广东省茂名市2019届高三第一次综合测试数学（文）试卷含答案（扫描版）

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1、- 1 - 4 - 6 - 7 - 8 -绝密启用前 试卷类型：A2019 年茂名市高三级第一次综合测试文科数学参考答案及评分标准 2019.1一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A D C B D B C A A B1【解析】 A 包含的整数有 1, 2， B=0, 1, 2， A B=1, 2答案：C2【解析】(1+i)( a+i) a 1+(a+1)i 为实数， a+1=0，得 a= 1答案：C3【解析】评价等级为 A 的人数是：50041%=205 人答案：A4【解析】设双曲线的焦距为

2、2c，依题意 2a22b2=a2+b2，即 a2=3b2 ,又 b2=c2a2， a2=3(c2a2), 即243，双曲线的离心率为3答案：D5【解析】由可能 a ,也可能 a , A 错；B 中的直线 a, b 平行，也可能异面，B 错；C 正确；D 中的直线 a, b 也可能异面；D 错答案：C6【解析】如图，11()33BEAA21233Ab答案：B 7【解析】依题设得 ()cos)3fx，所以 A, B, C 正确答案：D8【解析】函数 y=loga(x+4)+2(a0 且 a1)的图像恒过 A(3, 2)，则32sin,cos,131以 sin2 =2sin cos =123答案：B

3、.9【解析】设矩形模型的长和宽分别为 x, y，则 x0, y0，由题意可得 2(x+y)=8，所以 x+y=4，所以矩形菜园的面积 S=xy2()4，当且仅当 x=y=2 时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为 2cm 时，面积最大，为 4cm2答案：C10.【解析】显然 f(x)是奇函数，图像关于原点对称，排除 D；在区间(0, 2)上，sin2 x0，sin x0，即 f(x)0，排除 B 和 C；答案：A11【解析】如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， DC AB，相交直线 D1B 与 AB 所成的角是异面直线 D1B 与 DC 所成的角.连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1

4、，得 AB AD1.在 Rt ABD1中， ABD1就是 D1B 与 DC 所成的角，即 ABD1=60 ，又 AB=2， AD1=ABtan60=2 3在 Rt ADD1中， D1D= 212，设长方体外接球半径为 R，ED CBABCAB1C1A1DD1- 9 -则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得 4R2=D1B2=AD2+DC2+D1D2=4+4+8=16，长方体外接球表面积是 4R 2=16 答案：A12解析： g(x)有两个零点,即方程 f(x)ax=0 有两个不等的实根 . 也就是函数 y=f(x)与 y=ax 有两个交点，如图，作出 y=f(x)的图象，而 y=ax 是过原

5、点的直线，当 a0 时，求出 y=ax 与 y=lnx 相切时的斜率 a=1e，数形结合，当且仅当 0 a1e时， y=ax 与 y=f(x)有两个交点.当 a0 时， y=ax 与 y=f(x)恒有两个交点.当 a=0 时， y=ax 与 y=f(x)只有一个交点.综上得 a 的取值范围是(, 0)(0, 1e)答案：B.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.130 144 15 26 166 13【解析】 f(x)是奇函数，所以 f(1)= f(1)， 221()()a，解得 a=0答案：014【解析】：作出不等式组所表示的可行域如图所示：当动直线 y= 2x+z 过

6、点 A(2,0)时， zmax=22+0=4 答案：415【解析】如图所示,设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则 AOB=75, ABO=45, 所以 OAB=60由正弦定理知,10=sin45i7sin6OB，所以 OA=1063(米)，15263A(米)， 25A(米)答案： 5216【解析】如图，由题设，得圆心 C(3,1),半径r= 2,2， 直线 OA 的方程为 x+y=0，则 OAM 边 OA 上的高 h 就是点 M 到直线 OA 的距离，圆心 C(3, 1)到直线 OA 的距离为|31|2d，可得圆 (x3)2+(y1)2=2 上的点 M 到直线 OA 的距离的最

7、大值为 hmax=d+r=3 2,故 OAM 面积的最大值 max12362SOAh答案：6三、解答题：共 70 分. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17解：()由 a1=1, 2nna得 1223a，2135a，O xA1yM1-2 32Cy=axxy11Oy= 2x+zxy22Oxy=0x+y=2AO BA75 神，举办“好心茂名杯”美术书法作品比赛，某赛区现收到50件参赛作品，为了解作品质量，现要从中抽取10件作品进行抽样统计，将这50件作品按150 编号，按各组内抽取的编号依

8、次增加 5进行系统抽样.（）若第 5组抽出的号码为23，写出第一组被抽出作品的编号；（）若这10件作品的成绩如下：65,82,78,86，96,81,73,84，76,59，请绘制以上数据的茎叶图，并求该样本的中位数和方差；（）在（）的条件下，从这10件作品中随机抽取两件成绩在平均分以上（含平均分）的作品，求成绩为82分的作品被抽取到的概率【解析】（）由各组内抽取的编号依次增加5 进行系统抽样，且第5 组抽出的号码为23，设+x5（5-1）=23，解得 3x，所以第1 组抽出的号码应该为3，抽出的10名职工的号码分别为3，8，13，18，23，28，33，38，43，48（）平均数为 1 78

9、096824867386590 1x样本数据的中位数为： 7819.52方差为 2222221 108834685039.0S（）从这10名学生中随机抽取两名成绩在平均分以上（含平均分）的学生的基本事件有：（78，81） ，（78，82） ，（78，84） ，（78，86） ，（78，96） ，（81，82） ，（81，84） ，（81，86） ，（81，96） ，（82，84） ，（82，86） ，（82，96） ，（84，86） ，（84，96） ，（86，96） 共有15个；设事件 A为成绩为82分的学生被抽取到，则事件 A包含的基本事件有：（78，82） ，（81，82） ，（82，8

10、4） ，（82，86） ，（82，96） ，共 5个；故所求概率为 .153PA所以成绩为82分的学生被抽取到的概率为.131045D1- 10 -341572a，即 a2, a3, a4的值分别为1,5733 分()(法一)证明：由 1nn得 12na，5 分 12na，又 a1=1, ， .6 分数列 是首项为 ，公差为 2 的等差数列.7 分()(法二)证明：由 a1=1, 1nna，得 1，12nna4 分112nnnaa6 分因此，数列 n是首项 1，公差为 2 的等差数列7 分()由()得 2()na， an的通项公式为 1n 8 分 cn=anan+1=()2(2)n，9 分 S

11、n=c1+c2+c3+cn111)()5732n10 分= (). 12 分18()证明：依题意， AD BC， 由翻折的不变性得， AD DE， AD DS，2 分又 DS DE=D， DE、 DS 平面 SDE，3 分 AD平面 SDE， 4 分 AD 平面 ADEF，平面 ADEF平面 SDE；.5 分()解法一：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF，EF 为 ADC 的中位线， EF AD 且 EF=12AD=3.6 分由题设得四边形 ADEF 为直角梯形， AD=6， DE =3， S ADEF=12(AD+EF)DE=12(6+3)3=7 .7 分在平面 SDE内，作

12、SO DE， O为垂足，由()知平面 ADEF平面 SDE，平面 ADEF平面 SDE=DE， SO 平面 SDE， SAFED第18题图(2)OG- 11 - SO平面 ADEF，即 SO是四棱锥 SADEF的高.8 分在 SDE 中，设 G 是 SD 的中点，连接 GE，依题设知 ES=DE=3， DS=4，故 EG DS， EG= 25ES 10 分利用等面积得 SO=453DE 11 分四棱锥 SADEF 的体积为45271163SADEFAEFVSO12 分解法二：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF，EF 为 ADC 的中位线， EF AD 且 EF= 2AD=3.6

13、分由题设得四边形 ADEF 为直角梯形， AD=6， DE =3， S ADEF=12(AD+EF)DE=12(6+3)3=7 .7 分在平面 SDE内，作 SO DE， O为垂足，由()知 AD平面 SDE，SO 平面 SDE， SO AD，又 AD DE=D， AD、 DE 平面 ADEF， SO平面 ADEF，即 SO是四棱锥 SADEF的高.8 分在 SDE 中，依题设知 ES=DE=3， DS=4，由余弦定理得: 221cos 9E，又 DES(0, )sin DES=459，故451sin329DESDES10 分利用等面积得 25,SO45，11 分四棱锥 SADEF 的体积为2

14、7116533SADEFAEFVS12 分19解：()根据题意绘制茎叶图如下：()样本数据的中位数为：7819.523 分596573688124696. . .2 分SAFED第18题图(2)O- 12 -平均数为7801(96+8246+73865+9)0 1x，方差为2 22221083()(39)=.s6 分()成绩在平均分以上(含平均分)的作品有：78，81，82，84，86，96 共 6 件；7 分从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：(78, 81），(78, 82），(78, 84)，(78, 86)，(78, 96)，(81, 82)，(81,

15、84)，(81, 86)，(81, 96)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)，(84, 86)，(84, 96)，(86, 96)共有 15 个；9 分设事件 A 为成绩为 82 分的作品被抽取到，则事件 A 包含的基本事件有：(78, 82)，(81, 82)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)共 5 个； 10 分51().3P11 分因此，成绩为 82 分的作品被抽取到的概率为1312 分20解：()依题意得 F(0, 2p), 设 P(x0, y0)，由 PF 的中点坐标为5(2,)，得0+x0=22 且 +y0=25， x0=4， y0=5 2p

16、 .2 分 P(x0, y0)在抛物线 x2=2py 上，16=2 p(5 )，即 p210p+16=0，解得 p=2 或 p=8(舍去) . . . 4 分抛物线 C 的方程为 x2=4y； . . . 5 分()(法一)依题意直线 l 的斜率存在，设直线 l： y=kx+2， M(x1, y1), N(x2, y2)，则 Q(x1, y1)，. 6 分联立 24,xyk，消去 y 得 x24kx8=0，显然0，由韦达定理得 124,8.kx.7 分212121QNx， . . . .8 分直线 QN 方程为211()4xy， . . . .9 分即21222 11211() ,444xx

17、xxy 10 分 x1x2 = 8, QN 方程为 y, . .11 分即直线 QN 方程恒过定点(0, 2) . .12 分(法二)依题意知直线 QN 的斜率存在且不为 0，设直线 QN 方程为 y=kx+b， Q(x1, y1)， N(x2, y2)， 则 M(x1, y1) . . .6 分- 13 -联立 24,xykb，消去 y 得 x24kx4b=0 Q， N 是抛物线 C 上不同两点，必有0, 由韦达定理得12,.k . . 7 分 M, A, N 三点共线, 12(,),(,)AMxyAxy， x1(y2 2) x2(y1 2)=08 分 122()0xkbkb， 1(，即 (

18、4)0kbk化简得： 0kb,9 分 k0， b= 2 . . .10 分直线 QN 方程为 y=kx 2, . . .11分直线 QN 恒过定点(0,2) . . .12 分21解：()122ee()xxxaf a . . .1 分由切线斜率 k=12，解得 a=2. . .2 分1e()xf，其定义域为(,0)(0,+) ，12()exf. . .3 分令 0，解得 x1，故 f(x)在区间(1,+) 上单调递增；. .4 分令 ()fx0，解得 x1，且 x0，故 f(x)在区间( ,0) 和区间(0,1上单调递减； .5 分()由()知 g(x)= exlnx12，定义域为(0,+)

19、从而 g(x)1 等价于 ln， . . . .6 分设 h(x)=xlnx(x0)，则 ()l1hx，1()ln0eh.当 x(0, e)时， 0，当 x( ,+) 时， ()x0. . . .7 分故 h(x)在区间(0, 1)上单调递减，在区间( e,+) 上单调递增，. .8 分从而 h(x)在(0,+) 的最小值为 h(1)=. .9分设 m(x)=2e(x0)，则 ()exm，当 x(0, 1)时， 0，当 x(1,+) 时， ()mx0. . .10 分故 m(x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1,+) 上单调递减，从而 m(x)在(0,+) 的最大值为 m(1)=1e，

20、- 14 -综上所述，在区间(0,+) 上恒有 h(x) m(x)成立，即 g(x)1.12 分22解：()设点 Q 的坐标为( x, y)， Q 为线段 OP 的中点，点 P 的坐标为(2 x, 2y).1 分由点 P 在椭圆上得22)(10，化简得点 Q 的轨迹的直角坐标方程为 153 .2 分将 x= cos ， y= sin ，代入得22cosin153，化简可得点 Q 的轨迹的极坐标方程为 (i)5.5 分()(法一)把直线 l 参数方程1,23xty(t 为参数)代入得23415t，化简得：2103t7 分 1230,tt. . . .8 分设 M、 N 两点对应的参数分别为 t1

21、， t2，由直线参数方程 t 的几何意义得弦长 1230|t.10 分(法二)由直线 l 参数方程,2xty(t 为参数)知，直线 l 过极点，倾斜角为 3，.6 分直线 l 的极坐标方程为 R3.7 分由 22,3(sin)15,解得： 1,0和 2,30.9 分弦长 123|MN.10分(法三)由直线 l 参数方程1,32xty(t 为参数)知，直线 l 的普通方程为 3yx，.6 分联立2315yx， ，解得1062xy，和23061.xy，.8 分弦长21130|()()MNx.10 分23解：由已知 f(x)=|2x+1|xa|= 11,23,xax (a0) - 3 -1 分()当 a=1 时， f (x)=12,3,x 由 f(x)1，得1,2x或1,3或 ,2，即 x 3 或1 x1 或 x1.3 分 x3 或 x ，即不等式 f(x)1 的解集 x | x3 或 x1 5 分()函数 f(x)的解析式知当 x12时， f(x)单调递减，当 2 x a 时， f(x)单调递增，当 x a 时，f(x)单调递增.当 x=12时， f(x)取得最小值 f(x)min= f(12)= a 8 分由 a2，解得 a32, 又 a0，实数 的取值范围是(0, ).10 分