2019年1月北京市石景山高三数学理科期末试卷及答案

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1、石景山区 20182019 学年第一学期高三期末试卷数 学（理）本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 ， ，则 |0PxR 1,02QPQA. 1,2B. ,2C. ,D. 0,122. 设 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数为i i1zzA. +B. iC. 1iD. i3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为nA. 3B. 4C. 5D. 6

2、4. 下列函数中为偶函数的是A. ln(1)l()yxB. ln(1)l()yxC. cos D. cos是否 0,1Sna开始结束20S2a输出 n 出fdnjfnnn2a15. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为A. 43B. 8C. 43D. 86. 已知平面向量 ，则下列关系正确的是131(,)(,)22abA. ()bB. (abC. ()aD. )()7. 在 中， ，则 的面积为ABC 7,360cABCA. 1532B. 154C. 123D. 638.已知函数 则下列关于函数 的零点个数2,log0axf 1yfx的判断正确的是A. 当 时，有 4 个零点；当 时，有

3、 1 个零点0aaB. 当 时，有 3 个零点；当 时，有 2 个零点0C. 无论 为何值，均有 2 个零点D. 无论 为何值，均有 4 个零点a第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 在 的展开式中， 的系数为_ （用数字作答）5(12)x3x10. 设 为等差数列 的前 项和， ，则其通项公式 _ nSna13,8aSna11. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值等于_,xy12xyx zxy12. 写出“ ”的一个充分不必要条件_1213. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为 ，点 在双曲线上，且线段1(5,0)FP的中点坐标为 ，则双

4、曲线的离心率为_1PF(0,2)14. 2018 年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于 2019 年全面施行不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自 2018 年 10 月至 2018 年 12 月，先将工资所得税起征额由 3500 元/月提高至 5000 元/ 月，并按新的税率表（见附录）计算纳税按照税法规定，小王 2018 年 9 月和 10 月税款计算情况分别如下:月份 纳税所得额起征额应纳税额适用税率速算扣除数 税款税后工资9 6000 3500 2500 10% 105 145 585510 6000 5000 1000 3% 0 30 5970（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得

5、额起征额，税款=应纳税额 适用税率速算扣除数，税后工资=纳税所得额税款 ）（1）某职工甲 2018 年 9 月应纳税额为 2000 元，那么他 9 月份的税款为_元；（2）某职工乙 2018 年 10 月税后工资为 14660 元，则他享受减税红利为_元附录：原税率表（执行至 2018 年 9 月） 新税率表（2018 年 10 月起执行）应纳税额 税率 速算扣除数 应纳税额 税率 速算扣除数不超过 1500 元 3% 0 元 不超过 3000 元 3% 0 元1500 元至 4500 元 10% 105 元 3000 元至 12000 元 10% 210 元4500 元至 9000 元 20

6、% 555 元 12000 元至 25000 元 20% 1410 元9000 元至 35000 元 25% 1005 元 25000 元至 35000 元 25% 2660 元 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题 13 分）函数 的部分图象如图所示. ()sin()0,|)2fxAx（）求 的最小正周期及解析式；（）设 ，求函数 在区间 上的最小值.()cosgxfx()gx0,216. （本小题 13 分）年 月，某校高一年级新入学有 名学生，其中 名男生， 名女2018936020160生学校计划为家远的高一新生提供 间男生宿舍和

7、间女生宿舍，每间宿舍可住 2 名54同学该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取 40 名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：km5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.35 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.73.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.46.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6（）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为 ，他是否能住8.kmOy x11433宿？说明理由；（）通过计算得到男生样本数据平均值为 ，女生

8、样本数据平均值为 ，5.1km4.875km求所有样本数据的平均值；（）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率17. （本小题 14 分）如图，在 中， 可以通过 以直AOB 90,2,1AOBAOC AB线 为轴旋转得到，且 ，动点 在斜边 上CD（）求证：平面 平面 ；D（）当 为 的中点时，求二面角 的余弦值；ABB（）求 与平面 所成的角中最大角的正弦值CO18. （本小题 14 分）已知抛物线 经过点 ，其焦点为 为抛物线上除了原点外2:Cypx(1,2)PFM的任一点，过 的直线 与 轴， 轴分别交于 Mly,AB（）求抛物线 的方程以

9、及焦点坐标；（）若 与 的面积相等，求证：直线 是抛物线 的切线BF A lC19. （本小题 13 分）已知函数 ()lnfxaxDAOCB（）当 时，求 在 处的切线方程；0a()fx1（）当 时，若 有极小值，求实数 的取值范围f a20.（本小题 13 分）将 1 至 这 个自然数随机填入 方格的 个方格中，每个方格恰填一个数2nn2（ ）对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这*,N个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值 ”2()（）若 ，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；n（）当 时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为 ；31n（）求证：

10、对任意一个填数法，其“特征值”不大于 1n石景山区 2018-2019 学年第一学期高三期末数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C B B A C D A二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分 9 ； 10 ； 11 ； 803n412 ；（答案不唯一） 13. ； 14. ， 2x 951三、解答题：本大题共 6个小题，共 80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题 13 分）解：（）由图可得 1,A，所以 . 423T2,1T当 时， ，可得 ， x)(xfs

11、in()3|,.26. ()sin)fx（）cosi()cosincsosinc66gfxxxx. 31sinin()2. 0,63xx 当 ，即 时， 有最小值为 . 6x0x)(xg2116.（本小题 13 分）解：（）能住宿.因为 200 名男生中有 10 名男生能住宿，所以 40 名男生样本中有 2 名男生能住宿。 样本数据中距离为 8.4km 和 8km 的男生可以住宿，距离为 7.5km 以下的男生不可以住宿，由于 8.3 8，所以男生甲能住宿。 （）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为 32 人. 所有样本数据平均值为 . 405.1324875（）解法一：记住宿的双胞胎为 ，其

12、他住宿女生为 . 12,A123456,BB考虑 的室友，共有 七种情况，1A23456,B所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 17解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 ，A则 .26481()7CPA所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 1717.（本小题 14 分）（）证明：在 中， ，AOC ，且 ，BB=OIzyxDAOCB 平面 ， OCAB又 平面 ，D平面 平面 （）解：如图建立空间直角坐标系 ， xyz 为 的中点，DAB ， ， ， ， ，(0)O， ， (02)， ， (10)B， ， ()C， ，1(0)2D， ， ， ， ，(1)C=ur， ， ur，

13、 ， ()=ur， ，02BD， ，设 为平面 的法向量，11()nxyzur， ， OCD 即 10C=Dr， 102x+z， ，令 ，则 ，1z1y 是平面 的一个法向量， (0)nur， ， BC设 为平面 的法向量，22xyz， ， OD 即20nB=Dur， 2201xy+z=，令 ，则 ， ，21z2xy 是平面 的一个法向量， ()nur， ， OC ，12122220()15cos| nurr，二面角 的余弦值为 BCDO5（）解法一: 平面 ，A 为 与平面 所成的角， ，1C点 到直线 的距离最小时， 的正弦值最大，OABCDO即当 时， 的正弦值最大，D此时 ， ，253

14、5 sinCO=解法二：设 ，所以 ADBur(0,2)(1,2)C=平面 的法向量 ，O(1,)nr所以 22| 1si 49585()Dur所以当 时， 与平面 所成的角最大， 45CAOB5sin318.（本小题 14 分）解：（）因为抛物线 经过点 ，2:Cypx(1,2)P所以 ， 2所以抛物线 的方程为 ，焦点 点坐标为 24yxF(1,0)（）因为 与 的面积相等，BMF A所以 ，所以 为 的中点 设 ，则 00(,)xy0(,)Bx所以直线 的方程为 ， l02y与抛物线 联立得：24yx，2082200646411xxy所以直线 是抛物线 的切线 lC19.（本小题 13

15、分）解：（）当 时， ， . 0a()lnfx()ln1fx， (1),f所以 在 处的切线方程为 . xyx（） 有极小值 函数 有左负右正的变号零点. ()f()fx1lnln1afx令 ，则()gf 2()xgx令 ，解得 .()0gxxa的变化情况如下表：, (0,)a(,)gx- 0 +(减 极小值 ln2增 若 ，即 ，则 ，所以 不存在变号零点，不ln20a 2ae ()0gx ()fx合题意. 若 ，即 时， ， .l2e()ln2a(1)0ga所以 ，使得 ；0(,1)xa0gx且当 时， ，当 时， .,()0(,1)x()0gx所以当 时， 的变化情况如下表：(,1)xa

16、,)xf0(ax0(,1)fx 0 +(减 极小值 增所以 . 20ae20.（本题 13 分）解：（） 3 21 4此填数法的“特征值”为 .2或7 1 45 8 23 6 93 分（）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（）不妨设 A 为任意一个填数法，记此填数法的 “特征值”为 ,()CA考虑含 n+1 个元素的集合 ，2221,Bnn， ， ，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为 2x也必有至少两个数处于同一列，设为 .1y若21max(,)yn则有 （因为 ）.21(,)1nCA 3+1n若 ，即 ，21ax,yn2xy则 ， 222mi(,)所以 .221()1()xynnCAn 即不论何种情况，总有 . 13 分()A【若有不同解法，请酌情给分】