湖南省株洲市2019年高三统一测试（一）理科数学试题（含答案）

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1、绝密启用前株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷（选择题）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 设全集 ,集合 ，集合 ，则 ( )0,1234U=0,12A=2,3B=()BUCA=A B C D f 40,12342. 在区间 上任意取一个数 ，使不等式 成立的概率为( ),x20xA B C D611213413.已知各项为正数的等比数列 满足 ，则 ( ) na124,

2、6aaA64 B32 C16 D4 4.欧拉公式 cosiixex（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）4iieA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.已知 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的MN、1,0,6xy |MN最大值是 ( )A. B. C. D. 17342321726若均不为 1 的实数 、 满足 ，且 ，则（ ）ab0abPD CBAA. B. C. log3lab36ab+D. b17 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

3、（ ）A. B. C. D. 2388238108如图，边长为1正方形ABCD，射线 从 出BPA发，绕着点 顺时针方向旋转至 ，在旋转的过BC程中，记 ， 所经过的在(0,)2APx正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为 ，则函数 的图像是 ( )(xfy()fx9右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 的值分别为 6、 8、 0，则输出 和abi、 、 a的值分别为( )iA 0,3 B 0,4 C 2,3 D 2,410已知函数 的图象关于 轴对称，则sin()0()co,xafby1 2o xy1 2po xyA B1 2o x

4、y 41 2o xy 4C D32 2 21 1正视图 侧视图俯视图 （第 7 题图）（第 8 题图）（第 9 题图）的图象向左平移( )个单位，可以得到 的图象 sinyx cos()yxabA B C D 43211已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 的的四个顶 点，其中 ，AB4AB=CD=，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）（ （ 源2DA B C D343232312已知正方体 的棱长为 2，M 为 CC1 的中点若 AM平面 ，且1CADB平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为（ ）A B C D32+54+2+562第 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5

5、分，共 20 分请将答案填在答题卷上）13已知点 P（2,1）在双曲线 C： 的渐近线上，则 C 的离心率为 .),(12Rbayx14 的展开式中的常数项的值是 （用数字作答）612x15设 的外心 满足 ,则 = P1()3ABururBAcos16数列 的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第 个 1 和第 个 1 之间有na k个 2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列1kn的前 项和为 ，则 （用数字作答）nS09三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分

6、别是 ，已知 ，ABCD、 、 abc、 、1os23A=-c3,sin6si=（）求 的值； （）若角 A 为锐角，求 的值及 的面积abABCD18.（本小题满分 12 分）如图（1） ，等腰梯形 ， =2， =6， ABCD，E、F 分别是 的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使2AD=CDFE得点 C 和点 D 重合，记为点 P 如图（2） ，（） 求证：平面 平面 ；ABEF（） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 19. （本小题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C： 210xyab的左、右焦点，点 在椭圆12,F 0(y)P1,上，且 2Px轴， 的周长为 612（）求

7、椭圆的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，(0,)TCABO使得 恒成立？请说明理由7OAB20.（本小题满分 12 分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有 人，若逐个检验就需N要检验 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 个人，把这N k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 个人的血液全为阴性，因而这k k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 个人再逐个进行检验，这时 个人的检验次数为 +1 次假设在接受检验的人k群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性

8、是独立的，且每个人是阳性结果的概率为 p（） 为熟悉检验流程，先对 3 个人进行逐个检验，若 =0.1，求 3 人中恰好有 1 人检测结p果为阳性的概率；（） 设 为 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数 k当 =5， =0.1 时，求 的分布列；p试运用统计概率的相关知识，求当 和 满足什么关系时，用分组的办法能减少kpEFABCD EABFP图（1） 图（2）检验次数. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ,其中 为大于零的常数2()4ln2fxmx（ ）（） 讨论 的单调区间；y（） 若 ()fx存在两个极值点 12,()x ，且不等式 12()fxa 恒成立，求实数 a的取

9、值范围.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为xoyl1xty=- o极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 x 1C2=3cos,inrqr（） 求直线 的极坐标方程l（） 设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，1C2AlOAB求 .|AB23（本题满分 10 分） 【选修 4 -5：不等式选讲

10、】已知函数 （ 为实数）()12fxax（）当 时，求函数 的最小值；a()f（）若 ， 解不等式.2019 届株洲市高三检测试题（一）参考答案及评分标准(理科数学)一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B B A B A D D D B A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 ; 1460; 15 ; 16. 39935212三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 ）17（本小题满分 12 分）【解析】 （） 由 得2cos1sinA2i3A6(0,)i3AQ由 得s

11、in6si,C1in,由正弦定理 得 -6 分siiacA32a（） 角 A 为锐角，则 os由余弦定理得 即 或 （舍去）2150b,b3所以ABC 的面积 -12 分52sinABCSc18 （本题满分 12 分）【解析】 （） E,F 是 CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故 BEEF又 BEPE,且 PE EF=E所以 BF面 PEF又 BF 面 ABEF所以面 PEF面 ABEF -5 分（） 过 P 作 POEF 于 O，过 O 作 BE 的平行线交 AB 于 G，则 PO面 ABEF有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系则 A(2， -1，0),B(2，1

12、，0),E(0，1,0),P(0 ，0， )-6 分3所以 ,(2,0)(,13)AEEPurur(0,2)(2,13)ABPAurur设平面 PAE 的法向量为 1nxyz则 -8 分1 112(3,)300nnEPr ru设平面 PAB 的法向量为 22(,)nxyzur则 -10 分2 22(3,0)30nABnr uru125cos7nr即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值PAEB57-12 分19 （本题满分 12 分）【解析】 （）由题意， 1(0)F， ， 2()， ， 1c 12PF的周长为 6， 26Pa a， 3b 椭圆的标准方程为 143xy-5 分 （）假设存在常数 满

13、足条件。（1）当过点 T的直线 AB的斜率不存在时， 0,3,AB， ， 3(1)2=7OA ，当 2时， 7T； -7分 （2）当过点 T的直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 1ykx，设 1A,xy，B,xy，联立2143xyk，化简得 23480kx， 1212228xxk， . -8 分 12()1OABTyxy 2112kx228()84343k 2(8)1=43k 7-9 分 1，解得： 即 时， OABT；综上所述，当 2时， 7OABT -12 分 20. （本题满分 12 分）【解析】（） 对 3 人进行检验，且检验结果是独立的，设事件 A：3 人中恰有 1 人检测

14、结果为阳性，则其概率 P（A）= 1230.9.43C-3 分（） 当 K=5，P=0.1 时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为 ，每人所检验的5.次数为 次，若混合检验结果为阳性，则其概率为 ，则每人所检验的次数为 次，15 510.96故 的分布列为1565P 0.910.9-7 分分组时，每人检验次数的期望如下1()111()kkkkkPPEP（ ）（ ）（ ） （ ） （ ）不分组时，每人检验次数为 1 次，要使分组办法能减少检验次数，即 1kP（ ）kP所以当 时，用分组的办法能减少检验次数。-12 分k21 （本小题满分 12 分）【解析】（） -1 分284()(0)xm

15、fx（1）当 时， 在 在上单调递增 -2 分2(),()ff,)（2） 当 时，设方程 的两根为10m2840xm12,x则 12,4x1210,x在 上单调递增， 上单调递减 -5 分()fx12,(,)12(,)x（） 由（ （） ）可知， 且0m1212,8m由 1122()()fxfxa2111114ln()4()ln2f xx所以 -6 分11112()22()8lnfxfxx设 1,0txt令 21()ln(0)2htttt21()l()t tt当 时，0t2ln0()tt故 在 上单调递减，所以()ht1, 1()32lnht综上所述， 时， 恒成立。-12 分(,32lna1

16、2fxa22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程【解析】（） -4 分cosin1rqr+=（） 法 1：由 得 -5 分3cosir 3tan,6pq=点 A 的极坐标 又点 B 在直线 OA 上，所以设 B 的极坐标为 (,)26p (,)6pr由 得 ，所以1,cosin1xyrr+=+31Br-(31-10 分532AB-法 2：曲线 与曲线 的直角坐标为1C2230,30xyxyx+-=+-=由 得点 A 的坐标 -5 分230xyx+-= (,)4所以直线 OA 的方程为 3yx=由 得点 B 的坐标为 -7 分13xy+= 31(,)2-所以 ,12OA-10 分53B-或者： -9 分223137()()5444A-=+=-10 分532B-23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲【解析】（） 时，1a(12|(1)2|fxxx所以 的最小值为 1-4 分()f（） 时， ，2x3()12,1afxax因为310a所以此时解得： -6 分312ax 时， ，1x()2,1f x此时： -7 分2 时， ，()1,fxa此时无解；-8 分综上： -10 分31a