广东省揭阳市2019届高三上期末学业水平调研数学（理）试卷（含答案）

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1、揭阳市 2018-2019 学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5

2、分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的虚部是2ziA B2 C D32i2已知集合 ， ，则|01x1,ABA B C D 1, 1,233已知命题 若 ，则 ；命题 、 是直线， 为平面，若 / , ，则:p|ab2:qmnmn/ .下列命题为真命题的是mnA B C Dqpppq4如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y则下列结论中表述不正确的是A.从 2000 年至 2016 年，该地区 环境基础设施投资额逐年增加； B.2011 年该地区环境基础设施的投资额比2000 年至 2004 年的投资总额还多；C

3、.2012 年该地区基础设施的投资额比 2004 年的投资额翻了两番 ； D.为了预测该地区 2019 年的环境基础设施投资额，根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 ）建立了投资额 y 与时间变量 t 的线性回归模型 ，根据该模127， ， ， 917.5yt型预测该地区 2019 的环境基础设施投资额为 256.5 亿元.5. 函数 的图象大致为()ln|fxxPB1C1A1 CBA11-1-1xyA11-1-1xyB11-1-1xyC11-1-1xyD6. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为,xy021xy2xzyA 1 B2 C-2 D-17若 ， ， ，则

4、的大小关系为2log3a4l8b5logc,abcA BcC D8若点 在抛物线 上，记抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线的另一(,)2:ypxCFA交点为 B，则 FA B C D 10233929某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为A B C D41610已知在区间 上，函数 与函数 的图象交于点 P，设点 P 在 x 轴上0,3sin2xysinyx的射影为 ， 的横坐标为 ，则 的值为P00taA B C D12434581511已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ，坐标原点 O 关于点21xyab(,)b12F、的对称点为 P，点 P

5、到双曲线的渐近线距离为 ，过 的直线与双曲线 C 右支相交于2F232M、N 两点，若 ， 的周长为 10，则双曲线 C 的离心率为|31FMNA B2 C D33512. 如图，在三棱柱 中， 底面 ，ACB=90，1CA11ABOHCBAP为 上的动点，则 的最小值为1BC， 2,A3P1BC1PAA. B C5 D 2525二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 的展开式中 的系数为_；821()x1x14若向量 、 不共线，且 ，则 _；(,a(,2)b()()abab15. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ； 3)f20ff16. 已知 ，则 .(s

6、in(1)cos(1)3xx()2(019)ff三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17.（12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， .anS13a12nnSa（1）求数列 的通项公式；（2）若等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，求数列 的前 项和 bnT1a3T1nbnQ18.（12 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，ABBC ，O 是 AC 中点，OH

7、PC 于 H.（1）证明：PC平面 BOH；（2）若 ，求二面角 A-BH-O 的余弦值3OHB19.（12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.

8、（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 、 ，求 、 的分布列，若选平均受1212训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率20.（12 分）已知椭圆 : 的上顶点为 A,以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与 yC21(0)xyab轴的交点分别为 、 .(0,3),（1）求椭圆 的方程；（2）设不经过点 A 的直线 与椭圆 交于 P、Q 两点，且 ,试探究直线 是否过定点？lC0PQl若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.21.（12 分）已知函数 （ ， ）.1()kxfeR0k（1）讨论函数 的单调性；（2）

9、当 时， ，求 k 的取值范围.x()lnfxk（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立2xy极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O） ，且1l2的倾斜角为锐角 .1l（1）求曲线 C 和射线 的极坐标方程；2l（2）求OAB 的面积的最小值，并求此时 的值23. 选修 45：不等式选讲 (10 分）已知函数 ，()|fxax（1）当 a=2

10、 时，求不等式 的解集；()2f（2）当 时不等式 恒成立，求 的取值范围2,ay=1+sinxy=3sinx2Poyx03211PA1C1 BC揭阳市 2018-2019 学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加

11、分数四、只给整数分数一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B D A D A D C B B C解析：8.依题意易得 ， ，由抛物线的定义得 ，联立直线 AF 的方程与抛物线p(1,0)F|3F的方程消去 y 得 ，得 , 则 ,故 .25x12,Bx|(1)2FA99. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为 r，母线的长为 ，则 ，l84rlrl又 S 侧 = （当且仅当 时“=”成立）2()4rlll10. 依题意得 00003sin1siincos2xx.ta2ta311. 依题意得点 P ， ，由双曲线的定义得 周长为(,)c2 3bb

12、 1FMN，由此得 ， ，故 461012e12. 由题设知 为等腰直角三角形，又 平面 ，CB1AC1B故 =90，将二面角 沿 展开成平面图形，1A1B得四边形 如图示，由此， 要取得最小值，当且1P仅当 三点共线，由题设知 ,1P、 、 35由余弦定理得 .22(3)cosC215A二、填空题题序 13 14 15 16答案 224 3 1,223解析：15. 因 函 数 为 增 函 数 ， 且 为 奇 函 数 ， ，()fx 2(1)()0()()(1)faffaffa，210a解得 .【学生填 或 或 都给满分】2,1|16. 依题意可得 ,其最小正周期 ,且 故()sin3fx6T

13、()2(6)0,ff(1)2019)ff ()3.f三、解答题17.解：（1）当 时， ，-1 分n2a由 得 （ ） ，123S13nnS2两式相减得 ，又 ，()1nnSa （ ） ， -3 分1na2又 ， （ ） ， -4 分2313na*N显然 ， ，即数列 是首项为 3、公比为 3 的等比数列，0nann ； -6 分13n（2）设数列 的公差为 d，则有 ，由 得 ，解得 ，-8 分b13b3Ta127bd6d， -9 分6(1)(2)nn又 -10 分1 ()9()1821nbn 835QzyxOHCBAPOHCBAP-12 分1()82n9(1)18.解：（1）ABBC，O

14、是 AC 中点， BOAC，-1 分又平面 PAC平面 ABC，且 平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC，B BO平面 PAC，-3 分 BOPC，又 OHPC，BOOHO ， PC平面 BOH；-5 分（2）易知 POAC，又 BO 平面 PAC，如图，以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系 O - xyz，由 易知 ，OC2，3H3P， ，cos02Hysin0z ， ， ， ， (,)A(,)B(,)2)0,(C， ， ， -7 分3,0P3,073,AH设平面 ABH 的法向量为 ，(,)mxyz则 ， ，取 x=2，得 ，-9 分0AH2730(2,7)

15、m由（1）知 是平面 BHO 的法向量，易知 ，-10 分PC0,3PC设二面角 A-BH-O 的大小为 ，显然 为锐角，则 ，cos|,|m|214|56247 二面角 A-BH-O 的余弦值为 -12 分47【其它解法请参照给分】19.解：（1）甲组 60 人中有 45 人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为 ；-3 分145260453918C（2） （i） 的分布列为15 10 15 20P 312612，-6 分151()02036E的分布列为214 8 12 26P 513415，2 6()4826E ，公司应选培训方式一；-9 分12()（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优

16、秀的概率为 ，15324则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为 -12 分2()8C20. 解：（1）依题意知点 A 的坐标为 ，则以点 A 圆心，以 为半径的圆的方程为:(0,)ba，-1 分22()xyba令 得 ，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、0(0,13)(,)可得 ，解得 ，-3 分13ba1,3ba故所求椭圆 的方程为 .-4 分C23xy（2）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，0APQA设直线 - 则 -6 分:lykx1:Qlyxk将 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 得 ， 可 得 ，2(13)60kx263Pk则 ， -8 分213Pyk类似地可

17、得 ，-9 分26,3QQxyk由直线方程的两点式可得：直线 的方程为 ，-11 分l214kyx即直线 过定点，该定点的坐标为 .-12 分l 1(0,)【解法 2：若直线 l 垂直于 x 轴，则 AP 不垂直于 AQ，不合题意，可知 l 的斜率存在，又 l 不过点(0,1)，设 l 的方程为 ，ykxm(1)又设点 ，则 ,12(,)(,)PxyQ、 12(,),APxAQ由 得 ，0A120y由 ，消去 y 得 ，-6 分23ykxm 2(31)63kxm，当 即 时，21(1)020- -7 分12263kx123xk又 ， ，-8 分12112()yxm1212()yxm于是有 ，-

18、9 分2() 0kkxm将代入得2 22361()131k整理得： ,-11 分m满足 ，这时直线 的方程为 ，直线 过定点 .-12 分】0l2ykxl(0,)2（21）解：（1） -1 分21(1)()kxkxeef kxkxe若 ，当 时， ， 在 上单调递增；0k,)k()0f()f2,)当 时， ， 在 上单调递减- -3 分2(,)x(fx,k若 ，当 时， ， 在 上单调递减；k2,)k()f()fx,)k当 时， ， 在 上单调递增(,)x(0fx2,k当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；0kf,)k()当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增-5 分0k()fx2,)k

19、2(,)k（2） （ ） ，1()lnxfe1当 时，上不等式成立，满足题设条件；-6 分当 时， ，等价于 ，0k()lxfke1ln0xke设 ，则 ，1()ln1)xg2()xg2xke设 （ ） ，则 ，2xhke1)0xh 在 上单调递减，得 -9 分()x1,)()xke当 ，即 时，得 ， ，0kee0()g 在 上单调递减，得 ，满足题设条件；- -10 分()gx,)()1x当 ，即 时， ，而 ，1ke1keh0)2(2ke ， ，又 单调递减，0(,2)x0(hx()x当 ， ，得 ，0g 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件；()gx01, ()1x综上所述， 或 -1

20、2 分ke22. 解：（1）由曲线 C 的参数方程，得普通方程为 ，24yx由 ， ，得 ，cosxsinysicos所以曲线 C 的极坐标方程为 ，或 -3 分2con2in的极坐标方程为 ； -5 分2l （2）依题意设 ，则由（1）可得 ，(,)(,)2AB 24sicoA同理得 ，即 ，-7 分24sinco()B24cosinB 11|22OABABS28sinco| ， ， -9 分0iOS16siOAB 的面积的最小值为 16，此时 ，si得 ， -10 分2423.解：（1）当 时， ，x()2()62fxx解得 ，-1 分当 时， ，3解得 ，- -2 分423x当 时，()2()62fx解得 ，-3 分综上知，不等式 的解集为 .-5 分()fx4,(,)3（2）解法 1：当 时， ，-6 分2,()212()fxaxa设 ，则 ， 恒成立，()gxf,()0g只需 ， -8 分0即 ，解得 -10 分642a12a【解法 2：当 时， ，- -6 分,x()(2)fxax，即 ，即 -7 分()f(1)x当 时，上式恒成立， ；- -8 分R当 时，得 恒成立，(2,x2(1)xa62只需 ，min6)a综上知， -10 分】12