福建省龙岩市2016年中考数学试题含答案解析

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1、2016 年福建省龙岩市中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分1 （2） 3=（ ）A6B6C8D82下列四个实数中最小的是（ ）A B2C D1.43与 是同类二次根式的是（ ）A B C D4下列命题是假命题的是（ ）A若|a|=|b| ，则 a=bB两直线平行，同位角相等C对顶角相等D若 b24ac0，则方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个不等的实数根5如图所示正三棱柱的主视图是（ ）A B C D6在 2016 年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论

2、错误的是（ ）A平均数为 160B中位数为 158C众数为 158D方差为 20.37反比例函数 y= 的图象上有 P1（x 1，2） ，P 2（x 2，3 ）两点，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）Ax 1x 2Bx 1=x2Cx 1x 2D不确定8如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2 ，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（ ）A1B2C 3D49在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球为估计白球个数，小何向其中投入 8 个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，则估计袋中

3、大约有白球（ ）A18 个 B28 个 C36 个 D42 个10已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则|a b+c|+|2a+b|=（ ）Aa+bBa2bCabD3a二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分11因式分解：a 26a+9= 12截止 2016 年 4 月 28 日，电影美人鱼的累计票房达到大约 3390000000 元，数据 3390000000 用科学记数法表示为 13如图，若点 A 的坐标为 ，则 sin1= 14将一矩形纸条按如图所示折叠，若1=40 ，则2= 15如图，ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，点 E 在 BC 的延长线上

4、，且 CE=1，E=30 ，则 BC= 16如图 14，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S 2，S 3，S 10，则S1+S2+S3+S10= 三解答题（本大题共 9 小题，共 92 题）17计算： 18先化简再求值： ，其中 x=2+ 19解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来20如图，AB 是 O 的直径，C 是O 上一点，ACD=B，ADCD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 AD=1，OA=2 ，求 AC 的值21某中学需在短跑、长跑、跳远

5、、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参加复选的学生总人数为 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 ；（2）补全条形统计图，并标明数据；（3）求在跳高项目中男生被选中的概率22图 1 是某公交公司 1 路车从起点站 A 站途经 B 站和 C 站，最终到达终点站 D 站的格点站路线图 （88 的格点图是由边长为 1 的小正方形组成）（1）求 1 路车从 A 站到 D 站所走的路程（精确到 0.1） ；（2）在图 2、图 3 和图 4 的网格中各画出一种从 A 站到 D 站的路线图 （要求：与图 1 路线

6、不同、路程相同；途中必须经过两个格点站； 所画路线图不重复）23某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 30 天的时间销售一种成本为 10 元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第 x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：销售量 n（件） n=50x当 1x20 时，m=20+ x销售单价 m（元/件）当 21x30 时，m=10+（1）请计算第几天该商品单价为 25 元/件？（2）求网店销售该商品 30 天里所获利 润 y（元）关于 x（天）的函数关系式；（3）这 30 天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？24已知ABC 是等腰三角形，AB=AC （1）特

7、殊情形：如图 1，当 DEBC 时，有 DB EC （填“” ， “”或“ =”）（2）发现探究：若将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 （0 180）到图 2 位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 由（3）拓展运用：如图 3，P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，ACB=90，且 PB=1，PC=2，PA=3，求BPC 的度数25已知抛物线 y= +bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） ，B（1， 0） （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 P 在抛物线上，连接 PC，PB，若 PBC 是以 BC 为直角边的直角三角

8、形，求点 P 的坐标；（4）已知点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，是否存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由2016 年福建省龙岩市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分1 （2） 3=（ ）A6B6C8D8【考点】有理数的乘方【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果【解答】解：原式= 8，故选 C2下列四个实数中最小的是（ ）A B2C D1.4【考点】实数大小比较【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此

9、判断即可【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得1.4 2，四个实数中最小的是 1.4故选：D3与 是同类二次根式的是（ ）A B C D【考点】同类二次根式【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式【解答】解：A、 与 的被开方数不同，故 A 错误；B、 与 的被开方数不同，故 B 错误；C、 与 的被开方数相同，故 C 正确；D、 与 的被开方数不同，故 D 错误；故选：C4下列命题是假 命题的是（ ）A若|a|=|b| ，则 a=bB两直线平行，同位角相等C对顶角相等D若 b24ac0，则方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个不等的实数根【考点】命题与定理

10、【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、若|a|=|b|，则 ab=0 或 a+b=0，故 A 错误；B、两直线平行，同位角相等，故 B 正确；C、对顶角相等，故 C 正确；D、若 b24ac0，则方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个不等的实数根，故 D 正确；故选：A5如图所示正三棱柱的主视图是（ ）A B C D【考点】简单几何体的三视图【分析】找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选 B6在 2016 年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数分别为：1

11、58，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）A平均数为 160B中位数为 158C众数为 158D方差为 20.3【考点】方差；算术平均数；中位数；众数【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误【解答】解：A、平均数为5=160，正确，故本选项不符合题意；B、按照从小到大的顺序排列为 154，158，158，160，170，位于中间位置的数为 158，故中位数为 158，正确，故本选项不符合题意；C、数据 158 出现了 2 次，次数最多，故众数为 158，正确，故本选项不符合题意；D、这组数据的方差是 S2= 2+22+2+2=28.8，

12、错误，故本选项符合题意故选 D7反比例函数 y= 的图象上有 P1（x 1，2） ，P 2（x 2，3 ）两点，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）Ax 1x 2Bx 1=x2Cx 1x 2D不确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案【解答】解：反比例函数 y= 的图象上有 P1（x 1，2） ，P 2（x 2，3）两点，每个分支上 y 随 x 的增大而增大，23，x1 x2，故选：A8如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2 ，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（ ）A1B2C 3D4【考点】

13、菱形的性质；轴对称-最短路线问题【分析】作 F 点关于 BD 的对称点 F，则 PF=PF，由两点之间线段最短可知当 E、P、F 在一条直线上时，EP+FP 有最小值，然后求得 EF的长度即可【解答】解：作 F 点关于 BD 的对称点 F，则 PF=PF，连接 EF交 BD 于点 PEP+FP=EP+FP由两点之间线段最短可知：当 E、P、F在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时 EP+FP=EP+FP=EF四边形 ABCD 为菱形，周长为 12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四边形 AEFD 是平行四边形，EF=AD=3EP+FP 的最小值为

14、3故选：C9在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球为估计白球个数，小何向其中投入 8 个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）A18 个 B28 个 C36 个 D42 个【考点】用样本估计总体【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数【解答】解：由题意可得，白球的个数大约为：8 828，故选 B10已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则|a b+c|+|2a+b|=（ ）Aa+bBa2bCabD3a【考点】二次函数图象

15、与系数的关系【分析】观察函数图象找出“a0，c=0，2a b0” ，由此即可得出|a b+c|=ab，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论【解答】解：观察函数图象，发现：图象过原点，c=0；抛物线开口向上，a0；抛物线的对称轴 0 1， 2ab0|ab+c|=ab，|2a+b|=2a+b，|ab+c|+|2a+b|=ab+2a+b=3a故选 D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分11因式分解：a 26a+9= （ a3）2 【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题是一个二次三项式，且 a2 和 9 分别是 a 和 3 的平方，6a 是它们二者积的两倍

16、，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解【解答】解：a 26a+9=（a 3） 212截止 2016 年 4 月 28 日，电影美人鱼的累计票房达到大约 3 390000000 元，数据 3390000000 用科学记数法表示为 3.39 109 【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学 记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的 位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：3390000000=3.3910 9，故答

17、案为：3.39 10913如图，若点 A 的坐标为 ，则 sin1= fracsqrt32 【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质【分析】根据勾股定理，可得 OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案【解答】解：如图， ，由勾股定理，得OA= =2sin1= = ，故答案为： 14将一矩形纸条按如图所示折叠，若1=40 ，则2= 110 【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质得到3= 1=40，2+ 4=180，由折叠的性质得到4= 5，即可得到结论【解答】解：AB CD，3=1=40，2+4=180 ，4=5，4=5= =70，2=110，故答案为：11015如图，ABC 是等边三

18、角形，BD 平分ABC，点 E 在 BC 的延长线上，且 CE=1，E=30 ，则 BC= 2 【考点】等边三角形的性质【分析】先证明 BC=2CD，证明CDE 是等腰三角形即可解决问题【解答】解：ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60，BA=BC，BD 平分ABC，DBC=E=30，BDAC，BDC=90，BC=2DC，ACB=E+CDE，CDE=E=30，CD=CE=1，BC=2CD=2，故答案为 216如图 14，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S

19、 2，S 3，S 10，则S1+S2+S3+S10= 【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类【分析】 （1）图 1，作辅助线构建正方形 OECF，设圆 O 的半径为 r，根据切线长定理表示出 AD 和 BD 的长，利用 AD+BD=5 列方程求出半径 r= （a、b 是直角边，c 为斜边） ，运用圆面积公式=r 2 求出面积= ；（2）图 2，先求斜边上的高 CD 的长，再由勾股定理求出 AD 和 BD，利用半径 r= （a 、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=；（3）图 3，继续求高 DM 和 CM、BM，利用半径 r= （a、b 是直角边，c 为斜

20、边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=；综上所述：发现 S1+S2+S3+S10=【解答】解：（1）图 1，过点 O 做 OEAC，OF BC，垂足为 E、F，则 OEC=OFC=90C=90四边形 OECF 为矩形OE=OF矩形 OECF 为正方形设圆 O 的半径为 r，则 OE=OF=r，AD=AE=3 r，BD=4 r3r+4+r=5，r= =1S1=12=（2）图 2，由 SABC= 34= 5CDCD=由勾股定理得：AD= = ，BD=5 =由（1）得：O 的半径= = ， E 的半径= =S1+S2= + =（3）图 3，由 SCDB= = 4MDMD=由勾股定理得：CM=

21、= ，MB=4 =由（1）得：O 的半径= ，： E 的半径= = ，： F 的半径= =S1+S2+S3= + + =图 4 中的 S1+S2+S3+S4=则 S1+S2+ S3+S10=故答案为：三解答题（本大题共 9 小题，共 92 题）17计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算即可得到结果【解答】解：原式=2 +3 3+1=118先化简再求值： ，其中 x=2+ 【考点】分式的化简求值【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式乘法运算法则求出答案【解答】解：原式=x+2，当 时，原式

22、=2+ +2=4+ 19解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集【解答】解：由得 x4，由得 x1，原不等式组无解，20如图，AB 是 O 的直径，C 是O 上一点，ACD=B，ADCD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 AD=1，OA=2 ，求 AC 的值【考点】切线的判定【分析】 （1）连接 OC，由圆周角定理得出ACB=90，由等腰三角形的性质得出 B =BCO，证出OCD=OCA+BCO=ACB=90，即可得出结论；（2）证明ACBADC，得出 AC2=ADAB

23、，即可 得出结果【解答】 （1）证明：连接 OC，如图所示：AB 是O 直径，ACB=90，OB=OC，B=BCO，又ACD=B，OCD=OCA+ACD=OCA+BCO=ACB=90，即 OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：AD CD，ADC=ACB=90，又ACD=B，ACBADC，AC2=ADAB=14=4，AC=221某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参加复选的学生总人数为 25 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 72 ；（2）补全条形统计图，并标明数据；（

24、3）求在跳高项目中男生被选中的概率【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图【分析】 （1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参加复选的学生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以 360即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为 25 求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可【解答】解：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：参 加复选的学生总人数为：（ 5+3） 32%=25（人） ；扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度

25、数为： 360=72故答案为：25，72；（2）长跑项目的男生人数为：2512%2=1，跳高项目的女生人数为：253 212534=5如下图：（3）复选中的跳高总人数为 9 人，跳高项目中的男生共有 4 人，跳高项目中男生被选中的概率= 22图 1 是某公交公司 1 路车从起点站 A 站途经 B 站和 C 站，最终到达终点站 D 站的格点站路线图 （88 的格点图是由边长为 1 的小正方形组成）（1）求 1 路车从 A 站到 D 站所走的路程（精确到 0.1） ；（2）在图 2、图 3 和图 4 的网格中各画出一种从 A 站到 D 站的路线图 （要求：与图 1 路线不同、路程相同；途中必须经过

26、两个格点站； 所画路线图不重复）【考点】作图应用与设计作图；勾股 定理的应用【分析】 （1）先根据网格求得 AB、BC、CD 三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可【解答】解：（1）根据图 1 可得： ， ，CD=3A 站到 B 站的路程 = 9.7；（2）从 A 站到 D 站的路线图如下：23某网店尝试用单价随天数 而变化的销售模式销售一种商品，利用 30 天的时间销售一种成本为 10 元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第 x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：销售量 n（件） n=50x当 1x20 时，m=2

27、0+ x销售单价 m（元/件）当 21x30 时，m=10+（1）请计算第几天该商品单价为 25 元/件？（2）求网店销售该商品 30 天里所获利润 y（元）关于 x（天）的函数关系式；（3）这 30 天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用【分析】 （1）分两种情形分别代入解方程即可（2）分两种情形写出所获利润 y（元）关于 x（天）的函数关系式即可（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可【解 答】解：（1）分两种情况当 1x20 时，将 m=25 代入 m=20+ x，解得 x=10当 21x30 时，25=10+ ，解得 x=28经检验 x=28 是方程的解x=

28、28答：第 10 天或第 28 天时该商品为 25 元/件（2）分两种情况当 1x20 时，y=（m 10）n= （20+ x10） （50x）= x2+15x+500，当 21x30 时，y=（10+ 10） （50x）=综上所述：（3）当 1x20 时由 y= x2+15x+500= （x15） 2+ ，a= 0，当 x=15 时，y 最大值= ，当 21x30 时由 y= 420，可知 y 随 x 的增大而减小当 x=21 时，y 最大值= 420=580 元第 15 天时获得利润最大，最大利润为 612.5 元24已知ABC 是等腰三角形，AB=AC （1）特殊情形：如图 1，当 DE

29、BC 时，有 DB = EC （填“”， “”或“ =”）（2）发现探究：若将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 （0 180 ）到图 2 位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）拓展运用：如图 3，P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，ACB=90，且 PB=1，PC=2，PA=3，求BPC 的度数【考点】几何变换综合题【分析】 （1）由 DEBC，得到 ，结合 AB=AC，得到 DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出DAB EAC，得到 DB=CE；（3）由旋转构造出CPBCEA，再用勾股定理计算出 PE，然后用勾股定理逆定理判断出PEA 是直

30、角三角形，在简单计算即可【解答】解：（1）DEBC， ，AB=AC，DB=EC，故答案为=，（2）成立证明：由易知 AD=AE，由旋转性质可知DAB= EAC，在DAB 和 EAC 中得DABEAC，DB=CE，（3）如图，将CPB 绕点 C 旋转 90得CEA，连接 PE，CPBCEA，CE=CP=2，AE=BP=1，PCE=90，CEP=CPE=45，在 RtPCE 中，由 勾股定理可得， PE=2 ，在PEA 中，PE 2=（2 ） 2=8，AE 2=12=1，PA 2=32=9，PE2+AE2=AP2，PEA 是直角三角形PEA=90，CEA=135，又CPB CEABPC=CEA=1

31、3525已知抛物线 y= +bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） ，B（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2 ）已知点 P 在抛物线上，连接 PC，PB ，若PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；（4）已知点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，是否存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）因为抛物线经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，所以可以设抛物线为 y= （x+4） （x1） ，展开即可解决问题（2）先证明ACB=90 ，

32、点 A 就是所求的点 P，求出直线 AC 解析式，再求出过点 B 平行 AC 的直线的解析式，利用方程组即可解决问题（3）分 AC 为平行四边形的边，AC 为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题【解答】解：（1）抛物线的解析式为 y= （x+4） （x1） ，即 y= x2 x+2；（2）存在当 x=0，y x2 x+2=2，则 C（0，2） ，OC=2，A（ 4， 0） ，B（1，0） ，OA=4，OB=1，AB=5 ，当PCB=90时，AC2=42+22=20，BC 2=22+12=5，AB 2=52=25AC2+BC2=AB2ACB 是直角三角形， ACB=90，当点 P 与点 A

33、 重合时，PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，此时 P 点坐标为（4，0） ；当PBC=90时，PB AC，如图 1，设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，把 A（4，0） ，C （0，2）代入得 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+2，BPAC，直线 BP 的解析式为 y= x+p，把 B（1，0）代入得 +p=0，解得 p= ，直线 BP 的解析式为 y= x ，解方程组 得 或 ，此时 P 点坐标为（5， 3） ；综上所述，满足条件的 P 点坐标为（4，0） ，P 2（5， 3） ；（3）存在点 E，设点 E 坐标为（m，0） ，F （n， n2 n+2）当 AC 为边，CF 1AE1，易知 CF1=3，此时 E1 坐标（7，0） ，当 AC 为边时，ACEF，易知点 F 纵坐标为2， n2 n+2=2，解得 n= ，得到 F2（ ， 2） ，F 3（ ，2） ，根据中点坐标公式得到： = 或 = ，解得 m= 或 ，此时 E2（ ，0） ，E 3（ ，0） ，当 AC 为对角线时，AE 4=CF1=3，此时 E4（1，0） ，综上所述满足条件的点 E 为（7，0）或（ 1，0）或（ ，2）或（ ，2）