江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷（含答案）

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1、Read xIf x1 Thenyx 22x2Elseyx 1x 1End IfPrint y常州市 2019 届高三上学期期末考试理科数学参考公式：样本数据 12,nx 的方差 221()niisx，其中 1nix.柱体的体积 VSh，其中 为柱体的底面积， h为高一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.已知集合 0,1,AB，则 AB_.2.已知复数 z满足 ()i（ i是虚数单位） ，则复数 z_.3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为 9.1,3.2,94x，且这 5 个分数的平均数为 9.3，则实数 x_.4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算

2、法，若输出的 y值为 1，则输入的实数 x的值为_.5. 函数 1lny的定义域为_.6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为_.7. 已知双曲线2:1(0,)xyCab的离心率为 2，直线20xy经过双 的焦点，则双曲线 的渐近线方程为_.8. 已知圆锥 SO，过 的中点 P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱 P，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图） ，则圆柱 PO的体积与圆锥 S的OP（第 8 题）(第 4 题)体积的比值为_.9. 已知正数 ,xy满足 1x，则 xy的最小值为

3、_.10. 若直线 0k与曲线 ex（ 是自然对数的底数）相切，则实数_.11. 已知函数 ()sin)(0,)Rfx是偶函数，点 (1,0)是函数 ()yfx图象的对称中心，则 最小值为_.12. 平面内不共线的三点 ,OAB，满足 |1,|2OB，点 C为线段 AB的中点， OB的平分线交线段 AB于 D，若| 3|2C，则 |D_.13. 过原点的直线 l与圆 21xy交于 ,PQ两点，点 A是该圆与 x轴负半轴的交点，以 AQ为直径的圆与直线 有异于 Q的交点 N，且直线 与直线 P的斜率之积等于 1，那么直线 l的方程为_.14. 数列 ,nab满足 *1()nna，且数列 nb的前

4、 项和为 2n，已知数列 na的前 2018项和为 1，那么数列 的首项 1a_.二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 M，N 分别是 AB，CC 1 的中点(1) 求证：CM平面 AB1N；(2) 求证：平面 A1BN平面 AA1B1B.(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)已知在ABC 中，a，b ，c 分别为三个内角 A，B ，C 的对边，且 b2bcsinAc 2a 2.233(1) 求角 A 的大小；(2) 若 tanBtanC3，且 a 2，

5、求ABC 的周长17. (本小题满分 14 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： 1 的焦点在椭圆 C2： x2a2 y2b2 y2a21 上，其中 ab 0，且点 是椭圆 C1，C 2 位于第一象限的交点x2b2 ( 63， 63)(1) 求椭圆 C1， C2 的标准方程；(2) 过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C2 相切，与椭圆 C1 交于点 A，B，已知 ，求直线PA 35PB l 的斜率18. (本小题满分 16 分)某公园要设计如图(1) 所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2) 中所示的多边形 ABCDEFGH)，

6、整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴 AFBE1.6 m ，两根竖轴 CHDG1.2 m，记景观窗格的外框(图(2) 中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m.(1) 若ABC ，且两根横轴之间的距离为 0.6 m，求景观窗格的外框总长度；23(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度图(1) 图(2)(第 18 题)19. (本小题满分 16 分)已知在数列a n中，a 11，且 an1 3a n40，nN *.(1) 求证：a n 1是等比

7、数列，并求数列 an的通项公式；(2) 数列 an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由20. (本小题满分 16 分)已知函数 m(x)x 2，函数 n(x)aln x1( aR)(1) 若 a2，求曲线 yn(x) 在点(1，n(1)处的切线方程；(2) 若函数 f(x)m( x)n( x)有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数 g(x)n( x)1e xex0 对 x1 ，)恒成立，求实数 a 的取值范围(e 是自然对数的底数，e 2.718 28)江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学附加题2

8、1. 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 42：矩阵与变换已知点(1，2) 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点(7，6)1x2y(1) 求矩阵 A；(2) 求矩阵 A 的特征值及对应的特征向量B. 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为 2 sin ，求直线 l 被曲线 C 所x 22t 1，y 12t ) 2 ( 4)截的弦长C. 选修 45：不等式选

9、讲已知 a0，b0，求证：ab1 .ab a b【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知正四棱锥 PABCD 的高 OP2，点 B，D 和 C， A 分别在 x 轴和 y 轴上，且 AB ，点 M 是棱 PC 的中点2(1) 求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；(2) 求二面角 APBC 的余弦值(第 22 题)23. (本小题满分 10 分)是否存在实数 a，b，c 使得等式 135246n(n 2)(n4) (an2bnc) 对于一切正整数

10、n 都成立？若存在，求出 a，b，c 的值；若不存在，请说n（ n 1）4明理由.江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1. 1 2. i 3. 9.5 4. 3 5. (0，e 6. 357. y x 8. 9. 4 10. e 233811. 12. 13. y x 14. 2 23 3 32(第 15 题)15. (1) 令 AB1 交 A1B 于点 O，连接 OM，ON，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1CC 1，BB 1CC 1，且四边形 AA1B1B 是平行四边形，所以 O 为 AB1 的中点，又因为 M 为 AB的中点，所以 OMBB 1，且

11、OM BB1.因为 N 为 CC1 的中点， CN CC1，所以 OMCN，且12 12OMCN，所以四边形 CMON 是平行四边形，(5 分)所以 CMON，又 ON平面 AB1N，CM 平面 AB1N，所以 CM平面 AB1N.(7 分)(2) 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面 ABC，CM平面 ABC，所以 BB1CM.(9 分)因为 CACB，M 为 AB 的中点，所以 CMAB，又由(1)知 CMON，所以ONAB ，ONBB 1.又因为 ABBB 1B ，AB，BB 1平面 AA1B1B，所以 ON平面 AA1B1B.(12分)又 ON平面 A1BN，所以平面 A1

12、BN平面 AA1B1B.(14 分)16. (1) 由余弦定理得 a2b 2c 22bccosA ，又 b2 bcsinAc 2a 2，233所以 b22bccos Ac 2b 2 bcsinAc 2，即 2bccos A bcsin A，(3 分)233 233从而 sinA cosA，若 cosA0，则 sinA0，与 sin2Acos 2A1 矛盾，所以 cos A0，3所以 tanA .又 A(0，) ，所以 A .(7 分)33(2) tan(BC)tan( A) tan .(9 分)tanB tanC1 tanBtanC 23 3又 tanBtan C3，所以 tanB tanC

13、(2) 2 ，解得 tanBtanC .(11 分)3 3 3又 B，C(0，)，所以 BC .又因为 A ，所以ABC 是正三角形，3 3由 a2，得ABC 的周长为 6.(14 分)17. (1) 椭圆 C1： 1 的焦点坐标为(c，0)，代入椭圆 C2 的方程有 1，x2a2 y2b2 c2b2点 P 的坐标代入椭圆 C1，C 2 的方程有 C1： 1，(63， 63) 23a2 23b2所以 解得 a22，b 2c 21，(3 分)c2b2 1，a2 b2 c2，23a2 23b2 1， )所以椭圆 C1，C 2 的标准方程分别为 y 21， x 2 1.(5 分)x22 y22(2)

14、 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxm，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0 ，m) ，由 消去 y，得 x 21，y22 x2 1，y kx m， ) （ kx m） 22即 x2kmx 10，(1 k22) m22 k2m24 0，(1 k22)(m22 1)即 k22m 20.(7 分)由 消去 y，得 (kxm) 21，x22 y2 1，y kx m， ) x22即 x22kmxm 210，(12 k2)因为直线 l 与椭圆 C1 相交，有 4k 2m24 (m21)4 0(*)，(12 k2) (k2 12m2 12)x1，2 .(9 分) 2k

15、m 4(k2 12m2 12)2(12 k2)因为 ，即(x 1，y 1m) (x2，y 2m)，则 5x13x 2，所以 5 PA 35PB 35 2km 4(k2 12m2 12)2(12 k2)3 或 2km 4(k2 12m2 12)2(12 k2)5 2km 4(k2 12m2 12)2(12 k2)3 化简得，km 2km 4(k2 12m2 12)2(12 k2)4 或 km4 ，k2 12m2 12 k2 12m2 12即 k2m216 .(12 分)(k2 12m2 12)又因为 k22m 20，解得 或 符合(*)式，所以直线 l 的斜率为 或2.(14k2 2，m2 4)

16、 k2 4，m2 6， ) 2分)18. (1) 记 CH 与 AF，BE 的交点为 M，N，由ABC ，得在BCN 中，CBN ，23 6其中 CNHM (1.20.6)0.3 m，12所以 BC m，CNsin CBN 0.3sin6 35BN m，(2 分)CNtan CBN 0.3tan6 3310所以 CDBE2BN1.6 ，则335 8 335ABBC CDDEEFFGGH HA2AB2CD 4BC1.2 .(516 635 125 34 635分)答：景观窗格的外框总长度为 m(6 分)34 635(2) AB BCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC 5，设CBN， ，B

17、Cr ，(0， 2)则 CNrsin ， BNrcos，所以 ABCH 2CN 1.22rsin ， CDBE2BN 1.6 2rcos ，所以 2(1.22rsin)2(1.6 2rcos)4r 5，即 4r(sincos1) .(8 分)35设景观窗格的面积为 S，有 S1.21.62r 2sincos 4825 9sincos200（ sin cos 1） 2(当 且 仅 当 4r（ sin )Error!.(9 分)令 tsin cos(1， ，则 sincos ，2t2 12所以 S ，其中 1 14825 9t2 12200（ t 1） 2 4825 9400(1 2t 1) 2t

18、 1 22 1，(12 分)(当 且 仅 当 t 2， 即 4时 取 等 号 )所以 S (32 ) ，4825 9400(1 2t 1) 4825 9400(1 22 1) 4825 9400 2 741400 92200即 S 741400 92200(当 且 仅 当 4r（ sin cos 1） 35)Error!，所以当且仅当 r 且 时，S 取到最大值 (15 分)3（ 2 1）20 4答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中ABC 且 BC 34 3（ 2 1）20m(16 分)19. (1) 由 an1 3a n40，得 an1 13(a n1)，nN *，(2 分)其

19、中 a11，所以 a1120，可得 an10，nN *，(4 分)所以 3，nN *，所以 an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，(6 分)an 1 1an 1所以 an12(3) n1 ，所以数列a n的通项公式为 an2(3) n1 ，nN *.(8 分)(2) 若数列a n中存在三项 am，a n，a k(m0 对 x(0 ，)恒成立，所以 yf(x) 在 (0，)上单调递增，又 f(1)0，所以 yf(x) 在 (0，)上只有一个零点，符合题意若 a0，令 f(x)0，得 x 或 x (舍去) a2 a2当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0， a2) a

20、2 ( a2， )f(x) 0 f(x) ? 极小值 ?1.若 1，即 a2，此时 a ，则 f 0 对 a2 ，) 恒成立，1a所以 F2(a)2aln a1 在2，) 上单调递增，所以 F2(a)F 2(2)3ln 20，即 F1(a)0 对 a2，) 恒成立，所以 F1(a)a 2a ln a1 在2，)上单调递增，所以 F1(a)F 1(2)32ln 20，即 f(a)0，又因为 f f(1)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，所以 f(x)f(1)0，故函数 f(x)在(0，)上有且只有一个零点，符合题意3.若 0，所以函数 f(x)在(0，1) 内必有零点，(e 1a) 2a又

21、因为 1 是函数 f(x)的零点，不符合题意，舍去 (9 分)综上，a0 或 a2.(10 分)(3) 当 x1 时，g(x) a ln xe xe x.令 G(x)e xe x，x1，则 G(x)e xe0 对 x1，)恒成立，所以函数 yG(x) 在1，) 上单调递增，所以 G(x)G(1)0.若 a0，则当 x1 时，ln x0，所以 g(x)a ln xe xex0 恒成立，符合题意(11 分)若 a0 恒成立，ax ax ax2所以 H(x) exe 在1 ，)上单调递增，ax且 H(1)a1，所以 G(1a)G(1)0，即 e1a e(1a)(12 分)所以 H(1a) e 1a

22、e eea e ea (1a) 2(e1)a，a1 a a1 a a1 a 11 a因为 a1，所以 (1a)2，( e1)a0，因为 H(x) e xe 在1，) 上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，ax且 H(1)a0， b0，由柯西不等式可得(ab1)( b1a)( )2，ab a b当且仅当 时取等号，所以 (ab1) 2( )2.ab b1 1a ab a b又因为 ab10， 0，ab a b所以 ab1 .(10 分)ab a b22. (1) 记直线 AM 与平面 PAB 所成的角为 ，A(0，1，0) ，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2)，M ，则 (1

23、，1， 0)， (0，1，2) ， ，(0， 12， 1) AB PA AM (0， 32， 1)设平面 PAB 的法向量为 n (x，y ，z )，所以 即 取 n(2 ，2，1)，nAB 0，nPA 0， ) x y 0， y 2z 0， )所以 sin ，(5 分)|cos n， AM | |nAM |n|AM |23132 41339即直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .(6 分)41339(2) 设平面 PBC 的法向量为 n1(x，y，z)，(1，1，0)， (1，0，2) ，BC PB 由 即 取 n1(2 ，2，1)，所以 cosn ， n1 ，(9n1BC 0，n

24、1PB 0， ) x y 0，x 2z 0， ) nn1|n|n1| 133 19分)由图可知二面角 APBC 的余弦值为 .(10 分)1923. 在 135246 n(n2)(n4) (an2bnc) 中，n（ n 1）4令 n1，得 15 (abc) ；24令 n2，得 63 (4a2bc)；64令 n3，得 168 (9a3bc)，124即 解得 (3 分)a b c 30，4a 2b c 42，9a 3b c 56， ) a 1，b 9，c 20.)下面用数学归纳法证明：等式 135246n(n 2)(n4) (n29n20)对于一n（ n 1）4切正整数 n 都成立当 n1 时，等

25、式成立；假设当 nk 时，等式成立，即135246k(k2)(k4) (k29k20)(4 分)k（ k 1）4当 nk1 时，135246k(k2)(k4) (k1)(k3)(k5) (k29k20) (k1)k（ k 1）4(k3)(k5) k(k1)(k4)(k5) (k1)(k3)(k 5)14 (k1)(k5)(k 28k12)14 (k11)(k15)（ k 1） （ k 1 4）4 (k1) 29(k1) 20，（ k 1） （ k 1） 14即等式对 nk1 也成立(8 分)综上可得，等式 135246n(n 2)(n4) (n29n20) 对于一切正整数 nn（ n 1）4都成立所以存在实数 a，b，c 符合题意，且 (10 分)a 1，b 9，c 20.)