内蒙古呼和浩特市2016年中考数学试卷及答案解析

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1、2016 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1互为相反数的两个数的和为（ ）A0 B1 C 1 D22将数字“6” 旋转 180，得到数字 “9”，将数字“9”旋转 180，得到数字“ 6”，现将数字“ 69”旋转 180，得到的数字是（ ）A96 B69 C66 D993下列说法正确的是（ ）A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件B已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次C抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取D检测某城市的空气质量

2、，采用抽样调查法4某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10%，5 月份比 4 月份增加了 15%，则 5 月份的产值是（ ）A （a10%） （ a+15%）万元 Ba（190%） （1+85%）万元Ca（ 110%） （1+15%）万元 Da（1 10%+15%）万元5下列运算正确的是（ ）Aa 2+a3=a5B （2a 2） 3（ ） 2=16a4C3a 1= D （2 a2 a） 23a2=4a24a+16如图，ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB=15，AC=9，BC=12 ，阴影部分是ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿

3、化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）A B C D7已知一次函数 y=kx+bx 的图象与 x 轴的正半轴相交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 k，b 的取值情况为（ ）Ak1，b0 Bk1，b0 Ck0，b0 Dk0，b08一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A4 B3 C2+4 D3+49如图，面积为 24 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、FD上若 BF= ，则小正方形的周长为（ ）A B C D10已知 a2，m 22am+2=0， n22an+2=0，则（m 1） 2+（n1） 2 的最小值是（

4、）A6 B3 C 3 D0二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不要解答过程）11如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要图径，通过抽样调查绘制的一个条形统计图若该市约有 230 万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为 万人12已知函数 y= ，当自变量的取值为1x0 或 x2，函数值 y 的取值 13在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名 同学的植树总棵数为 19 的概率 1

5、4在周长为 26 的O 中，CD 是O 的一条弦，AB 是 O 的切线，且 ABCD，若 AB 和 CD 之间的距离为 18，则弦 CD 的长为 15已知平行四边形 ABCD 的顶点 A 在第三象限，对角线 AC 的中点在坐标原点，一边 AB 与 x 轴平行且AB=2，若点 A 的坐标为（a ，b） ，则点 D 的坐标为 16以下四个命题：对应角和面积都相等的两个三角形全等；“若 x2x=0，则 x=0”的逆命题；若关于 x、y 的方程组 有无数多组解，则 a=b=1；将多项式 5xy+3y2x2y 因式分解，其结果为y（2x+1） （ x3） 其中正确的命题的序号为 三、解答题（本题共 9

6、小题，满分 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17计算（1） 计算：（ ） 2+| 2|+3tan30（2）先化简，再求值： ，其中 x= 18在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔 AE 的高度如图，已知塔基顶端 B（和 A、E 共线）与地面 C 处固定的绳索的长 BC 为 80m她先测得BCA=35，然后从 C 点沿 AC 方向走 30m 到达 D 点，又测得塔顶 E 的仰角为 50，求塔高 AE （人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）19已知关于 x 的不等式组 有四个整数解，求实数 a 的取值范围20在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得 12 名选手所

7、用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148（1）计算该样本数据的中位数和平均数；（2）如果一名选手的成绩是 147 分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩如何？21已知，如图，ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形， ACB=ECD=90，D 为 AB 边上一点（1）求证：ACEBCD ；（2）求证：2CD 2=AD2+DB222某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6 天可以完成，共需工程费用 3852

8、00 元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用 5 天，每天的工程费用甲队比乙队多 4000 元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？23已知反比例函数 y= 的图象在二四象限，一次函数为 y=kx+b（b0） ，直线 x=1 与 x 轴交于点 B，与直线 y=kx+b 交于点 A，直线 x=3 与 x 轴交于点 C，与直线 y=kx+b 交于点 D（1）若点 A，D 都在第一象限，求证：b3k；（2）在（1）的条件下，设直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 E 与 y 轴交于点 F，当 = 且OFE 的面积等于时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 kx+b 的解集24如图，已

9、知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC（1）求证：FBC= FCB；（2）已知 FAFD=12，若 AB 是ABC 外接圆的直径，FA=2，求 CD 的长25已知二次函数 y=ax22ax+c（a0）的最大值为 4，且抛物线过点（ ， ） ，点 P（t，0）是 x 轴上的动点，抛物线与 y 轴交点为 C，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式，及顶点 D 的坐标；（2）求|PCPD|的最大值及对应的点 P 的坐标；（3）设 Q（0，2t）是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 y=a|x|22a|x|+c

10、 的图象只有一个公共点，求 t 的取值2016 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1互为相反数的两个数的和为（ ）A0 B1 C 1 D2【考点】相反数【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：互为相反数的两个数的和为：0故选：A2将数字“6” 旋转 180，得到数字 “9”，将数字“9”旋转 180，得到数字“ 6”，现将数字“ 69”旋转 180，得到的数字是（ ）A96 B69 C66 D99【考点】生活中的旋转现象【分析】直接利用中心对称图形的性质

11、结合 69 的特点得出答案【解答】解：现将数字“69” 旋转 180，得到的数字是：69故选：B3下列说法正确的是（ ）A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件B已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次C抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取D检测某城市的空气质量，采用抽样调查法【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案【解答】解：A、 “任意画一个三角形，其内角和为 360”是不可能事件，故 A 错误；B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可能投中 6 次，故 B 错误；C、抽

12、样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故 C 错误；D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故 D 正确；故选：D4某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10%，5 月份比 4 月份增加了 15%，则 5 月份的产值是（ ）A （a10%） （ a+15%）万元 Ba（190%） （1+85%）万元Ca（ 110%） （1+15%）万元 Da（1 10%+15%）万元【考点】列代数式【分析】由题意可得：4 月份的产值为：a（1 10%） ，5 月份的产值为：4 月的产值（1+15%） ，进而得出答案【解答】解：由题意可得：4 月份的产值为：a（1 10%

13、） ，5 月份的产值为：a（110%） （1+15%） ，故选：C5下列运算正确的是（ ）Aa 2+a3=a5B （2a 2） 3（ ） 2=16a4C3a 1= D （2 a2 a） 23a2=4a24a+1【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂【分析】分别利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则和负整指数指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：A、a 2+a3，无法计算，故此选项错误；B、 （2a 2） 3（ ） 2=8a6 =32a4，故此选项错误；C、3a 1= ，故此选项错误；D、 （2 a2 a） 23a2=4a24a+1，正确故选：D6如图，ABC 是一

14、块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB=15，AC=9，BC=12 ，阴影部分是ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）A B C D【考点】几何概率；三角形的内切圆与内心【分析】由 AB=15，BC=12 ，AC=9，得到 AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，于是得到ABC 的内切圆半径= =3，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论【解答】解：AB=15 ，BC=12，AC=9，AB2=BC2+AC2，ABC 为直角三角形，ABC 的内切圆半径= =3，SABC= ACBC= 129=54，S 圆

15、 =9，小鸟落在花圃上的概率= = ，故选 B7已知一次函数 y=kx+bx 的图象与 x 轴的正半轴相交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 k，b 的取值情况为（ ）Ak1，b0 Bk1，b0 Ck0，b0 Dk0，b0【考点】一次函数图象与系数的关系【分析】先将函数解析式整理为 y=（k1）x +b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定 k，b 的取值范围，从而求解【解答】解：一次函数 y=kx+bx 即为 y=（k 1）x+b ，函数值 y 随 x 的增大而增大，k10 ，解得 k1；图象与 x 轴的正半轴相交，b 0故选 A8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

16、（ ）A4 B3 C2+4 D3+4【考点】由三视图判断几何体【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱放在一个长方体的上面组成的一个几何体，半圆柱的直径为 2，长方体的长为 2，宽 为 1，高为 1，故其表面积为：1 2+（+2）2=3+4，故选 D9如图，面积为 24 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、FD上若 BF= ，则小正方形的周长为（ ）A B C D【考点】正方形的性质【分析】先利用勾股定理求出 DF，再根据BEF CFD，得 = 求出 EF 即可解决问题【解答

17、】解：四边形 ABCD 是正方形，面积为 24，BC=CD=2 ， B=C=90，四边形 EFGH 是正方形，E FG=90，EFB+DFC=90， BEF+EFB=90，BEF=DFC，EBF= C=90，BEFCFD， = ，BF= ，CF= ，DF= = ， = ，EF= ，正方形 EFGH 的周长为 故选 C10已知 a2，m 22am+2=0， n22an+2=0，则（m 1） 2+（n1） 2 的最小值是（ ）A6 B3 C 3 D0【考点】根与系数的关系；二次函数的最值【分析】根据已知条件得到 m，n 是关于 x 的方程 x22ax+2=0 的两个根，根据根与系数的关系得到m+n

18、=2a，mn=2，于是得到 4（a ） 23，当 a=2 时， （m 1） 2+（n1） 2 有最小值，代入即可得到结论【解答】解：m 22am+2=0，n 22an+2=0，m，n 是关于 x 的方程 x22ax+2=0 的两个根，m+n=2a，mn=2，（ m1） 2+（n1） 2=m22m+1+n22n+1=（m+n） 22mn2（m+n）+2=4a 244a+2=4（a ） 23，a2，当 a=2 时， （m 1） 2+（n1） 2 有最小值，（ m1） 2+（n1） 2 的最小值=4（a ） 2+3=4（2 ） 23=6，故选 A二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18

19、 分.本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不要解答过程）11如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要图径，通过抽样调查绘制的一个条形统计图若该市约有 230 万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为 151.8 万人【考点】条形统计图；用样本估计总体【分析】利用样本估计总体的思想，用总人数 230 万乘以报纸和手机上网的人数所占样本的百分比即可求解【解答】解：由统计图可知调查的人数为 260+400+150+100+90=1000 人，所以报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的人数所占百分比= 100%=66%，则该市约有 230 万人，则可估计其中将报

20、纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约=23066%=151.8 万，故答案为：151.812已知函数 y= ，当自变量的取值为1x0 或 x2，函数值 y 的取值 y1 或 y0 【考点】反比例函数的性质【分析】画出图形，先计算当 x=1 和 x=2 时的对应点的坐标，并描出这两点，根据图象写出 y 的取值【解答】解：当 x=1 时，y= =1，当 x=2 时，y= ，由图象得：当1x0 时，y 1，当 x2 时， y0，故答案为：y1 或 y013在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机

21、选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为 19 的概率 【考点】列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为 19的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图如图：共有 16 种等可能结果，两名同学的植树总棵数为 19 的结果有 5 种结果，这两名同学的植树总棵数为 19 的概率为 ，故答案为： 14在周长为 26 的O 中，CD 是O 的一条弦，AB 是 O 的切线，且 ABCD，若 AB 和 CD 之间的距离为 18，则弦 CD 的长为 24 【考点】切线的性质【分析】如图，设 AB 与 O 相切于点 F，连接 OF，O

22、D ，延长 FO 交 CD 于点 E，首先证明 OECD，在RTEOD 中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，设 AB 与O 相切于点 F，连接 OF，OD ，延长 FO 交 CD 于点 E2R=26，R=13，OF=OD=13，AB 是O 切线，OFAB，ABCD，EFCD 即 OECD，CE=ED，EF=18，OF=13，OE=5，在 RTOED 中，OED=90，OD=13，OE=5，ED= = =12，CD=2ED=24故答案为 2415已知平行四边形 ABCD 的顶点 A 在第三象限，对角线 AC 的中点在坐标原点，一边 AB 与 x 轴平行且AB=2，若点 A 的坐标为（a

23、 ，b） ，则点 D 的坐标为 （2a，b） （2 a，b） 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质【分析】根据平行四边形的性质得到 CD=AB=2，根据已知条件得到 B（2+a，b） ，或（a 2，b） ， 由于点D 与点 B 关于原点对称，即可得到结论【解答】解：如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=2，A 的坐标为（a ，b） ，AB 与 x 轴平行，B（2+a，b） ， 点 D 与点 B 关于原点对称，D（ 2a，b）如图 2，B（a2，b） ， 点 D 与点 B 关于原点对称，D（ 2a，b） ，综上所述：D（2 a， b） ， （2 a， b） 16以下四个命题：

24、对应角和面积都相等的两个三角形全等；“若 x2x=0， 则 x=0”的逆命题；若关于 x、y 的方程组 有无数多组解，则 a=b=1；将多项式 5xy+3y2x2y 因式分解，其结果为y（2x+1） （ x3） 其中正确的命题的序号为 【考点】命题与定理【分析】正确，根据相似比为 1 的两个三角形全等即可判断正确写出逆命题即可判断正确根据方程组有无数多组解的条件即可判断正确首先提公因式，再利用十字相乘法即可判断【解答】解：正确对应角相等的两个三角形相似，又因为面积相等，所以相似比为 1，所以两个三角形全等，故正确正确理由：“若 x2x=0，则 x=0”的逆命题为 x=0，则 x2x=0，故正确

25、正确理由：关于 x、y 的方程组 有无数多组解， = = ，a=b=1，故正确正确理由：5xy+3y 2x2y=y（2x 25x3）= y（2x+1 ） （x3） ，故正确故答案为三、解答题（本题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17计算（1）计算：（ ） 2+| 2|+3tan30（2）先化简，再求值： ，其中 x= 【考点】分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】 （1）分别根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先算除法，再算加减，最后把 x 的值代

26、入进行计算即可【解答】解：（1）原式=4+2 +3=6 +=6；（2）原式= = += ，当 x= 时，原式= = 18在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔 AE 的高度如图，已知塔基顶端 B（和 A、E 共线）与地面 C 处固定的绳索的长 BC 为 80m她先测得BCA=35，然后从 C 点沿 AC 方向走 30m 到达 D 点，又测得塔顶 E 的仰角为 50，求塔高 AE （人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】根据锐角三角函数关系，得出 cosACB= ，得出 AC 的长即可；利用锐角三角函数关系，得出tanADE= ，求

27、出 AE 即可【解答】解：在 RtABC 中， ACB=35，BC=80m，cosACB= ，AC=80cos35，在 RtADE 中，tan ADE= ，AD=AC+DC=80cos35+30，AE=（80cos35 +30）tan50 答：塔高 AE 为（80cos35+30）tan50m 19已知关于 x 的不等式组 有四个整数解，求实数 a 的取值范围【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组有四个 整数解，即可确定出 a 的范围【解答】解：解不等式组 ，解不等式得：x ，解不等式得：x a+4，不等式组有四个整数解，1a+42，解得：3a

28、220在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得 12 名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148（1）计算该样本数据的中位数和平均数；（2）如果一名选手的成绩是 147 分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩如何？【考点】中位数；算术平均数【分析】 （1）根据中位数和平均数的概念求解；（2）根据（1）求得的中位数，与 147 进行比较，然后推断该选手的成绩【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：125，134，140，143，146，148，152，155，162，16 4，168

29、，175，则中位数为： =150，平均数为： =151；（2）由（1）可得，中位数为 150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于 150 分钟，有一半选手的成绩慢于 150 分钟，这名选手的成绩为 147 分钟，快于中位数 150 分钟，可以推断他 的成绩估计比一半以上选手的成绩好21已知，如图，ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形， ACB=ECD=90，D 为 AB 边上一点（1）求证：ACEBCD ；（2）求证：2CD 2=AD2+DB2【考点】全等三角形的判定与性质【分析】 （1）本题要判定ACE BCD，已知 ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB= ECD

30、=90，则 DC=EA，AC=BC，ACB= ECD，又因为两角有一个公共的角ACD，所以 BCD=ACE，根据 SAS得出ACEBCD （2）由（1）的论证结果得出DAE=90 ，AE=DB，从而求出 AD2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB2【解答】证明：（1）ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE 和BCD 中，AECBDC（SAS） ；（2）ACB 是等腰直角三角形，B=BAC=45 度ACEBCD，B=CAE=45DAE=CAE+BAC=45+45=90，AD2+AE2=

31、DE2由（1）知 AE=DB，AD2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB222某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6 天可以完成，共需工程费用 385200 元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用 5 天，每天的工程费用甲队比乙队多 4000 元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？【考点】分式方程的应用【分析】设甲队单独完成此项工程需要 x 天，乙队单独完成需要（x+ 5）天，然后依据 6 天可以完成，列出关于 x 的方程，从而可求得甲、乙两队单独完成需要的天数，然后设甲队每天

32、的工程费为 y 元，则可表示出乙队每天的工程费，接下来，根据两队合作 6 天的工程费用为 385200 元列方程求解，于是可得到两队独做一天各自的工程费，然后可求得完成此项工程的工程费，从而可得出问题的答案【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要 x 天，乙队单独完成需要（x+5）天依据题意可列方程： + = ，解得：x 1=10，x 2=3（舍去） 经检验：x=10 是原方程的解设甲队每天的工程费为 y 元依据题意可列方程：6y+6（y4000）=385200，解得：y=34100甲队完成此项工程费用为 3410010=341000 元乙队完成此项工程费用为 3010015=451500 元答

33、：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队23已知反比例函数 y= 的图象在二四象限，一次函数为 y=kx+b（b0） ，直线 x=1 与 x 轴交于点 B，与直线 y=kx+b 交于点 A，直线 x=3 与 x 轴交于点 C，与直线 y=kx+b 交于点 D（1）若点 A，D 都在第一象限，求证：b3k；（2）在（1）的条件下，设直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 E 与 y 轴交于点 F，当 = 且OFE 的面积等于时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 kx+b 的解集【考点】反比例函数综合题【分析】 （1）由反比例函数 y= 的图象在二四象限，得到 k0，于是得到一次函数为 y=

34、kx+b 随 x 的增大而减小，根据 A，D 都在第一象限，得到不等式即可得到结论；（2）根据题意得到 ，由三角形的面积公式得到 SOEF= （ ）b= 联立方程组解得k= ， b=3，即可得到结论【解答】解：（1）证明：反比例函数 y= 的图象在二四象限，k 0，一次函数为 y=kx+b 随 x 的增大而减小，A， D 都在第一象限，3k+b0，b 3k；（2）由题意知： ， ，E（ ，0） ，F（0，b） ，SOEF= （ ）b= ，由联立方程组解得：k= ，b=3 ，这个一次函数的解析式为 y= x+3，解 = x+3 得 x1= ，x 2= ，直线 y=kx+b 与反比例函数 y= 的

35、交点坐标的横坐标是 或 ，不等式 kx+b 的解集为 x0 或 x 24如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC（1）求证：FBC= FCB；（2）已知 FAFD=12，若 AB 是ABC 外接圆的直径，FA=2，求 CD 的长【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心【分析】 （1）由 圆内接四边形的性质和邻补角关系证出FBC=CAD ，再由角平分线和对顶角相等得出FAB=CAD，由圆周角定理得出FAB= FCB，即可得出结论；（2）由（1）得：FBC= FCB，由圆周角定理得出FAB=

36、FBC ，由公共角BFA= BFD，证出 AFBBFD，得出对应边成比例求出 BF，得出 FD、AD 的长，由圆周角定理得出BFA=BCA=90，由三角函数求出FBA=30 ，再由三角函数求出 CD 的长即可【解答】 （1）证明：四边形 AFBC 内接于圆，FBC+FAC=180，CAD+FAC=180，FBC=CAD，AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线，EAD=CAD，EAD=FAB，FAB=CAD，又FAB=FCB，FBC=FCB；（2）解：由（1）得：FBC=FCB，又FCB= FAB，FAB=FBC，BFA=BFD，AFBBFD， ，BF2=FAFD=12，BF=2 ，FA=2

37、，FD=6，AD=4，AB 为圆的直径，BFA=BCA=90，tanFBA= = = ，FBA=30，又FDB=FBA=30，CD=ADcos30=4 =2 25已知二次函数 y=ax22ax+c（a0）的最大值为 4，且抛物线过点（ ， ） ，点 P（t，0）是 x 轴上的动点，抛物线与 y 轴交点为 C，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式，及顶点 D 的坐标；（2）求|PCPD|的最大值及对应的点 P 的坐标；（3）设 Q（0，2t）是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 y=a|x|22a|x|+c 的图象只有一个公共点，求 t 的取值【考点】二次函数综合题【分析】 （1）先利用对称

38、轴公式 x= 计算对称轴，即顶点坐标为（1，4） ，再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知 P、C、D 三点共线时|PCPD| 取得最大值，求出直线 CD 与 x 轴的交点坐标，就是此时点 P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知 y= ，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段 PQ 过点（0，3） ，即点 Q 与点 C 重合时，两图象有一个公共点，当线段 PQ过点（3，0） ，即点 P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出 t 的取值；线段 PQ 与当函数y=a|x|22a|x |+c（x 0）时有一个公共点时，求 t 的值

39、；当线段 PQ 过点（3，0） ，即点 P 与点（ 3，0）重合时，线段 PQ 与当函数 y=a|x|22a|x|+c（x0）时也有一个公共点，则当 t3 时，都满足条件；综合以上结论，得出 t 的取值【解答】解：（1）y=ax 22ax+c 的对称轴为：x= =1，抛物线过（1，4）和（ ， ）两点，代入解析式得： ，解得：a= 1，c=3，二次函数的解析式为：y= x2+2x+3，顶点 D 的坐标为 （1，4） ；（2）C、D 两点的坐标为（0，3） 、 （1，4） ；由三角形两边之差小于第三边可知：|PCPD|CD|，P、 C、D 三点共线时|PCPD| 取得最大值，此时最大值为，|CD

40、|= ，由于 CD 所在的直线解析式为 y=x+3，将 P（t，0）代入得 t=3，此时对应的点 P 为（3，0） ；（3）y=a|x| 22a|x|+c 的解析式可化为：y=设线段 PQ 所在的直线解析式为 y=kx+b，将 P（t，0） ，Q（0，2t）代入得：线段 PQ 所在的直线解析式：y=2x+2t，当线段 PQ 过点（0，3） ，即点 Q 与点 C 重合时，线段 PQ 与函数y= 有一个公共点，此时 t= ，当线段 PQ 过点（3，0） ，即点 P 与点（3，0）重合时，t=3 ，此时线段 PQ 与y= 有两个公共点，所以当t 3 时，线段 PQ 与 y= 有一个公共点，将 y=2x+2t 代入 y=x2+2x+3（x0）得：x2+2x+3=2x+2t，x2+4x+32t=0，令=164（ 1） （32t）=0 ，t= 0，所以当 t= 时，线段 PQ 与 y= 也有一个公共点，当线段 PQ 过点（ 3，0） ，即点 P 与点（ 3，0）重合时，线段 PQ 只与y=x22x+3（x 0）有一个公共点，此时 t=3，所以当 t3 时，线段 PQ 与 y= 也有一个公共点，综上所述，t 的取值是 t3 或 t= 或 t3