin，直线 1:()6lR，直线 2:()3lR以极点 O为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求直线

9、 12,l的直角坐标方程以及曲线 C的参数方程；（2）若直线 与曲线 C交于 ,A两点，直线 2l与曲线 交于 ,OB两点，求 A的面积23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数13fxaR（1）当 2a时，解不等式1xf；（2）设不等式13xf的解集为 M，若,32，求实数 a的取值范围2019 届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度

10、决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分131 1416 151616237三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：(1) 由 BACBsinsincos222，得 ACiinsi2 2 分由正弦定理，得 abc22，即 abc22， 3 分所以1osba 5 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8

11、9 10 11 12答案 A C C D B D B B A D B A因为 0C，所以23 6 分(2) 因为 6A，所以 6B 7 分所以 C为等腰三角形，且顶角23C因为43sin212aabSAB， 8 分所以 4 9 分在 MC中，2,3C，所以22 1cos164228AAM 11 分解得 712 分18解：（1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值 5,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 4 16 40 12 18 10417.6.7.1.87.12.025205230504 3 1 分样本的质量指标平均值为30.21 2 分根据样本质量指标平

12、均值估计总体质量指标平均值为 30.2 3 分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12， 3， 6，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12， 3， 6 4 分随机变量 X的取值为：240，300，360，420，4805 分1(240)63P， 12(30)69PXC，1215(3)8XC， 12(4)3，(480)4P，10 分所以随机变量 X的分布列为：11 分所以151()240360428046983EX12 分19解：（1）因为四边形 ABCD为矩形，所以 BC .因为 AD平面 E， 平面 E，所以 平面 1 分同理 CF 平面

13、AE 2 分又因为 B，所以平面 BCF 平面 ADE 3 分240 300 360 420 480P1361958134因为 BF平面 C，所以 BF 平面 ADE 4 分（2）法一：因为 ,DAE，所以 是二面角 CDF的平面角，即 60ADE 5 分因为 AE，所以 平面 .因为 CD平面 F,所以平面 E平面 A.作 AO于点 ，则 O平面 CDEF. 6 分由 2,3DE, 得 1， 2 以 为原点，平行于 C的直线为 x轴， E所在直线为 y轴， OA所在直线为 z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oyz，则0,3,1,0,(0,2)(3,50)ACDEF，3,OBA，7 分设

14、30Gt， ， ， 15t，则 23BE， ， 03BGt， ，设平面 BEG的法向量为 xyz， ，m，则由0,B:得320,xyzt，取2,3,xtyzt得平面 EG的一个法向量为 ,tm， 8 分又平面 D的一个法向量为 (0,1)n， 9 分所以2341cost， m， 10 分所以 2314t=，解得t或t（舍去）， 11 分此时14CGF，得32CF.即所求线段 上的点 满足G12 分法二：作 BOCF于点 ，作 OHE的延长线于点 H，连结 B因为 ,DBCF，所以 C平面 ， 5 分O MHABC ED FGBCF为二面角 ADF的平面角， 60CF 6 分所以 O因为 CF，

15、所以 B平面 D， BEH7 分因为 ,OHEO，所以 平面 B8 分所以 E， 为二面角 BEGD的平面角 9 分在 RtBCO中， 2,60CO，所以 3,1又因为cos4BHO，所以tan15BHO，H10 分作 EMCF于 ，则 GEM:， 3,3CDE，设 OGx，则HE，即 259xx， 11 分解得12，即所求线段 CF上的点 G满足32C 12 分20解：（1）依题意有221,3,4cab解得,31.abc3 分故椭圆 C的方程为21xy 4 分（2）设 12(,),AB，设 1FAB的内切圆半径为 r，1F的周长为 1248a，所以 142ABSar5 分解法一：根据题意知，

16、直线 l的斜率不为零，可设直线 l的方程为 1xmy，6 分由2143xym，得2(4)690ym7 分2(6)0， R，由韦达定理得 1212,3434yy，8 分1 221212112134FAB mS y ，10 分令2tm，则 1t，1243FABtSt令()3ftt，则当 t时， 2()0ftt， ()ft单调递增，4()13ft， 1FABS， 11 分即当 ,0tm时， 1FAB的最大值为 3，此时 max34r故当直线 l的方程为 x时， 1内切圆半径的最大值为 12 分解法二：当直线 lx轴时，31,2AB1123FABS. .6 分当直线 不垂直于 轴时，设直线 l的方程为

17、 ()ykx，由2143()xyk，得22(43)8410kxk. 7 分281， 由韦达定理得22121,4343kkxx，8 分11221212()FABSyyx269443kkxx. 10 分令 243tk，则 t，103t, 12269914FAB tSt23t173t2713.综上，当直线 l的方程为 1x时， 1FABS的最大值为 3， 1FAB内切圆半径的最大值为3412 分21解：(1) f的定义域为 0,， 233()12()1xafxa. 1 分(i)当 0时， 20x恒成立，,x时， ()f， fx在 0,2上单调递增；2时， ， 在 上单调递减； 2 分(ii) 当 0

18、a时，由 ()0fx得，1231,xa（舍去），当 12x，即 4时， ()f恒成立， f在 (0,)上单调递增；3 分当 12，即1a时，0,x或 ,x时， ()0fx恒成立， fx在10,a， 2,单调递增；1,2a时， ()0f恒成立， f在1,2a上单调递减；4 分当 12x即14时，,a或 0,2x时， ()0fx恒成立， fx在1(0,2),a单调递增；12,x时， ()f恒成立， f在12,a上单调递减；5 分综上，当 0a时， x单调递增区间为 0,，单调递减区间为 2,；当14a时， fx单调递增区间为 0,，无单调递减区间；当时， f单调递增区间为1,a， 2,，单调递减区

19、间为1,2a；当104a时， fx单调递增区间为(0,),，单调递减区间为,6 分(2)由(1)知，当 0时， f单调递增区间为 (0,2)，单调递减区间为 (2,)，又因为 1fa， 7 分取 0mx,5，令 1()2lnfxx， 21()fx，则 1()0fx在 (2,)成立，故 单调递增， 105ln2ln5)1f，00022000ln)fxaxaxx，（注：此处若写“当 时， f”也给分）所以 fx有两个零点等价于1(2)ln2)04fa，得18ln2a，所以108lna8 分当 时， 2()xf，只有一个零点，不符合题意； 当14a时， fx在 (0,)单调递增，至多只有一个零点，不

20、符合题意；9 分当 0且时， f有两个极值，1(2)ln2)04fa，2lnfa，记 lgxx， 10 分11()2(ln)lnx，令()lhxx，则33221hxx.当14时， ()0， ()g在1,4单调递增；当0x时， ()hx， ()x在0,单调递减故1()2ln4g， ()g在 ,)单调递增0x时， ()0x，故12ln0fa11 分又(2)ln24fa，由(1)知， fx至多只有一个零点，不符合题意综上，实数 的取值范围为1,08ln2. 12 分（二）选考题：共 10 分请在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22解：(1) 依题意，直线 1l的直角坐

21、标方程为3yx， 2l的直角坐标方程为 3yx2 分由 =23cosin得2=3cosin，因为2,ixyxy，3 分所以22(3)(1)4xy，4 分所以曲线 C的参数方程为3cosinx（ 为参数） 5 分（2）联立6=23cosi得 14OA， 6 分同理， OB7 分又 6A， 8 分所以11sin4232AOBSAOB， 9 分即 的面积为 3 10 分23解：（1）当 2a时，原不等式可化为 3123x， 1 分当 3x时， x，解得 0，所以 ； 2 分当12时， 123，解得 1x，所以 2x； 3 分当 x时， 3x，解得 2，所以 4 分综上所述，当 2a时，不等式的解集为 |01x或 5 分（2）不等式13xf可化为 33ax，依题意不等式 ax在1,2上恒成立， 6 分所以 313x，即 ，即 1ax，8 分所以132a，解得43a，故所求实数 a的取值范围是1,2 10 分