广西南宁市2016年中考数学试卷及答案解析

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1、第 1 页（共 25 页）2016 年广西南宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）12 的相反数是（ ）A2 B0 C 2 D42把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）A B C D3据南国早报报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高，其中数据 332000 用科学记数法表示为（ ）A0.33210 6B3.32 105C3.3210 4D33.210 44已知正比例函数 y=3x 的图象经过点（1，m ），则 m 的值为（ ）A B3 C D35某校规定学生的学期数学成绩满分为 100

2、分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分 C84 分 D86 分6如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米， B=36，则中柱 AD（D 为底边中点）的长是（ ）A5sin36 米 B5cos36 米 C5tan36米 D10tan36米7下列运算正确的是（ ）Aa 2a=a Bax+ay=axy C m2m4=m6D（y 3） 2=y58下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D9如图，点 A，B，C，P 在

3、O 上，CDOA，CE OB，垂足分别为 D，E，DCE=40，则 P 的度数为（ ）A140 B 70 C60 D40 10超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折” ，第二次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元，则得到方程（ ）A0.8x10=90 B0.08x10=90 C 900.8x=10 D x 0.8x10=9011有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S 2，则 S1：S 2 等于（ ）A1： B1：2 C2：3 D4：912二次函数 y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b

4、 ）x+c=0（ a0）的两根之和（ ）A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）第 3 页（共 25 页）13若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 14如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，1=50，则A= 15分解因式：a 29= 16如图，在 44 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016南宁）如图所示，反比例函数 y= （k0，x0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D若矩形OABC 的面积为 8，则 k 的值为 18观察下列等式：在上述数字宝塔中，从

5、上往下数，2016 在第 层三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19计算：| 2|+4cos30（ ） 3+ 20解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来21如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（4，0），C（4，4）（1）请画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的 A1B1C1；第 4 页（共 25 页）（2）以点 O 为位似中心，将 ABC 缩小为原来的 ，得到A 2B2C2，请在 y 轴右侧画出A 2B2C2，并求出A 2C2B2 的正弦值22在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（2

6、016南宁）如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E（1）求证：AC 是 O 的切线；（2）若 OB=10，CD=8 ，求 BE 的长24在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是乙队的 m 倍（1 m2），若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a

7、 关于 m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？25已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4， ABC=60，EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且EAF=60 （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF；（3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离第 5 页（共 25 页）26如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x2 交于

8、B，C 两点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页（共 25 页）2016 年广西南宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）12 的相反数是（ ）A2 B0 C 2 D4【考点】相反数【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答【解答】解：2 的相反数是 2故选 C【点评】本题考查了相反数的定义，是

9、基础题，熟记概念是解题的关键2把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）A B C D【考点】平行投影【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形故选 A【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定3据南国早报报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高，其中数据 332000 用科学记数法表示为（ ）A0.33210 6B3.32 105C3.3210 4D33.210

10、4第 7 页（共 25 页）【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 332000 用科学记数法表示为：3.3210 5故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4已知正比例函数 y=3x 的图象经过点（1，m ），则 m 的值为（ ）

11、A B3 C D3【考点】一次函数图象上点的坐标特征【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出 m 的值【解答】解：把点（1，m）代入 y=3x，可得：m=3 ，故选 B【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数 m，比较简单5某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分 C84 分 D86 分【考点】加权平均数【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案【解答】解：由加权平均数的公式可知 = = =86

12、，故选 D【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 = 是解题的关键第 8 页（共 25 页）6如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米， B=36，则中柱 AD（D 为底边中点）的长是（ ）A5sin36 米 B5cos36 米 C5tan36米 D10tan36米【考点】解直角三角形的应用【分析】根据等腰三角形的性质得到 DC=BD=5 米，在 RtABD 中，利用 B 的正切进行计算即可得到AD 的长度【解答】解：AB=AC，AD BC，BC=10 米，DC=BD=5 米，在 RtADC 中， B=36，tan36= ，即 AD=BDtan36=5t

13、an36（米）故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题7下列运算正确的是（ ）Aa 2a=a Bax+ay=axy C m2m4=m6D（y 3） 2=y5【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案【解答】解：A、a 2 和 a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、ax 和 ay 不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、m 2m4=m6，计算正确，故本选项正确；D、（y 3） 2=y6y5，故本选项错误故

14、选 C【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则第 9 页（共 25 页）8下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）A B C D【考点】函数的概念【分析】根据函数的意义求解即可求出答案【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故 D 正确故选 D【点评】主要考查了函数的定义注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点9如图，点 A，B，C，P 在O 上，CDOA，CE OB，垂足分别为 D，E，DCE=40，则

15、P 的度数为（ ）A140 B 70 C60 D40 【考点】圆周角定理【分析】先根据四边形内角和定理求出DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论【解答】解：CD OA，CEOB，垂足分别为 D，E， DCE=40，DOE=18040=140，P= DOE=70故选 B【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键第 10 页（共 25 页）10超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折” ，第二次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元，则得到方程（ ）A0.8x10=90 B0.0

16、8x10=90 C 900.8x=10 D x 0.8x10=90【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设某种书包原价每个 x 元，根据题意列出方程解答即可【解答】解：设某种书包原价每个 x 元，可得：0.8x10=90 ，故选 A【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价11有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S 2，则 S1：S 2 等于（ ）A1： B1：2 C2：3 D4：9【考点】正方形的性质【分析】设小正方形的边长为 x，再根据相似的性质求出 S1、S 2 与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案【解答】解：设小正方

17、形的边长为 x，根据图形可得： = ， = ， = ，S1= S 正方形 ABCD，S1= x2， = ，第 11 页（共 25 页） = ，S2= S 正方形 ABCD，S2= x2，S1： S2= x2： x2=4：9；故选 D【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出 S1、S 2 与正方形面积的关系12二次函数 y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b ）x+c=0（ a0）的两根之和（ ）A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定【考点】抛物线与 x 轴的交点【

18、分析】设 ax2+bx+c=0（a 0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知 x1+x20，a0，设方程ax2+（b ）x+c=0 （a 0）的两根为 a，b 再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设 ax2+bx+c=0（a 0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知 x1+x20，a0， 0 第 12 页（共 25 页）设方程 ax2+（b ）x+c=0 （a 0）的两根为 a，b，则 a+b= = + ，a0， 0，a+b 0故选 C【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键二、填空题（本大题共 6 小

19、题，每小题 3 分，共 18 分）13若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x1 【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值范围【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x1 0，x1故答案为：x1 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可14如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，1=50，则A= 50 【考点】平行线的性质【分析】根据两直线平行，同位角相等可得1= A【解答】解：AB CD，A=1，1=50，A=50，故答案为 50第 13 页（共 25 页）【点评】本题主要考查了平行线

20、的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等15分解因式：a 29= （a+3 ）（a 3） 【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案【解答】解：a 29=（a+3）（ a3）故答案为：（a+3）（a 3）【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键16如图，在 44 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016南宁）如图所示，反比例函数 y= （k0，x0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D若矩形OABC 的面积为 8，则 k 的值为 2 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【

21、分析】过 D 作 DEOA 于 E，设 D（m ， ），于是得到 OA=2m，OC= ，根据矩形的面积列方程即可得到结论【解答】解：过 D 作 DEOA 于 E，设 D（m， ），OE=mDE= ，点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点，OA=2m，OC= ，矩形 OABC 的面积为 8，OAOC=2m =8，第 14 页（共 25 页）k=2，故答案为：2【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键18观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016 在第 44 层【考点】规律型：数字的变化类【分析】先按图示规律计算出每一层的

22、第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道 2016 介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：44 2201645 2，则 2016 在第 44 层【解答】解：第一层：第一个数为 12=1，最后一个数为 221=3，第二层：第一个数为 22=4，最后一个数为 231=8，第三层：第一个数为 32=9，最后一个数为 241=15，442=1936，45 2=2025，又 193620162025，在上述数字宝塔中，从上往下数，2016 在第 44 层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或

23、奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论第 15 页（共 25 页）三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19计算：| 2|+4cos30（ ） 3+ 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案【解答】解：原式=2+4 8+2=4 6【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键20解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来【考点】解一元一次不等式

24、组；在数轴上表示不等式的解集【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集【解答】解： ，解得 x1，解得 x3，不等式组的解集是：3x 1【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到21如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（4，0），C（4，4）（1）请画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的 A1B1C1；第 16 页（共 25 页）（2）以点 O 为位似中心，将 ABC 缩小为原来的

25、，得到A 2B2C2，请在 y 轴右侧画出A 2B2C2，并求出A 2C2B2 的正弦值【考点】作图-位似变换；作图 -平移变换【分析】（1）将 A、B、C 三点分别向左平移 6 个单位即可得到的 A1B1C1；（2）连接 OA、OC，分别取 OA、OB、OC 的中点即可画出A 2B2C2，求出直线 AC 与 OB 的交点，求出ACB 的正弦值即可解决问题【解答】解：（1）请画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的 A1B1C1，如图 1 所示，（2）以点 O 为位似中心，将 ABC 缩小为原来的 ，得到A 2B2C2，请在 y 轴右侧画出A 2B2C2，如图2 所示，第 17 页（共 2

26、5 页）A（ 2， 2）， C（4，4），B（4，0），直线 AC 解析式为 y=3x+8，与 x 轴交于点 D（ ，0），CBD=90，CD= = ，sinDCB= = = A2C2B2=ACB，sinA2C2B2=sinDCB= 【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型22在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（2016南宁）如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经

27、过点 D，交 BC 于点 E（1）求证：AC 是 O 的切线；（2）若 OB=10，CD=8 ，求 BE 的长第 18 页（共 25 页）【考点】切线的判定【专题】计算题；与圆有关的位置关系【分析】（1）连接 OD，由 BD 为角平分线得到一对角相等，根据 OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出 OD 与 BC 平行，利用两直线平行同位角相等得到ODA 为直径，即可得证；（2）由 OD 与 BC 平行得到三角形 OAD 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 OA 的长，进而确定出AB 的长，连接 EF，过 O 作 OG 垂直于 BC，利用勾股定理求出

28、BG 的长，由 BG+GC 求出 BC 的长，再由三角形 BEF 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 BE 的长即可【解答】（1）证明：连接 OD，BD 为ABC 平分线，1=2，OB=OD，1=3，2=3，ODBC，C=90，ODA=90，则 AC 为圆 O 的切线；（2）解：过 O 作 OGBC，四边形 ODCG 为矩形，GC=OD=OB=10，OG=CD=8 ，在 RtOBG 中，利用勾股定理得：BG=6，BC=BG+GC=6+10=16，ODBC，AODABC， = ，即 = ，解得：OA= ，AB= +10= ，连接 EF，第 19 页（共 25 页）BF 为圆的直径，BEF=

29、90，BEF=C=90，EFAC， = ，即 = ，解得：BE=12【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键24在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是乙队的 m 倍（1 m2），若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙

30、队的最大工作效率是原来的几倍？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据题意得（ + ）40= ，即可得到 a=60m+60，根据一次函数的性质得到 = ，即可得到结论【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天，根据题意得 （30+15）+ 15= ，解得：x=450，经检验 x=450 是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要 450 天；第 20 页（共 25 页）（2）根据题意得（ + ）40= ，a=60m+60，600 ，a 随 m 的增大增大，当 m=1 时， 最大， = ， =7.5 倍

31、，答：乙队的最大工作效率是原来的 7.5 倍【点评】此题考查了一次函数的实际应用分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用25已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4， ABC=60，EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且EAF=60 （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系；（2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF；（3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离

32、【考点】四边形综合题【分析】（1）结论 AE=EF=AF只要证明 AE=AF 即可证明AEF 是等边三角形（2）欲证明 BE=CF，只要证明 BAECAF 即可（3）过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 F 作 FHEC 于点 H，根据 FH=CFcos30，因为 CF=BE，只要求出 BE 即可解决问题【解答】（1）解：结论 AE=EF=AF理由：如图 1 中，连接 AC，四边形 ABCD 是菱形， B=60，第 21 页（共 25 页）AB=BC=CD=AD，B= D=60，ABC，ADC 是等边三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AE BC，EAF=60，CA

33、F=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF 是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：如图 2 中，BAC= EAF=60，BAE=CAE，在BAE 和CAF 中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 F 作 FHEC 于点 H，EAB=15， ABC=60，AEB=45，在 RTAGB 中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2 ，在 RTAEG 中，AEG= EAG=45，AG=GE=2 ，EB=EGBG=2 2，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=2 2，AEB=AFC=45，EAF=60，AE=AF，第 22 页（共 25 页

34、）AEF 是等边三角形，AEF=AFE=60AEB=45， AEF=60，CEF=AEFAEB=15，在 RTEFH 中，CEF=15，EFH=75，AFE=60，AFH=EFHAFE=15，AFC=45，CFH= AFCAFH=30，在 RTCHF 中，CFH=30，CF=2 2，FH=CFcos30=（2 2） =3 点 F 到 BC 的距离为 3 【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题第 23 页（共 25 页）26如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1）

35、，且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得 C点坐标；（2）分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点，结合 A、B 、C 三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出 N 点坐标，可表

36、示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当MON 和ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得 N 点的坐标【解答】解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为 y=a（x 1） 2+1，又抛物线过原点，0=a（ 01） 2+1，解得 a=1，抛物线解析式为 y=（x1） 2+1，即 y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 或 ，B（2，0），C（1，3）；第 24 页（共 25 页）（2）如图，分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点，则 AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3 ，EC=3，ABO=CBO=

37、45，即ABC=90，ABC 是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0），则 M（x，x 2+2x），ON=|x|，MN=| x2+2x|，由（2）在 RtABD 和 RtCEB 中，可分别求得 AB= ，BC=3 ，MNx 轴于点 NABC=MNO=90，当 ABC 和MNO 相似时有 = 或 = ，当 = 时，则有 = ，即|x|x+2|= |x|，当 x=0 时 M、O、N 不能构成三角形，x0，|x+2|= ，即x+2= ，解得 x= 或 x= ，此时 N 点坐标为（ ，0）或（ ，0）；当 = 时，则有 = ，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2= 3，解得 x=5 或 x=1，此时 N 点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（5，0）第 25 页（共 25 页）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出 N、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中