2019年1月北京市东城区高三数学文科期末试卷及答案

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1、东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2019.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则 |20Ax2,10,BAB（A） （B） （C） （D）,1 1,02,10（2）下列复数为纯虚数的是（A） （B） （C） （D）2i2ii 2(i)（3）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在射线 上，

2、则 的值是xOyax0yx=cosa（A） （B） （C ） （D）552525（4）若 满足则 的最小值为,xy23,xy y（A） （B） （C ） （D）04510（5）执行如图所示的程序框图，输入 ，那么输出的5,3nmp值为（A） （B） 36060（C） （D ） 12（6）设 为实数，则“ ”是“ ”的,abcd,abcdacbd（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（A）2 （B） 5（C） （D ）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放

3、的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级E之M间的关系为 . 已知两次地震里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量lg4.815EM=+分别为 和 ，则 的值所在的区间为12（A） （B） （C） （D）(,)(5,6)(7,8)(15,6)第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9 ）已知向量 ， ，若 ，则 .(1,2)=-a(,)mbab（10）在 中，已知 ， ， ，则 .ABC2sin10A3cos5Cc（11）若等差数列 和等比数列 满足 ， ，试写出一组满足条件的数列nab1,2ab321a和 的通项公式: ，

4、.nbn=n=（12）过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，交双曲线于 两点， 为21(0,)xyabFx,ABO坐标原点，若 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率 _.OABe（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：127,0,()9,3.5xf某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 ；40% 26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 .2其中正确的结论序号有 . （注：请写出所有正确结论的

5、序号）（14）已知函数 ， .若 ，都有 ，则 a3()4fx=-()sin(0)gxw=,xa“-()0fxg的最大值为_；此时 =_.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知等差数列 满足 na1=, 2410a+. () 求 的通项公式； () 若 ,求数列 的前 n 项和.2nanb+b（16） （本小题 13 分）已知函数 .2()sinco3sinfxx=-() 求 的最小正周期；() 求证：对于任意的 ，都有 ,36x3fx（17） （本小题 13 分）某中学有学生 500 人，学校为了解学生课外阅读时间，从

6、中随机抽取了 50 名学生，收集了他们 2018年 10 月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为 5 组： ， ，10,2),14)， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.14,6),18),20（）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数；（）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在 ，现从课外阅读时间在 的样18,2018,20本对应的学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女生的概率；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生 2018 年 10 月课外阅读时间的平均数. （18） （本小

7、题 14 分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 1ABC11ABC， ， ， 为 中点. 12E1C（I） 求证： 平面 ；11(II) 求三棱锥 的体积；B（III） 设平面 与直线 交于点 ，求线段 的长.EA1CH1B（19） （本小题 13 分）0.8512阅 读 时 间频 率 /组 距 18641220.5已知函数 ，aR21()xfae=-() 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；()yf0,()f() 求 的单调区间()fx（20） （本小题 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，其左焦点为 .直线:C21(0)xyab21(,0)F交椭圆 于不同的两点 ，直线 与椭圆 的另一个交

8、点为 .:()0lyk=+ ,AB1CE（I）求椭圆 的方程；（II）当 时，求 的面积；121FB（III）证明：直线 与 轴垂直 .AEx东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）B （6）A （7）D （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）1 42（11） , （答案不唯一） （12） na=-2nb15（13） （14）4， 2三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解

9、：（I）设 的公差为 ,nad因为 ， 所以 . 24310+=35a=所以 3154.ad-解得 .所以 7 分1()(1)2.nn（）由（I）知， ，2nb-=+所以 的前 n 项和为13211213(2)()nn-+-+LLL= 4n+-= . 13 分2(41)3n-（16） （共 13 分）解:（） 2sicosifxx11coin32x13sin2cos2xx. 5 分i所以 的最小正周期 . 7 分fx2T（）因为 ，所以 .363x所以 .2x所以 3sinsin().32所以 .()i2fx所以对于任意的 ，都有 13 分,363fx（17） （共 13 分）解：（） ，0.

10、12.05.0即课外阅读时间不小于 小时的样本的频率为 . 603因为 ，5.3所以估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 小时的学生人数为16. 10.5分（）阅读时间在 的样本的频率为 .18,200.5210因为 ，即课外阅读时间在 的样本对应的学生人数为 .5.58, 5这 名学生中有 名女生， 名男生，设女生为 ， ，男生为 ， ， ，3ABCDE从中抽取 人的所有可能结果是：2， ， ， ， ，(,)AB(,)C(,)AD(,)E(,)BC， ， ， ， .E其中至少抽到 名女生的结果有 个，17所以从课外阅读时间在 的样本对应的学生中随机抽取 人，至少抽到

11、名女生的所求概率为8,20 21. 11 分710（）根据题意， .1.130.510.7+（小时）. .529468+=由此估计该校学生 年 10 月课外阅读时间的平均数为 小时 .13 分04.68（18） （共 14 分）解：（）因为三棱柱 中，侧棱垂直于底面，1ABC所以 平面 .1因为 平面 ，1所以 .1又因为 ， ，1BCA11B所以 平面 .1因为 平面 ，1所以 .1因为 ，所以四边形 为菱形.2AB1AB所以 .11因为 ，C所以 平面 . 5 分11（） 由已知， 平面 ， 平面 ，BA1B1AC所以 .1因为 ， ，C11所以 平面 .1AB又 ，故 到平面 的距离为

12、.211BC2因为 为 中点，所以 点到平面 距离为 .E1E1所以 9 分11233BCEBV（）在三棱柱 中，A因为 ， 为平面 与平面 的公共点， H1AC所以平面 平面 .EAB1CEH因为平面 平面 ， 平面 ，/ABC所以 平面 ./1又平面 平面 , 所以 ./EHAB又 ，所以 .11/B因为 为 中点, 所以 为 中点 .C1C所 以14 分112BH（19） （共 13 分）解：（） 的定义域为 ,()fxR 1(1)xaeae=+-=+-当 时， ， ，(0)f0f所以曲线 在点 处的切线方程为 7 分yx,()0y=() . (1)1)xfxaeae=+-=+-(1)

13、当 时， ，00x-()f1x-()0fx所以 的单调递增区间为(，1) ，单调递减区间为(1，+).)fx(2) 当 时，令 ，得 ， .0a)0f=1x-2lna=-当 ，即 时， ，ln1-ae()0f所以 的单调递增区间为(，+) ，无单调递减区间；)fx当 ，即 时，ln1a-当 时， ；当 时， .lx-()0fx-或 ()0fx所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；()f ln,1)a- ,lna-1,)-+当 ，即 时，ln1a-0ae-()0fx所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， . ()f 1,ln)a- ,1-ln,)a+13 分（20） （共 14

14、分）解：（I） 由已知有 解得22,1.cab2,1.abc所以椭圆 的方程为 . 5 分C21xy（II）由 消去 ，整理得 .2(),1ykx222()8()0kxk由已知， ，解得 .22(8)4()0k2设 ，则12(,)(,)AxyB21284,30.kx2221115()4.3kxkxx直线 的方程为 ， 到直线 的距离 .l0y1(,)Fld所以 的面积为 . 10 分1FAB25123d（III）当 时， .2x2y此时直线 的斜率为 ，由（II）知不符合题意，所以 .l221x设直线 的斜率为 .1BF2(1)ytx则直线 的方程为 .1t由 消去 ，整理得 .2(),ytxy22(1)4()0txt设 ，则有 .3(,)Exy 222322()1441()yxytxx由 得 ，代入上式整理得 ，21y22233x解得 .234x因为 ，2121231 3()43xxx将 ， 代入，整理得 ，2128kx218k310x所以 . 所以直线 与 轴垂直. 14 分31AEx