江西省抚州市南城2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷含答案（pdf版）

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1、 南城一中 2019 届 高三 年级上学期期末联 考 理 科 数 学 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1 设集合 0, 1, 2, 3, 4A ， 2 12B x x，则 AB （ ） A 4 B 1, 2, 3 C 0, 1, 2, 3 D 3, 2, 1,0,1, 2,3 2 设复数 1z 与 2z 是互为共轭复数 ， 1 1iz ，则 12zz （ ） A -2 B 2 C 1i D 1i 3在 ABC 中 ， 三个内角 A， B， C 满足 sin2A sin2B sin2C 3sin Asin B， 则角 C 的大小

2、为 ( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4 等差数列 na 的前 11 项和 11 88S ，则 39aa（ ） A 8 B 16 C 24 D 32 5长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1AB ， 2AD ， 1 3AA ，则异面直线 11AB 与 1AC 所成角的余弦值为 （ ） A 1414 B 8314 C 1313 D 13 6.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图： 2015 年高考数据统计 2

3、018 年高考数据统计 则下列结论正确的是（ ） A与 2015 年相比， 2018 年一本达线人数减少 B与 2015 年相比， 2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C与 2015 年相比， 2018 年艺体达线人数相同 D与 2015 年相比， 2018 年不上线的人数有所增加 7 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A 8 B 28 C 83 D 82 3 8直线 0ax by 与 圆 22 0x y ax by 的位置关系是 （ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定 9.已知函数 11 lnfx xx ，则 y f x 的图象大致为 （ ） A B C D

4、10 若将函数 si n 23f x x 的图象向左平移 0 个单位，所得图象关 于原点对称，则 最小时， tan （ ） A 33 B 33 C 3 D 3 11 过抛物线 2 4yx 的焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，以 AF 、 BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M ， N ，则 MN （ ） A 233B 3 C 433D 23 12 已知函数 2 ,01,0x x a xfx xx 的图像上存在不同的两点 A ， B ，使得 曲线 y f x在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1,4 B 2, C 12,4 D 1, 2 ,

5、4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 已知 3a ， 2b ，若 a b a ，则 a 与 b 的夹角是 _ 14 设 x ， y 满足约束条件 10103xyxyx 则 23z x y的最小值是 _ 15 设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 22ab 2cos cosa B b A ， 且 ABC 的面积为 25，则 ABC 周长的最小值为 _ 16 如图，图形纸片的圆心为 O ，半径为 6cm ，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 O ， E ， F ， G ， H ， 为圆 O 上的点， ABE ， BCF ，CDG ， A

6、DH 分别以 AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起 ABE ， BCF ， CDG ， ADH ，使得E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为 _ 三、解答题：本大题 共 6 大题 ，共 70分 ， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 17 （ 12 分） 已知在数列 na 中， nS 为其前 n 项和，且 2nS n n N，数列 nb 为等比数列， 公比 111,q b a，且 2 4 32 , ,3b b b 成等差数列

7、. （ 1）求 na 与 nb 的通项公式；（ 2）令 nn nac b，若 nc 的前项和为 nT ，求证： 6.nT 18 （ 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60ABC ，PAB 为正三角形 ， 且侧面 PAB 底面 ABCD ， E 为线段 AB 的中点， M 在线段 PD 上 （ 1） 当 M 是线段 PD 的中点时 ， 求证： PB 平面 ACM ； （ 2） 是否存在点 M ，使二面角 M EC D的大小为 60 ，若存在，求出 PMPD的值；若不存在，请说明理由 19 （ 12 分） 中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军

8、。在中国海军加快建设的 大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国 9 省 9 所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。 2017 年 4 月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有 10000 名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收 50 名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称 “ 活动 ” ），这批海航班学员在10 月参加活动的次数统计如 图所示： （ 1）从海航班

9、50 名学员中任选 2 名学员，他们 10 月参加活动次数恰好相等的概率 ； （ 2）从海航班 50 名学员中任选 2 名学员，用 X 表示这两学员 10 月参加活动次数之差绝对值，求随机变量 X 的分布列及数学期望 20 （ 12 分）已知椭圆 22: 1 0xyC a bab 的一个焦点与抛物线 2 43yx 的焦点重合，且直线 byxa与圆 22 10 20 0x y x 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设斜率为 k 且不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，直线 OA ，OB 的斜率分别为 1k ， 2k ，若 1k ， k ， 2k 成

10、等比数列，推断 22OA OB 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 21 （ 12 分） 已知函数 1 ln 12mf x x m Rx 的两个零点为 1x ， 2 1 2x x x （ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）求证：121 1 2exx 请考生在 22、 23两题中任选一题作答 ，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （ 10 分）【 选修 4-4：坐标系与参数方程 】 已知直线 l 的参数方程为14232xtyt （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l

11、 的极坐标方程； （ 2）若直线 6R 与曲线 C 交于点 A （不同于原点），与直线 l 交于点 B ，求 AB 的值 23 （ 10 分）【 选修 4-5：不等式选讲 】 已知函数 2f x x a x （ 1）当 1a 时，求不等式 3fx 的解集； （ 2） 0xR ， 0 3fx ，求 a 的取值范围 高三上学期期末理数参考答案 1 C2 B 3.A 4 B 5.A 6 D7 C 8 B 9 A 10 C 11 A 12 C 13 150 14 6 15 10 2 10 16 3500 3 cm27 连接 OE 交 AB 于点 I ，设 E ， F ， G ， H 重合于点 P ，正

12、方形的边长为 0xx ， 则2xOI， 62xIE， 该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍， 24 6 222xx x ，解得 4x ， 设该四棱锥的外接球的球心为 Q ，半径为 R ， 则 22OC ， 16 4 2 3OP ， 222 2 3 2 2RR ，解得 53R， 外接球的体积 3 34 5 50 0 3 cm3 273V 故答案为 3500 3 cm27 18 （ 1） 证明 ： 连接 BD 交 AC 于 H 点，连接 MH ， 四边形 ABCD 是菱形 ， 点 H 为 BD 的中点 又 M 为 PD 的中点 ， MH BP 又 平面 BP ACM ， MH 平面 ACM PB 平

13、面 ACM 6 分 （ 2） ABCD 是菱形， 60ABC ， E 是 AB 的中点 ， CE AB 又 PE 平面 ABCD ， 以 E 为原点，分别以 EB ， EC ， EP 为 x ， y ， z 轴 ， 建立空间直角坐标系 E xyz ， 则 0,0,0E ， 1,0,0B ， 0,0, 3P ， 0 3,0C , ， 2, 3,0D 假设棱 PD 上存在点 M ，设点 M 坐标为 ,xyz ， 01PM PD ， 则 , , 3 2 , 3 , 3x y z ， 2 , 3 , 3 1M ， 2 , 3 , 3 1EM ， 0, 3,0EC ， 设平面 CEM 的法向量为 ,x

14、yzn ， 则 2 3 3 1 030E M x y zE C y nn，解得 02 3 1y xz 令 2z ， 则 31x ， 得 3 1 , 0, 2n PE 平面 ABCD ， 平面 ABCD 的法向量 0,0,1m ， 222 22c os , 7 6 34 3 1 nmmn nm 二面角 M EC D的大小为 60 ， 2 2127 6 3 ， 即 23 2 1 0 ， 解得 13，或 1 （舍去） ； 在棱 PD 上存在点 M ， 当 13PMPD时，二面角 M EC D的大小为 60 12 分 19（ 1）由频率分 布表可看出： 50 名海航班学员中参加活动一次有 10 人，参

15、加活动 2 次有25 人，参加活动 3 次有 15 人，记事件 A： “ 这两人参加活动次数恰好相等 ” 2 2 210 25 15250() C C CpA C,据此计算可得 1849PA 4 分 （ 2）依题意，随机变量 X 的取值有 0、 1、 2，求解相应的概率值可得 从海航班中任选 2 名学员， 记事件 B ： “ 这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 2 次活动， 事件 C ： “ 这两人中一人参加 2 次活动，一人参加 3 次活动 ” ， 事件 D ： “ 这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 3 次活动 ” ， 36098P X P A ； 1 1 1 11 0 2 5 2

16、 5 1 5250C C C C 501+ C 9 8P X P B P C ， 111 0 1 5250CC 122 C 9 8P X P D ， 8 分 随机变量 X 的分布列为： 10 分 随机变量 X 的期望 50 12 2 3798 98 49EX 12 分 20 （ 1）因为抛物线 2 43yx 的焦点为 3,0 ， 则 3c ， 所以 223ab (2 分 ) 因为直线 0bx ay与圆 2 255xy 相切 ， 则225 5bba， 即 224ab (4 分 ) 解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆 C 的方程是 2 2 14x y (5 分 ) （ 2）设直线 l 的方

17、程为 0y kx m m ， 点 11,Ax y ， 22,Bx y ， 将直线 l 的方程代入椭圆方程 ， 得 22 44x kx m， 即 2 2 24 1 8 4 4 0k x km x m ， 则12 2841kmxx k ， 212 24441mxx k (7 分 ) 由已知 ， 122 1212 1 2 1 2k x m k x myyk k k x x x x ， 则 2 1 2 1 2k x kx m kx m ， 即 212 0km x x m， 所以 22 228 041km mk ， 即 221 4 0km 因为 0m ， 则 2 14k， 即 12k， 从而 122x

18、x m ， 212 22x x m (10 分 ) 所以 22 222 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2O A O B x y x y x k x m x k x m 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 1 2 2 2k x x k m x x m k x x x x k m x x m 2 2 2 25 4 2 2 2 2 2 54 m m m m 为定值 (12 分 ) 21 （ 1） 221222m x mfx x x x ， 当 0m 时， 0fx ， fx在 0, 上单调递增，不可能有两个零点； 当 0m 时，由 0fx 可解得

19、2xm ，由 0fx 可解得 02xm ， fx在 0,2m 上单调递减，在 2,m 上单调递增， m in 12 l n 2 122mf x f m mm ， 要使得 fx在 0, 上有两个零点，则 11ln 2 1 022 m ，解得 e02m， 则 m 的取值范围为 e0,2 5 分 （ 2）令 1tx，则 1 1 1 1l n 1 l n 122f x m m t txx ， 由题意知方程 1 ln 1 02mt t 有两个根，即方程 ln 22tm t有两个根， 不妨设1 11t x，2 21t x，令 ln 22tht t， 则当 10,et 时， ht 单调递增， 1,et 时，

20、 ht 单调递减 ， 综上可知 ，121 0ett ， 要证121 1 2exx，即证 122ett ，即 1221eett ，即证 122eh t h t， 令 2ex h x h x ， 下面证 x 对任意的 10,ex 恒成立， 2221 l n2 1 l n ee2 22exxx h x h x xx ， 10,ex ， ln 1 0x ， 22 2exx， 2 2 2221 l n 2 l n1 l n ee2 2 22 2 2e e ex x xxxx x x ， 又 10,ex ， 22221ee 2 exxxx ， 0x ，则 x 在 10,e单调递增 ， 1 0ex，故原不等

21、式成立 12 分 22（ 1） 2cos ， 2 2 cos ， 曲线 C 的直角坐标方程为 2220x y x 直线 l 的参数方程为14232xtyt （ t 为参数）， 3 4 3xy 直线 l 的极坐标方程为 3 c o s s in 4 3 5 分 （ 2）将 6 代入曲线 C 的极坐标方程 2cos 得 3 ， A 点的极坐标为3,6将 6 代入直线 l 的极坐标方程得 314322，解得 43 B 点的极坐标为 4 3,6， 33AB 10 分 23（ 1）当 1a 时， 12f x x x ， 当 2x 时， 21f x x ， 令 3fx ，即 2 1 3x ，解得 2x ， 当 21x 时， 3fx ，显然 3fx 成立， 21x ， 当 1x 时， 21f x x， 令 3fx ，即 2 1 3x ，解得 1x ， 综上所述， 不等式的解集为 21xx 5 分 （ 2） 2 2 2f x x a x x a x a ， 0xR ，有 3fx 成立， 只需 23a，解得 51a ， a 的取值范围为 5,1 10 分