2019山东省潍坊市中考数学第二轮复习专题突破专题五:二次函数综合题(含答案解析)
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1、专题类型突破专题五 二次函数综合题类型一 线段、周长问题(2018宜宾中考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线 y x 与抛物线交于 A,B 两点,直14线 l 为 y1.(1)求抛物线的解析式;(2)在 y 轴上是否存在一点 M,使点 M 到点 A,B 的距离相等?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在 l 上是否存在一点 P,使 PAPB 取得最小值?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)设点 S 是直线 l 的一点,是否存在点 S,使的 SBSA 最大,若存在,求出点 S 的坐标【分析】
2、(1)设顶点式 ya(x2) 2,将点(4,1)代入即可求 a 的值,得出抛物线的解析式;(2)联立直线 AB 与抛物线解析式得到点 A 与点 B 的坐标,设出点 M 的坐标为(0,m),利用等式 MA2MB 2,求出点 M 的坐标;(3)利用最短线段思想,作点 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB交直线 l于点 P,此时 PAPB 取得最小值求出直线 AB解析式后,联立直线 l 得出点 P 坐标;(4)由最短线段思想可知,当 S,A,B 三点共线时,SBSA 取得最大值【自主解答】1(2018广西中考)如图,抛物线 yax 25axc 与坐标轴分别交于点A,C,E 三点,其中 A(3,
3、0),C(0,4),点 B 在 x 轴上,ACBC,过点 B 作BDx 轴交抛物线于点 D,点 M,N 分别是线段 CO,BC 上的动点,且 CMBN,连接 MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标;(2)当CMN 是直角三角形 时,求点 M 的坐标;(3)试求出 AMAN 的最小值来源:学+科+网 Z+X+X+K类型二 图形面积问题(2018菏泽中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax 2bx5 交y 轴于点 A,交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0),过点 A 作 ADx 轴交抛物线于点 D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点 E 是抛物线上一点,且点 E 关
4、于 x 轴的对称点在直线 AD 上,求EAD 的面积;(3)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点,当点 P 运动到某一位置时,ABP 的面积最大,求出此时点 P 的坐标和ABP 的最大面积【分析】 (1)根据题意可以求得 a,b 的值,从而可以求得抛物线的解析式;(2)根据题意可以求得 AD 的长和点 E 到 AD 的距离,从而可以求得EAD 的面积;(3)根据题意可以求得直线 AB 的函数解析式,再根据题意可以求得ABP 的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题【自主解答】2如图,已知抛物线 y x2bxc 经过ABC 的三个顶点,其中点 A(0,1) ,13点 B(9,10),A
5、Cx 轴,点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式;(2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB,AC 分别交于点 E,F,当四边形AECP 的面积最大时,求点 P 的坐标;(3)当点 P 为抛物线的顶点时,在直线 AC 上是否存在点 Q,使得以 C,P,Q 为顶点的三角形与ABC 相似,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由类型三 抛物线上架构的三角形问题(2018怀化中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax 22xc 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,点 D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线
6、AC 的解析式;(2)请在 y 轴上找一点 M,使BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点 P,使以点 A,P,C 为顶点,AC 为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;在数轴上是否存在点 M,使得ACM 是以 AC 为底的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)设交点式 ya(x1)(x3),展开得到2a2,然后求出 a 即可得到抛物线解析式;再确定 C(0,3),然后利用待定系数法求直线 AC 的解析式;(2)利用二次函数的性质确定 D 的坐标为(1,4),
7、作 B 点关于 y 轴的对称点B,连接 DB交 y 轴于点 M,利用两点之间线段最短可判断此时 MBMD 的值最小,则此时BDM 的周长最小,然后求出直线 DB的解析式即可得到点 M 的坐标;(3)过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线 PC 的解析式,当过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另 一点 P 时,利用同样的方法可求出此时 P 点坐标因为ACM 是以 AC 为底的等腰三角形,得出 MA2MB 2,然后分类讨论点 M 在x 轴、y 轴时的两种情况,进而求出点 M 的坐标即可【自主解答】是否存在一点,使之与另外两个定点构成等腰三角形(直
8、角三角形)的问题:首先弄清题意(如等腰三角形:若某边为底边,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况);其次借助于动点所在图形的解析式,表示出动点的坐标;然后按分类的情况,利用几何知识建立方程(组),求出动点坐标,注意要根据题意舍去不符合题意的点3(2018临沂中考)如图,在平面直角坐标系中,ACB90,OC2O B, tanABC2,点 B 的坐标为(1,0),抛物线 yx 2bxc 经过A,B 两点(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D,交线段AB 于点 E,使 PE DE.12
9、求点 P 的坐标;在直线 PD 上是否存在点 M,使ABM 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点 M 的坐标;若不存在,请说明理由类型四 抛物线上架构的四边形问题(2018齐齐哈尔中考)综合与探究如图 1 所示,直线 yxc 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 C,抛物线 yx 2bxc 经过点 A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点 E 在抛物线的对称轴上,求 CEOE 的最小值;(3)如图 2 所示,点 M 是线段 OA 上的一个动点,过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P,N.若以 C,P,N 为顶点的三角形与APM 相似,则CPN 的
10、面积为 ;若点 P 恰好是线段 MN 的中点,点 F 是直线 AC 上一个动点,在坐标平面内是否存在点 D, 使以点 D,F,P,M 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式;(2)取点 C 关于抛物线的对称轴直线 l 的对称点 C,由两点之间线段最短,最小值可得;(3)由已知,注意相似三角形的分类讨论设出 M 坐标,求点 P 坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN 为等腰三角形的情况【自主解答】解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在,然后推理得出结论,进而
11、判断结论是否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时,常常要运用分类讨论和数形结合思想,分别画出符合要求的图形,找到所有的答案,分类时要注意不重不漏4(2017天水中考)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线yax 22ax3a(a0)与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),经过点 A的直线 l:ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且CD4AC.(1)求 A,B 两点的坐标及抛物线的对称轴;(2)求直线 l 的函数解析式(其中 k,b 用含 a 的式子表示);(3)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE 的面积
12、的最大值为 ,求 a54的值;(4)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A,D,P,Q 为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由参考答案类型一【例 1】 (1)抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为 ya(x2) 2.该抛物线经过点(4,1),14a,解得 a ,14抛物线的解析式为 y (x2) 2 x2x1.14 14(2)存在联立 解得 或y 14x,y 14x2 x 1, ) x1 1,y1 14) x2 4,y2 1, )点 A 的坐标为(1, ),点 B 的坐标为(4,1)14设点 M 的坐标为(0,m),MA 2(
13、01) 2(m )2,14MB2(04) 2(m1) 2.点 M 到 A,B 的距离相等,MA 2MB 2,即(01) 2(m )2(04) 2(m1) 2,14m ,点 M 的坐标为(0, )858 858(3)存在如图,作点 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB交直线 l 于点 P,此时PAPB 取得最小值点 B(4,1),直线 l 为 y1,点 B的坐标为(4,3)设直线 AB的解析式为 ykxb(k0),将 A(1, ),B(4,3)代入 ykxb 得14解得k b 14,4k b 3, ) k 1312,b 43, )直线 AB的解析式为 y x .1312 43当 y1 时,
14、有 x 1,1312 43解得 x ,2813点 P 的坐标为( ,1)2813(4)存在点 S 和点 A,B 在同一条直线上时,SBSA 最大点 S 在直线 l 上,设点 S 的坐标为(n,1),代入 y x 得 n4,14点 S 的坐标为(4,1)变式训练1解:(1)把 A(3,0),C(0,4)代入 yax 25axc 得 9a 15a c 0,c 4, )解得 a 16,c 4, )抛物线解析式为 y x2 x4.16 56ACBC,COAB,OBOA3,B(3,0)BDx 轴交抛物线于点 D,D 点的横坐标为 3,当 x3 时,y 9 345,16 56D 点坐标为(3,5)(2)在
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