山西省2016年中考数学试题含答案解析

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1、第 1 页 共 22 页2016 年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1（2016山西） 的相反数是（ ）61A B-6 C6 D6 612（2016山西）不等式组 的解集是（ ）205xAx5 Bx ”或“= ”或 “AB，M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足ABCD 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD下面是运用“截长法”证明 CD=AB+BD 的部分证明过程证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB，连接 MA，MB，MC 和 MGM 是

2、的中点，ABCMA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边ABC 内接于 ，AB=2，D 为OAOA上 一点, ，AEBD 与点 E，则 BDC 的长是 45ABD20（2016山西）（本题 7 分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 2000kg5000kg（含 2000kg 和 5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案 A：每千克 58 元，由基地免费送货方案 B：每千克 5 元，客户需支付运费 2000 元第 5 页 共 22 页（1）请分别写出按方案 A，方案 B 购买这种苹果的应付款

3、 y（元）与购买量 x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量 x 在什么范围时，选用方案 A 比方案 B 付款少；（3）某水果批发商计划用 20000 元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案21（2016山西）（本题 10 分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，均为 300cm，AB 的倾斜角为，BE=CA=50 cm，支撑角钢 CD，EF 与底座地基台面接触点30分别为 D，F，CD 垂直于地面

4、， 于 点 E两个底座地基ABF高度相同（即点 D，F 到地面的垂直距离相同），均为 30cm，点A 到地面的垂直距离为 50cm，求支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是多少 cm（结果保留根号）22（2016山西）（本题 12 分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图 1，将一张菱形纸片 ABCD（ ）沿对角线 AC 剪开，得到 和 90BADABCD操作发现（1）将图 1 中的 以 A 为旋转中心，C逆时针方向旋转角 ，使 ，C得到如图 2 所示的 ，分别延长 BC 和 交于点 E，则四边形 的D E状是 ；（2 分）（2）创新小组将

5、图 1 中的 以 A 为D旋转中心，按逆时针方向旋转角，使 ，得到如图 3 所BC示的 ，连接 DB， ，得到四边形 ，发现它是矩形请你证明这个论；A DCB第 6 页 共 22 页实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图 3 中BC=13cm，AC=10 cm，然后提出一个问题：将 沿着射线 DB 方DCA向平移 acm，得到 ，连接 ， ，使四边形 恰好DCABB为正方形，求 a 的值请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图 1 中的 在同一平面内进行一次平移，得到 ，在图 4 中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明23.如

6、图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与8y2bxax 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为（ 2，0），（6，8）（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标；（2） 试探究抛物线上是否存在点 F，使 ，若存在，FC请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q试探究：当 m 为何值时，是等腰三角形OQ第 7 页 共 22 页2016 年山西

7、省中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1（2016山西） 的相反数是（ A ）61A B-6 C6 D6 61考点：相反数解析：利用相反数和为 0 计算解答：因为 a+（-a）=0 的相反数是61612（2016山西）不等式组 的解集是（ C ）205xAx5 Bx -5由得 x （填“ ”或“=”或“m-3，从而比较 y 的大小解答：在反比函数 中，m m-3，所以 12y13（2016山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂

8、有阴影，依此规律，第 n 个图案中有（4n+1）个涂有阴影的小正方形（用含有 n 的代数式表示）考点：找规律分析：由图可知，涂有阴影的正方形有 5+4（n-1 ）=4n+1 个解答：（4n+1）14（2016山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 94考点：树状图或列表求概率分析：列表如图：解答： 由表可知指针指向的数都是奇数的概率为 9415（2016山西）如图，已知点 C 为线段 AB 的中点，CDAB 且1 2 31 （1，1）

9、 （1，2） （1，3）2 （2，1） （2，2） （2，3）3 （3，1） （3，2） （3，3）第 12 页 共 22 页CD=AB=4，连接 AD，BEAB，AE 是 的平分线，与 DC 相交于点 F，EHDC 于点 G，交DABAD 于点 H，则 HG 的长为 ）（ 或 152-3考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出 DA，由平行得出 ，由角平分得出213从而得出 ，所以 HE=HA3再利用DGHDCA 即可求出 HE，从而求出 HG解答：如图（1）由勾股定理可得DA= 5242CDA由 AE 是 的平分线可知B1由 CDAB，BE AB ，EHDC 可

10、知四边形 GEBC 为矩形，HEAB ， 3 31故 EH=HA设 EH=HA=x则 GH=x-2，DH= x52HEAC DGHDCA 即ACHGD25-解得 x= 故 HG=EH-EG= -2= -553三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（2016山西）（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分）（1）计算： 0125)3( 考点：实数的运算，负指数幂，零次幂分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果解答：原=9-5-4+1 （4 分）=1 （5 分）（2）先化

11、简，在求值： ，其中 x=-212x考点：分式的化简求值分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算第 13 页 共 22 页解答：原式= （2 分） 1)(12xx= （3 分）= （4 分）1x当 x=-2 时，原式= （5 分）21x17（2016山西）（本题 7 分）解方程： 9322x）（考点：解一元二次方程分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取 x-3，利用公式法求解方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解解答：解法一：原方程可化为 （1 分）)3(32xx）（ （2 分）0)()3(2x （3 分）3x （4 分）0)9-(3x x-3=0 或 x-9=0 （5 分）

12、， （7 分）12解法二：原方程可化为（3 分）02712x这里 a=1，b=-12，c=27 062714)(422 acb （5 分）2613x因此原方程的根为 ， （7 分）1x92第 14 页 共 22 页18（2016山西）（本题 8 分）每年 5 月的第二周为：“职业教育活 动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动， 活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取 了部分学生进行调查：“你最 感兴趣的一种职业技能是什么？ ”并对此进行了统计，绘制了 统计图（均不完整）（

13、1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有 1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有 30%，再用整体 1800 乘以30%（3）由扇形统计图可知解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示（2）180030%=540（人）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是 540 人（3）要从这些被调查的

14、学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”第 15 页 共 22 页最感兴趣的学生的概率是 0.13（或 13%或 ） 10319（2016山西）（本题 7 分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前 287公元 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿、高斯并称为三大数学王子阿拉伯 Al-Biruni（973 年1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 Al-Biruni 译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德的折弦定理阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 是 的

15、两条弦（即折线 ABC 是OA圆的一条折弦），BCAB，M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足ABCD 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD下面是运用“截长法”证明 CD=AB+BD 的部分证明过程证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB，连接 MA，MB，MC 和 MGM 是 的中点，ABCMA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边ABC 内接于 ，AB=2，D 为 上一点，OAOA，AEBD 与点 E，则BDC 的长是 45ABD2考点：圆的证明分析：（1）已截取 CG=AB 只需证明 BD=DG且 MDBC，

16、所以需证明 MB=MG故证明MBAMGC 即可（2）AB=2，利用三角函数可得 BE= 2由阿基米德折弦定理可得 BE=DE+DC则BDC 周长=BC +CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE ）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE然后代入计算可得答案解答：（1）证明：又 ， （1CA分） MBAMGC （2 分）第 16 页 共 22 页MB=MG （3 分）又MDBC，BD=GD （4 分）CD= CG+GD=AB+BD （5 分）（2）填空：如图（3），已知等边ABC 内接于 ，AB=2，OAD 为 上 一点， ，AEBD 与点 E，则BDCOA45ABD的长是 220

17、（2016山西）（本题 7 分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 2000kg5000kg（含 2000kg 和 5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案 A：每千克 58 元，由基地免费送货方案 B：每千克 5 元，客户需支付运费 2000 元（1）请分别写出按方案 A，方案 B 购买这种苹果的应付款 y（元）与购买量 x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量 x 在什么范围时，选用方案 A 比方案 B 付款少；（3）某水果批发商计划用 20000 元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案考点： 一次函

18、数的应用分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可（2）先求出方案 A 应付款 y 与购买量 x 的函数关系为 xy8.5方案 B 应付款 y 与购买量 x 的函数关系为 20然后分段求出哪种方案付款少即可（3）令 y=20000，分别代入 A 方案和 B 方案的函数关系式中，求出 x，比大小解答：（1）方案 A：函数表达式为 （1 分）xy8.5方案 B：函数表达式为 （2 分）20（2）由题意，得 （3 分）8.5x解不等式，得 x2500 （4 分）当购买量 x 的取值范围为 时，选用方案 A5x比方案 B 付款少 （5 分）（3）他应选择方案 B （7 分）21（2016山西）（本题

19、10 分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，均为 300cm，AB 的倾斜角为 ，BE=CA=50cm，支撑角钢30CD，EF 与底座地基台面接触点分别为 D，F，CD 垂直于地面，于 点 E两个底座地基高度相同（即点 D，F 到地面的垂直距ABF离相同），均为 30cm，点 A 到地面的垂直距离为 50cm，求支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是多少cm（结果保留根号）第 17 页 共 22 页考点：三角函数的应用分析：过点 A 作 ，

20、垂足为 G，利用三角函数求出 CG，从CD而求出 GD，继而求出 CD连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于点 H，利用三角函数求出CH，由图得出 EH，再利用三角函数值求出 EF解答：过点 A 作 ，垂足为 G（1 分）则 ，在 Rt 中，30CGAC（2 分）521sin由题意，得 （3 分）0D（cm）（4 分）连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于点 H（5 分）由题意，得 在 Rt 中，30HCD（6 分）92sinC（7 分）290503ABEE在 Rt 中， （cm）（9 分）FH2930tan答：支撑角钢 CD 的长为 45cm，EF 的长为 cm（10 分）322（201

21、6山西）（本题 12 分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图 1，将一张菱形纸片 ABCD（ ）沿对角线 AC 剪开，得到 和 90BADABCD操作发现（1）将图 1 中的 以 A 为旋转中心，C逆时针方向旋转角 ，使 ，BA得到如图 2 所示的 ，分别延长DBC 和 交于点 E，则四边形 的CD CAE第 18 页 共 22 页状是 菱形 ；（2 分）（2）创新小组将图 1 中的 以 A 为CD旋转中心，按逆时针方向旋转角，使 ，得到如图 3 所B2示的 ，连接 DB， ，得到四边形 ，发现它是矩形请你证明这个论；A DCB（3）缜

22、密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图 3 中 BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将 沿着射线 DB 方向平移 acm，得到 ，连接 ， ，使四边形C ABC恰好为正方形，求 a 的值请你解答此问题；D（4）请你参照以上操作，将图 1 中的 在同一平面内进行一次平移，得到 ，在图 4 中DA画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，矩形的判定正方形的判定分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明（2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明（3）利用平移行性质和正

23、方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点 在边 上和点 在边 的延长线上时CC（4）开放型题目，答对即可解答：（1）菱形（2）证明：作 于点 E（3 分）A由旋转得 ， BACEA21四边形 ABCD 是菱形， ， ， ，BCBCAE，同理 ， ，又 ， 四边形 是平BCAE/DE/DD行四边形，（4 分）又 ， ， ，/90A90180A四边形 是矩形（5 分）（3）过点 B 作 ，垂足为 F， ，CFBC5102A在 Rt 中， ，12532B在 和 中， ， CEFCFAE90BFCEA ， ，即 ，解得 ，A03， ， （7 分）12432当四边形 恰好为正方形时，分

24、两种情况：DCB点 在边 上 （8 分） 71403a点 在边 的延长线上， （9 分） 134092C第 19 页 共 22 页综上所述，a 的值为 或 137409（4）：答案不唯一例：画出正确图形（10 分）平移及构图方法：将 沿着射线 CA 方向平移，平移距离为ACD的长度，得到 ，AC21连接 （11 分）B,结论：四边形是平行四边形（12 分）23（2016山西）（本题 14 分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 x8y2bax轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，

25、已知点 A，D 的坐标分别为（ 2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点 F，使 ，若存在，FC请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q试探究：当 m 为何值时， 是等OPQ腰三角形考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成分析：（1）将 A，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式点 B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合 A 点坐标即可求出 B 点坐标点 E 坐标：E

26、为直线 l 和抛物线对称轴的交点，利用 D 点坐标求出 l 表达式，令其横坐标为 ，即可求出点 E 的坐标3x（2）利用全等对应边相等，可知 FO=FC，所以点 F 肯定在 OC 的垂直平分线上，所以点 F 的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标（3）根据点 P 在 y 轴负半轴上运动，分两种情况讨论，再结合相似求解解答：（1） 抛物线 经过点 A（2，0），D（6，8），82bxa解得 （1 分）86302a4b31抛物线的函数表达式为 （2 分）82xy， 抛物线的对称轴为直线 又 抛物线与 x 轴交于 A，B5318321xxy 3x两点，点 A 的坐标为（2，0） 点 B 的

27、坐标为（8，0）（4 分）第 20 页 共 22 页设直线 l 的函数表达式为 点 D（6，8）在直线 l 上， 6k=8，解得 kxy34k直线 l 的函数表达式为 （5 分）34点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点 点 E 的横坐标为 3，纵坐标为 ，即点 E 的坐43标为（3，4）（6 分）（2）抛物线上存在点 F，使 OFC点 F 的坐标为（ ）或（ ）（8 分）4,1734,173（3）解法一：分两种情况： 当 时， 是等腰三角形OQPP点 E 的坐标为（3，4）， 5432OE，过点 E 作直线 ME/PB，交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 H，则 ，OQPM M（9 分）点

28、 M 的坐标为（0，5）设直线 ME 的表达式为 ，51xky4531k，解得 ， ME 的函数表达式为 ，令 y=0，得 ，解得 x=15， 点 H31k 531xy0531x的坐标为（15，0）（10 分）又 MH/PB， ，即 ，OHBMP158m（11 分）38m当 时， 是等腰三角形QPO当 x=0 时， ， 点 C 的坐标8321xy为（0，8）， OE=CE， ，又因为 ， ，5)48(3CE21QPO31， CE/PB（12 分）2设直线 CE 交 x 轴于点 N， 其函数表达式为 ， ，解得 ， CE 的82xky432k342k第 21 页 共 22 页函数表达式为 ，令

29、y=0，得 ， ， 点 N 的坐标为834xy0834x6x（6，0）（13 分）CN/PB， ， ，解得 （14 分）ONBCP68m32综上所述，当 m 的值为 或 时， 是等腰三角形32OPQ解法二：当 x=0 时， ， 点 C 的坐标为（0， 8）， 点 E 的坐标为821xy（3，4）， ，5432OE， OE=CE， ，设抛)8(22C21物线的对称轴交直线 PB 于点 M，交 x 轴于点 H分两种情况： 当 时， 是等腰三角形QPO， ， CE/PB3132（9 分）又 HM/y 轴， 四边形 PMEC 是平行四边形，mCPEM8， HM/y 轴，5384)8(4BHmH ， （10 分）BOPM（11 分）32854当 时， 是等腰三角形QP轴， ， ，yEH/OEMQOPE（12 分）M，mQ5)(， 轴，)5(4mHyEH/ ， （13 分）BMOPB（14 分）3881第 22 页 共 22 页当 m 的值为 或 时， 是等腰三角形382OPQ