河北省张家口市宣化县2018-2019学年九年级上期末数学模拟试卷（含答案）

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1、2018-2019 学 年 河 北 省 张 家 口 市 宣 化 县 九 年 级 （ 上 ） 期 末 数 学 模拟 试 卷一 选 择 题 （ 共 16 小 题 ， 满 分 39 分 ）1 在 学 习 图 形 变 化 的 简 单 应 用 这 一 节 时 ， 老 师 要 求 同 学 们 利 用 图 形 变 化 设 计 图 案 下列 设 计 的 图 案 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 但 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ）A BC D2 如 图 是 抛 物 线 形 拱 桥 ， 当 拱 顶 离 水 面 2m 时 ， 水 面 宽 4m， 则 水 面 下 降 1m 时 ， 水 面 宽 度增 加

2、（ ）A 1m B 2m C （ 2 4） m D （ 2） m3 方 程 5x2 1 的 一 次 项 系 数 是 （ ）A 3 B 1 C 1 D 04 下 列 事 件 是 必 然 事 件 的 是 （ ）A 明 天 气 温 会 升 高B 随 意 翻 到 一 本 书 的 某 页 ， 这 页 的 页 码 是 奇 数 C 早 晨 太 阳 会 从 东 方 升 起D 某 射 击 运 动 员 射 击 一 次 ， 命 中 靶 心5 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 （ k+3） x+k 0 的 根 的 情 况 是 （ ）A 有 两 不 相 等 实 数 根 B 有 两 相 等 实 数 根C 无

3、实 数 根 D 不 能 确 定6 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是 （ ）A 直 径 是 圆 中 最 长 的 弦B 三 个 点 确 定 一 个 圆C 平 分 弦 的 直 径 垂 直 于 弦D 相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弦 相 等7 “ 凤 鸣 ” 文 学 社 在 学 校 举 行 的 图 书 共 享 仪 式 上 互 赠 图 书 ， 每 个 同 学 都 把 自 己 的 图 书 向 本 组其 他 成 员 赠 送 一 本 ， 某 组 共 互 赠 了 210 本 图 书 ， 如 果 设 该 组 共 有 x 名 同 学 ， 那 么 依 题 意 ，可 列 出 的 方 程 是 （ ）A x（

4、x+1） 210 B x（ x 1） 210C 2x（ x 1） 210 D x（ x 1） 2108 如 图 ， 已 知 O 的 直 径 AE 10cm， B EAC， 则 AC 的 长 为 （ ）A 5cm B 5 cm C 5 cm D 6cm9 在 一 个 不 透 明 的 盒 子 里 有 2 个 红 球 和 n 个 白 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 其 余 完 全 相 同 ， 摇 匀 后随 机 摸 出 一 个 ， 摸 到 红 球 的 概 率 是 ， 则 n 的 值 为 （ ）A 10 B 8 C 5 D 310 如 图 ， 正 方 形 OABC 的 边 长 为 4， 以 O 为

5、圆 心 ， EF 为 直 径 的 半 圆 经 过 点 A， 连 接 AE，CF相 交 于 点 P， 将 正 方 形 OABC从 OA与 OF重 合 的 位 置 开 始 ， 绕 着 点 O逆 时 针 旋 转 90 ，交 点 P 运 动 的 路 径 长 是 （ ）A 2 B C 4 D 611 如 图 ， 正 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 O， M 为 EF 的 中 点 ， 连 接 DM， 若 O 的 半 径 为 2，则 MD 的 长 度 为 （ ）A B C 2 D 112 若 抛 物 线 y kx2 2x 1 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 则 k 的 取 值 范 围

6、为 （ ）A k 1 B k 1 C k 1 且 k 0 D k 1 且 k 013 如 图 ， 一 个 含 有 30 角 的 直 角 三 角 板 ABC， 在 水 平 桌 面 上 绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 到 A B C 的 位 置 ， 若 BC 的 长 为 15cm， 那 么 AA 的 长 为 （ ）A 10 cm B 15 cm C 30 cm D 30cm14 在 O 中 ， 弦 AB 的 长 为 2 cm， 圆 心 O 到 AB 的 距 离 为 1cm， 则 O 的 半 径 是 （ ）A 2 B 3 C D15 设 A（ 2， y1） ， B（ 1， y2） ， C

7、（ 2， y3） 是 抛 物 线 y （ x+1） 2+1 上 的 三 点 ， 则 y1，y2， y3 的 大 小 关 系 为 （ ）A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y3 y1 y216 二 次 函 数 的 图 象 如 图 所 示 ， 对 称 轴 为 x 1， 给 出 下 列 结 论 ： abc 0； b2 4ac；4a+2b+c 0； 2a+b 0 其 中 正 确 的 结 论 有 （ ）A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个二 填 空 题 （ 共 4 小 题 ， 满 分 8 分 ， 每 小 题 2 分 ）17 在 实 数 范 围 内 定 义 一

8、种 运 算 “ ” ， 其 规 则 为 ab a2 b2 5a， 则 方 程 （ x+2） 0 的 所 有 解 的 和 为 18 如 图 ， 抛 物 线 y x2 2x+k（ k 0） 与 x 轴 相 交 于 A（ x1， 0） 、 B（ x2， 0） 两 点 ， 其 中x1 0 x2， 当 x x1+2 时 ， y 0（ 填 “ ” “ ” 或 “ ” 号 ） 19 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB 90 ， BC 2， AC 6， 在 AC 上 取 一 点 D， 使 AD 4，将 线 段 AD 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 ， 点 D 的 对 应 点 是 点 P，

9、 连 接 BP， 取 BP 的 中 点 F，连 接 CF， 当 点 P 旋 转 至 CA 的 延 长 线 上 时 ， CF 的 长 是 ， 在 旋 转 过 程 中 ， CF 的最 大 长 度 是20 已 知 ， 二 次 函 数 f（ x） ax2+bx+c 的 部 分 对 应 值 如 下 表 ， 则 f（ 3） x 2 1 0 1 2 3 4 5y 5 0 3 4 3 0 5 12三 解 答 题 （ 共 6 小 题 ， 满 分 50 分 ）21 解 下 列 方 程（ 1） x2+4x 1 0（ 2） （ y+2） 2 （ 3y 1） 222 已 知 甲 同 学 手 中 藏 有 三 张 分 别

10、标 有 数 字 、 、 1 的 卡 片 ， 乙 同 学 手 中 藏 有 三 张 分 别 标有 数 字 1、 3、 2 的 卡 片 ， 卡 片 外 形 相 同 现 从 甲 乙 两 人 手 中 各 任 取 一 张 卡 片 ， 并 将 它 们的 数 字 分 别 记 为 a， b（ 1） 请 你 用 树 形 图 或 列 表 法 列 出 所 有 可 能 的 结 果 ；（ 2） 现 制 定 一 个 游 戏 规 则 ： 若 所 选 出 的 a， b 能 使 得 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，则 甲 获 胜 ； 否 则 乙 获 胜 请 问 这 样 的 游 戏 规 则 公 平

11、吗 ？ 请 用 概 率 知 识 解 释 23 用 直 尺 和 圆 规 作 图 ： 作 出 四 边 形 ABCD 关 于 O 点 成 中 心 对 称 的 四 边 形 A B CD （ 保 留 作 图 痕 迹 ）24 如 图 所 示 ， 已 知 AB 是 圆 O 的 直 径 ， 圆 O 过 BC 的 中 点 D， 且 DE AC（ 1） 求 证 ： DE 是 圆 O 的 切 线 ；（ 2） 若 C 30 ， CD 10cm， 求 圆 O 的 半 径 25 已 知 二 次 函 数 y x2 2mx+m2 1（ 1） 该 抛 物 线 与 y 轴 交 于 点 C（ 0， ） ， 顶 点 为 D， 求 点

12、 D 的 坐 标 （ 2） 在 （ 1） 的 条 件 下 ， x 轴 是 否 存 在 一 点 P， 使 得 PC+PD 最 短 ？ 若 P 点 存 在 ， 求 出 P 点的 坐 标 ； 若 P 点 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 26 如 图 ， AB 是 大 半 圆 O 的 直 径 ， AO 是 小 半 圆 M 的 直 径 ， 点 P 是 大 半 圆 O 上 一 点 ， PA与 小 半 圆 M 交 于 点 C， 过 点 C 作 CD OP 于 点 D（ 1） 求 证 ： CD 是 小 半 圆 M 的 切 线 ；（ 2） 若 AB 8， 点 P 在 大 半 圆 O 上 运 动 （ 点 P

13、不 与 A， B 两 点 重 合 ） ， 设 PD x， CD2 y求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；当 y 3 时 ， 求 P， M 两 点 之 间 的 距 离 参 考 答 案一 选 择 题 （ 共 16 小 题 ， 满 分 39 分 ）1 【 解 答 】 解 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故

14、 此 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 故 选 ： C2 【 解 答 】 解 ： 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 横 轴 x 通 过 AB， 纵 轴 y 通 过 AB 中 点 O 且 通 过 C点 ， 则 通 过 画 图 可 得 知 O 为 原 点 ，抛 物 线 以 y 轴 为 对 称 轴 ， 且 经 过 A， B 两 点 ， OA 和 OB 可 求 出 为 AB 的 一 半 2 米 ， 抛 物 线 顶点 C 坐 标 为 （ 0， 2） ，通 过 以 上 条 件 可 设 顶 点 式 y ax2+2， 其

15、中 a 可 通 过 代 入 A 点 坐 标 （ 2， 0） ，到 抛 物 线 解 析 式 得 出 ： a 0.5， 所 以 抛 物 线 解 析 式 为 y 0.5x2+2，当 水 面 下 降 1 米 ， 通 过 抛 物 线 在 图 上 的 观 察 可 转 化 为 ：当 y 1 时 ， 对 应 的 抛 物 线 上 两 点 之 间 的 距 离 ， 也 就 是 直 线 y 1 与 抛 物 线 相 交 的 两 点 之间 的 距 离 ，可 以 通 过 把 y 1 代 入 抛 物 线 解 析 式 得 出 ： 1 0.5x2+2，解 得 ： x ， 所 以 水 面 宽 度 增 加 到 2 米 ， 比 原 先

16、 的 宽 度 当 然 是 增 加 了 2 4故 选 ： C3 【 解 答 】 解 ： 方 程 整 理 得 ： 5x2 1 0，则 一 次 项 系 数 为 0，故 选 ： D4 【 解 答 】 解 ： A、 明 天 气 温 会 升 高 是 随 机 事 件 ；B、 随 意 翻 到 一 本 书 的 某 页 ， 这 页 的 页 码 是 奇 数 是 随 机 事 件 ；C、 早 晨 太 阳 会 从 东 方 升 起 是 必 然 事 件 ；D、 某 射 击 运 动 员 射 击 一 次 ， 命 中 靶 心 是 随 机 事 件 ，故 选 ： C5 【 解 答 】 解 ： （ k+3）2 4 k k2+2k+9 （

17、 k+1） 2+8， （ k+1） 2 0， （ k+1） 2+8 0， 即 0，所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 故 选 ： A6 【 解 答 】 解 ： A、 直 径 是 圆 中 最 长 的 弦 ， 正 确 ， 是 真 命 题 ；B、 不 在 同 一 直 线 上 的 三 个 点 确 定 一 个 圆 ， 故 错 误 ， 是 假 命 题 ；C、 平 分 弦 （ 不 是 直 径 ） 的 直 径 垂 直 于 弦 ， 故 错 误 ， 是 假 命 题 ；D、 同 圆 或 等 圆 中 ， 相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弦 相 等 ， 故 错 误 ， 是 假 命 题 ；故 选

18、： A7 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 得 ， x（ x 1） 210，故 选 ： B8 【 解 答 】 解 ： 连 接 EC，由 圆 周 角 定 理 得 ， E B， ACE 90 ， B EAC， E EAC， CE CA， AC AE 5 （ cm） ，故 选 ： B9 【 解 答 】 解 ： 在 一 个 不 透 明 的 盒 子 里 有 2 个 红 球 和 n 个 白 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 其 余 完 全相 同 ， 摇 匀 后 随 机 摸 出 一 个 ， 摸 到 红 球 的 概 率 是 ， ，解 得 n 8故 选 ： B10 【 解 答 】 解 ： 如 图 ，点 P

19、运 动 的 路 径 是 以 G 为 圆 心 的 弧 ， 在 G 上 取 一 点 H， 连 接 EH、 FH 四 边 形 AOCB 是 正 方 形 ， AOC 90 ， AFP AOC 45 ， EF 是 O 直 径 ， EAF 90 ， APF AFP 45 ， H APF 45 ， EGF 2 H 90 ， EF 8， GE GF， EG GF 4 ， 的 长 2 故 选 ： A11 【 解 答 】 解 ： 连 接 OM、 OD、 OF， 如 图 所 示 ： 正 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 O， M 为 EF 的 中 点 ， OM OD， OM EF， MFO 60 ， MOD O

20、MF 90 ， OM OFsin MFO 2 ， MD ；故 选 ： A12 【 解 答 】 解 ： 二 次 函 数 y kx2 2x 1 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 b2 4ac （ 2） 2 4 k （ 1） 4+4k 0 k 1 抛 物 线 y kx2 2x 1 为 二 次 函 数 k 0则 k 的 取 值 范 围 为 k 1 且 k 013 【 解 答 】 解 ： 连 接 AA A B C 是 由 ABC 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 的 ， BC B C， AC A C；又 ABC 是 含 有 一 个 30 角 的 直 角 三 角 形 ， 从 图 中 知 ，

21、 BAC 30 ， AC 2BC， AB BC；而 BC 15cm； 在 Rt ABA 中 ，AB 15 cm， A B BC+CA BC+AC 45cm， AA 30 cm故 选 ： C14 【 解 答 】 解 ： 过 点 O 作 OD AB 于 点 D， 连 接 OA， AB 2 cm， OD AB， AD AB 2 cm，在 Rt AOD 中 ， OA 2（ cm） ，故 选 ： A15 【 解 答 】 解 ： 函 数 的 解 析 式 是 y （ x+1）2+1， 对 称 轴 是 x 1， 点 A 关 于 对 称 轴 的 点 A 是 （ 0， y1） ，那 么 点 A 、 B、 C 都

22、在 对 称 轴 的 右 边 ， 而 对 称 轴 右 边 y 随 x 的 增 大 而 减 小 ，于 是 y1 y2 y3故 选 ： A16 【 解 答 】 解 ： 二 次 函 数 的 图 象 的 开 口 向 下 ， a 0， 二 次 函 数 的 图 象 y 轴 的 交 点 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ， c 0， 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x 1， 1， 2a+b 0， b 0 abc 0， 故 正 确 ； 抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， b2 4ac 0， b2 4ac，故 正 确 ； 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x 1，

23、抛 物 线 上 x 0 时 的 点 与 当 x 2 时 的 点 对 称 ，即 当 x 2 时 ， y 0 4a+2b+c 0，故 错 误 ； 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x 1， 1， 2a+b 0，故 正 确 综 上 所 述 ， 正 确 的 结 论 有 3 个 故 选 ： B二 填 空 题 （ 共 4 小 题 ， 满 分 8 分 ， 每 小 题 2 分 ）17 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 （ x+2） 2 （ ） 2 5（ x+2） 0，整 理 得 （ x+2） 2 5（ x+2） 6 0，（ x+2 6） （ x+2+1） 0，x+2 6 0 或 x

24、+2+1 0，所 以 x1 4， x2 3，所 以 方 程 （ x+2） 0 的 所 有 解 的 和 为 1故 答 案 为 118 【 解 答 】 解 ： 抛 物 线 y x2 2x+k（ k 0） 的 对 称 轴 方 程 是 x 1，又 x1 0， x1 与 对 称 轴 x 1 距 离 大 于 1， x1+2 x2， 当 x x1+2 时 ， 抛 物 线 图 象 在 x 轴 下 方 ，即 y 0故 答 案 是 ： 19 【 解 答 】 解 ： 当 点 P 旋 转 至 CA 的 延 长 线 上 时 ， 如 图 1 在 直 角 BCP 中 ， BCP 90 ， CP AC+AP 6+4 10，

25、BC 2， BP 2 ， BP 的 中 点 是 F， CF BP 取 AB 的 中 点 M， 连 接 MF 和 CM， 如 图 2 在 直 角 ABC 中 ， ACB 90 ， AC 6， BC 2， AB 2 M 为 AB 中 点 ， CM AB ， 将 线 段 AD 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 ， 点 D 的 对 应 点 是 点 P， AP AD 4， M 为 AB 中 点 ， F 为 BP 中 点 ， FM AP 2当 且 仅 当 M、 F、 C 三 点 共 线 且 M 在 线 段 CF 上 时 CF 最 大 ，此 时 CF CM+FM +2故 答 案 为 ： ， +22

26、0 【 解 答 】 解 ： 由 图 可 知 ， f（ 3） f（ 5） 12故 答 案 为 ： 12三 解 答 题 （ 共 6 小 题 ， 满 分 50 分 ）21 【 解 答 】 解 ：（ 1） 移 项 可 得 ： x2+4x 1，两 边 加 4 可 得 ： x2+4x+4 4+1，配 方 可 得 ： （ x+2） 2 5，两 边 开 方 可 得 ： x+2 ， x1 2+ ， x2 2 ；（ 2） 移 项 可 得 ： （ y+2） 2 （ 3y 1） 2 0，分 解 因 式 可 得 ： （ y+2+3y 1） （ y+2 3y+1） 0， 即 （ 4y+1） （ 3 2y） 0， 4y+1

27、 0 或 3 2y 0， y1 ， x2 22 【 解 答 】 解 ： （ 1） 画 树 状 图 如 下 ：由 图 可 知 ， 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ；（ 2） （ a， b） 的 可 能 结 果 有 （ ， 1） 、 （ ， 3） 、 （ ， 2） 、 （ ， 1） 、 （ ， 3） 、 （ ， 2） 、（ 1， 1） 、 （ 1， 3） 及 （ 1， 2） ， 当 a ， b 1 时 ， b2 4ac 1 0， 此 时 ax2+bx+1 0 无 实 数 根 ，当 a ， b 3 时 ， b2 4ac 7 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实

28、数 根 ，当 a ， b 2 时 ， b2 4ac 2 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，当 a ， b 1 时 ， b2 4ac 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，当 a ， b 3 时 ， b2 4ac 8 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，当 a ， b 2 时 ， b2 4ac 3 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，当 a 1， b 1 时 ， b2 4ac 3 0， 此 时 ax2+bx+1 0 无 实 数 根 ，

29、当 a 1， b 3 时 ， b2 4ac 5 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，当 a 1， b 2 时 ， b2 4ac 0， 此 时 ax2+bx+1 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， P（ 甲 获 胜 ） P（ 0） ， P（ 乙 获 胜 ） 1 ， P（ 甲 获 胜 ） P（ 乙 获 胜 ） ， 这 样 的 游 戏 规 则 对 甲 有 利 ， 不 公 平 23 【 解 答 】 解 ： 作 法 ： 连 接 AO 并 延 长 至 A ， 使 AO A O，同 理 作 出 点 B 、 C 、 D ，将 A 、 B 、 C 、 D 连 接

30、 成 四 边 形 ，则 四 边 形 A B C D 就 是 所 求 作 的 四 边 形 24 【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： 连 接 OD， D 是 BC 的 中 点 ， O 为 AB 的 中 点 ， OD AC又 DE AC， OD DE， OD 为 半 径 ， DE 是 圆 O 的 切 线 （ 2） 解 ： 连 接 AD； AB 是 圆 O 的 直 径 ， ADB 90 ADC， ADC 是 直 角 三 角 形 C 30 ， CD 10， AD OD AC， OD OB， B 30 ， OAD 是 等 边 三 角 形 ， OD AD ， 圆 O 的 半 径 为 cm25 【 解 答

31、】 解 ： （ 1） 把 C（ 0， ） 代 入 y x2 2mx+m2 1 得 m2 1 ， 解 得 m ，所 以 y （ x m） 2 1 （ x ） 2 1，所 以 D 点 坐 标 为 （ ， 1） 或 （ ， 1）（ 2） 存 在 当 D 点 坐 标 为 （ ， 1） ， 设 直 线 CD 的 解 析 式 为 y kx+b， 把 C（ 0， ） 、 D（ ， 1） 代 入 得 ， 解 得 ，则 直 线 CD 的 解 析 式 为 y x+ ， 当 y 0 时 ， x+ 0， 解 得 x ， 此 时 P点 坐 标 为 （ ， 0） ；当 D 点 坐 标 为 （ ， 1） ， 设 直 线 C

32、D 的 解 析 式 为 y kx+b， 把 C（ 0， ） 、 D（ ， 1） 代 入 得 ， 解 得 ，则 直 线 CD 的 解 析 式 为 y x+ ， 当 y 0 时 ， x+ 0， 解 得 x ， 此 时 P 点坐 标 为 （ ， 0） ，所 以 满 足 条 件 的 P 点 坐 标 为 （ ， 0） 或 （ ， 0） 26 【 解 答 】 解 ： （ 1） 连 接 CO、 CM， 如 图 1 所 示 AO 是 小 半 圆 M 的 直 径 ， ACO 90 即 CO AP OA OP， AC PC AM OM， CM PO MCD PDC CD OP， PDC 90 MCD 90 ， 即

33、 CD CM CD 经 过 半 径 CM 的 外 端 C， 且 CD CM， 直 线 CD 是 小 半 圆 M 的 切 线 （ 2） CO AP， CD OP， OCP ODC CDP 90 OCD 90 DCP P ODC CDP CD2 DPOD PD x， CD2 y， OP AB 4， y x（ 4 x） x2+4x当 点 P 与 点 A 重 合 时 ， x 0； 当 点 P 与 点 B 重 合 时 ， x 4； 点 P 在 大 半 圆 O 上 运 动 （ 点 P 不 与 A， B 两 点 重 合 ） ， 0 x 4 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y x2+4x，自

34、变 量 x 的 取 值 范 围 是 0 x 4当 y 3 时 ， x2+4x 3解 得 ： x1 1， x2 3 当 x 1 时 ， 如 图 2 所 示 在 Rt CDP 中 ， PD 1， CD tan CPD ， CPD 60 OA OP， OAP 是 等 边 三 角 形 AM OM， PM AO PM 2 当 x 3 时 ， 如 图 3 所 示 同 理 可 得 ： CPD 30 OA OP， OAP APO 30 POB 60过 点 P 作 PH AB， 垂 足 为 H， 连 接 PM， 如 图 3 所 示 sin POH ， PH 2 同 理 ： OH 2在 Rt MHP 中 ， MH 4， PH 2 ， PM 2 综 上 所 述 ： 当 y 3 时 ， P， M 两 点 之 间 的 距 离 为 2 或 2