湖南省株洲市2019年高三统一测试（一）文科数学试题（含答案）

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1、绝密启用前株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（文科）本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷（选择题）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 已知集合 ， ，则 =2,10M1|24,xNZMNA B C D,01,00,12. 已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于 z12izizA B C D1i 1i2i12i3. 下列说法中，错误的是 A. 若命题 ，则命题 ；2:,0pxR20:,pxRB.“1sin”是“ ”

2、的必要不充分条件；56C “若 ，则 中至少有一个不小于 ”的逆否命题是真命题；4ab, a2D函数 的图像关于 对称 . 2sin()3yx3x4. 如下的茎叶图表示甲乙两人在 5 次测评中的成绩，已知甲的中位数是 90，则从乙的 5 次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为 A. B. C. D. 15 545.已知正项等比数列 的前 项和为 ， nanS与 的等差中项为 ，且 ，则 2a451632a5A B C D1826. 已知直线 的倾斜角为 ，则 = 30xysinAB C D 545103107. 在 中，点 为斜边 的中点， ， ，则 RtCD|8AB|6

3、AB甲 乙9 8 8 3 3 72 1 0 9 2 9 甲 乙9 8 8 3 3 72 1 x 9 2 9 （第 4 题图）A B C 4840D 32168. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 88238109. 将函数 的图象向右平移 个单位，()sin(4)fx6再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 ()ygx的 图象，则下列关于函数 的说法正确的是()ygxA. 最小正周期为 B. 图象关于直线 对称412xC. 图象关于点 对称 D. 在 上是增函数(,0)12,6310. 过棱长为 1 的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面

4、面积的最小值是A 1 B C D2322611.双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心率为)0,(2babxay 1xyA B C D5562612.已知函数 ，若 只有一个极值点，则实数 的取值范围是 ()ln)xefxk()f kA. B. C. D. ,e(, (,e1(,e二填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知向量 ，若 ，则 .,2,13,axbcx/ab|c14若 满足约束条件 ，则 的最大值为_,y02y2zy15. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ,ABC, ,abc5bsin37,2CAB，

5、则 的面积为 4cb（第 8 题图）32 2 21 1正视图 侧视图俯视图16. 已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且 的坐标为 ，则F24xyPA3,12的最小值是_PA三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本题满分 12 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 *Nn.24,na（）求通项公式 n； （）设 ，求数列 的前 n项和 2log3nnb1nbT18. （本题满分 12 分）如图，平面 平面 ，其中 为矩形， 为直CDAFCDAF角梯形， ， ， F/E（）求证：平面 平面 ；B（）若三棱锥 体积为 ，求 与面 B

6、AF 所成角的正弦值13B19. （本题满分 12 分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了 个黄桃进行测重，其质量分布在10区间 内（单位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：20,5（）按分层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取 个，3,4),)5再从这 个黄桃中随机抽 个，求这 个黄桃质52量至少有一个不小于 克的概率；40（）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有 个黄桃待出售，某电商提出两10种收购方案：所有黄桃均以 元/千

7、克收购；.A2低于 克的黄桃以 5 元/个收购，高于或等于 克的以 9 元/个收购.B350350请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 200 250 300 350 400 450 500 克频率/组距0.0060.00480.0040.00320.001（参考数据：）(250.7.163250.47.34250.7.534.20. （本题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C： 21xyab的左、右焦点，点 在椭圆上，且12,F 0(1,)Py2Px轴， 的周长为 612（）求椭圆的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使得(0,)TCABO恒成

8、立？请说明理由7OAB21. （本题满分 12 分） 已知函数 （其中 ）.21()ln()fxax0a（）讨论 的单调性；（）若 设 是函数 的两个极值点，若 ，且2()(),gf12()x()gx32a恒成立，求实数 的取值范围12xkk请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本题满分 10 分）选修 4 -4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极点，xoyl1xty=- o轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为

9、 x 1C2=3cos,inrqr（） 求直线 的极坐标方程 ；l（）设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，求 .1C2AlOAB|A23 （本题满分 10 分）选修 4 -5：不等式选讲已知函数 （ 为实数）()fxax（）当 时，求函数 的最小值；1a()f（）若 ， 解不等式1a().fxa绝密启用前株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题答案（文科） 总分：150 分 时量：120 分钟一. 选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求请将答案填涂在答题卡上.题号 1 2 3 4

10、 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D B C A C A B D A C二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知向量 ，若 ，则 . ,2,13,axbcx/ab|c5214若 满足约束条件 ，则 的最大值为_6,y02y2zy15. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ,ABC, ,abc5b，则 ABC的面积为 sin37,42cb 374解：由正弦定理及 ，得 ， 为锐角三角形，sin37,42cbsin8ABC， ，解得 ， ， ，1cos8A222 51cosbac b4ac.137in428

11、ABCS16. 已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且 的坐标为 ，则F2xyPA3,12的最小值是_. PFA5三、解答题（共 6 小题，总计 70 分）17. （本题满分 12 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 *Nn.24,na（）求通项公式 ；（）设 ，求数列 的前 n项和 .2log3nnba1nbT解：（） 14,4S相减得： nn-3 分12a1,n又 124,aSa-6 分1nn（） -8 分122log3log3nnb135()nT 1( )22(n-12 分1()n18. （本题满分 12 分）如图，平面 平面 ，其中 为矩形， 为直CDAFCDAF角梯形，

12、 ， F/F22E（）求证：平面 平面 ；B（）若三棱锥 体积为 ，求 与面 BAF 所成角的正弦值BADF13B解：（）证明：作 ,H于， F22E，145AA90,DFD即 ：，AD 为两个面的交线BC面 面F面6 分面 面（）因为平面 ABCD平面 ADEF，A BAD ，所以 AB平面 ADEF，11|33BADFADFVS所以|AB|=1, B连接 BH，易知 为线 与面 BAF 所成的角，10 分H在直角BDH 中， ,113sin所以 与面 BAF 所成角的正弦值为 12 分BD319. （本题满分 12 分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农

13、民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了 个黄桃进行测重，其质量分布在10区间 内（单位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：20,5（）按分层抽样的方法从质量落在 的黄桃中随机抽取 个，再从这 个350,4),5)5黄桃中随机抽 个，求这 个黄桃质量至少有一个不小于 克的概率；240（）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有 个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：10所有黄桃均以 元/千克收购；.A2低于 克的黄桃以 5 元/个收购，B35高于或等于 克的以 9 元/个收购.0请你通过计算为该村选择收益最

14、好的方案.200 250 300 350 400 450 500 克频率/组距0.0060.00480.0040.00320.001A DB CF EH（参考数据： (250.7.163250.4）37.4解：（）由题得黄桃质量在 和 的比例为 ，350,4),50)3:2应分别在质量为 和 的黄桃中各抽取 3 个和 2 个.-2 分,)记抽取质量在 的黄桃为 ，质量在 的黄桃为 ，3504123,A4,)12,B则从这 5 个黄桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 种：0-4 分12321312321,ABB其中质量至少有一个不小于 克的 7 种情况，故所求概率为 .-6 分4070（）方案

15、好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在 的频率为2,50.1.5同理，黄桃质量在 的250,334,0,4频率依次为 -7 分.16,4若按方案 收购：B黄桃质量低于 克的个数为 个350(0.516.24)0450黄桃质量不低于 克的个数为 个收益为 元-8 分497若按方案 收购：A根据题意各段黄桃个数依次为 ，于是总收益为50,16,240,3,20,5(250716375470)210-9 分（元）-11 分9方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 .-12 分BAB20. （本题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C： 210xyab的左、右焦点，点 01Py， 在椭12,

16、F圆上，且 2Px轴， 的周长为 612F（）求椭圆的标准方程；（）过点 的动直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使(0,)TCABO得 恒成立？请说明理由7OAB解：（）由题意， 1()F， ， 2(0)， ， 1c 12P的周长为 6， 126Pa a， 3b 椭圆的标准方程为 -5 分 143xy（）假设存在常数 满足条件。（1）当过点 的直线 的斜率不存在时， ，TAB0,3AB， ，3(1)3)2=7OA 当 时， ； -7 分 27T（2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ，TABAB1ykx1A,xy，B,xy联立 ，化简得 ，2143

17、ykx23480kx . -8 分 1212228x， 12()1OABTyxy 2112kx-9 分228(1)814343k 2(8)1=43k 7 ，解得： 即 时， ；OABT综上所述，当 时， -12 分 27OABT21. （本题满分 12 分） 已知函数 （其中 ）.21()ln()fxax0a（）讨论 的单调性；（）若 设 是函数 的两个极值点，若 ，且2()(),gf12()x()gx32a恒成立，求实数 的取值范围。12xkk解：（） 的定义域为 -1 分 )(f (1)(0,)(fxax（i）若 ，则 .由 得 或 ；由 得0a11x0f1a在 上单调递增，在 上单调递减

18、； -3 分 )(xf,()(,)a（ii）若 ，则 在 上单调递增； -4 分 1),0xff （iii）若 ，则 ，由 得 或 ；由 得a1a0(x10)(xf1xa在 上单调递增，在 上单调递减. -5 分 )(xf0,(),)a（） , ,2ln(1)gxx2(1)()xgx由 得 ， ，()0x2()0a1212,a21x解得 32a1150x12x-8 分2 212 1212 1()ln()()ln()xgxxaxxx设 ，则-9 分21()ln()hxx1(0)2x23321()() 0xhx在 上单调递减；当 时，-10 分()0,1min5()()ln8， 的最大值为 . -

19、12 分 152ln8kk52l8请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 4 -4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极点，xoyl1xty=- o轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 x 1C2=3cos,inrqr（）求直线 的极坐标方程；l（）设曲线 与曲线 的一个交点为 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，求 .1C2AlOAB|A解：（） cosin1rqr+= -4 分（

20、）法 1：由 3ir得 3ta,6pq= -5 分点 A 的极坐标 (,)26p，又点 B 在直线 OA 上，所以设 B 的极坐标为 (,)6pr 由 1,cosin1xyrr+=+=得 ，所以3-3-（ 1， ）532AB-10 分法 2：曲线 1C与曲线 的直角坐标为 2230,30xyxyx+-=+-=由 230xyx+-=得点 A 的坐标 (,)4 -5 分所以直线 OA 的方程为 3yx由13xy+=得点 B 的坐标为 31(,)2- -7 分所以 ,12OA-所以： -10 分5|A=-或者： 2233137()()5444B=+- -9 分52A-10 分23 （本小题满分 10 分）选修 4 -5：不等式选讲已知 ()12fxax（） 恒成立，求 b 的取值范围.b,()fR若 且（）若 ， 解不等式 .fxa解：（） 时，1a()12|(1)2|x所以 的最小值为 1-4 分()fx（） 时， ，23(),1afxax因为310a所以此时解得： -6 分31xa 时， ，12x()2,1f x此时： -7 分 时， ，()1,fxa此时无解；-8 分综上： -10 分3