2019年四川省广安市岳池县中考数学一诊试卷（含答案解析）

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1、2019 年四川省广安市岳池县中考数学一诊试卷一、选择题（每小题只有一项符合题意，请将正确选项填在答题卡上，每小题 3 分，共 30 分）1下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D2一元二次方程 x28x 10 配方后可变形为（ ）A（x+4） 217 B（x+4） 215 C（x4） 217 D（x 4） 2153下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）A水中捞月 B瓮中捉鳖 C守株待兔 D拔苗助长4抛物线 y（x 2） 2+3 的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）5某一超市在“五一”期间开展有奖促销活动，每买 100

2、 元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）A能中奖一次 B能中奖两次C至少能中奖一次 D中奖次数不能确定6若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk 1 且 k07如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（ ）A BC D8如图，直线 AB 与O 相切于点 A，O 的半径为 2，若OBA30，则 OB 的长为（ ）A B4 C D29如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形

3、（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D910已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论（1）4a+2b+c0；（2）方程 ax2+bx+c0 两根之和小于零；（3）y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数 yx+bc 的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 24 分）11若点（a，1）与（2，b）关于原点对称，则 ab 12若 x1，x 2 是方程 x2+x10 的两个根，则 x12+x22 13如图，四边形 ABCD 内接

4、于O ，E 为 CD 延长线上一点若 B 110，则ADE 的度数为 14如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，点 D 为 AB 的中点，已知扇形 EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点 A、点 B，且 AC2，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）1510 月 14 日，韵动中国2018 广安国际红色马拉松赛激情开跑上万名跑友将在小平故里展开激烈的角逐某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是 16在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了 110 件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为 x 人，则根据题意可列方程为 17

5、若ABC 的周长为 20cm，面积为 32cm2，则ABC 的内切圆半径为 18抛物线 yn（n+1）x 2（3n+1）x+3 与直线 ynx+2 的两个交点的横坐标分别是 x1、x 2，记 dn| x1x 2|，则代数式 d1+d2+d3+d2018 的值为 三、解答题（本大题共 2 个小题，第 19 题每小题 8 分，第 20 题 6 分，共 14 分）19解下列方程：（1）x 23x1 （2） （y+2） 26020已知实数 a 满足 a2+2a150，求 的值四、实践应用（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）21某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动活动结束后，初

6、三（2）班数学兴趣小组提出了 5 个主要观点并在本班 50 名学生中进行了调査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统计图（1）该班学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 （2）如果该校有 1500 名初三学生利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人（3）如果数学兴趣小组在这 5 个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率22如图，下列网格中，每个小方格的边长都是 1（1）分别作出四边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴、原点的对称图形；（2）求出四边形 ABCD 的面积23如图，P

7、A、PB 是 O 的切线，CD 切O 于点 E，PCD 的周长为 12，APB60求：（1）PA 的长；（2）COD 的度数24某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？五、推理与论证（10 分）25如图，Rt ABC 中，ABC90，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE（1）

8、求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC30，DE2，求 AD 的长六、拓展探究26如图 ，已知抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标2019 年四川省广安市岳池县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只

9、有一项符合题意，请将正确选项填在答题卡上，每小题 3 分，共 30 分）1下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合

10、2一元二次方程 x28x 10 配方后可变形为（ ）A（x+4） 217 B（x+4） 215 C（x4） 217 D（x 4） 215【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得【解答】解：x 28x 1，x 28x+16 1+16，即（x 4）217，故选：C【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键3下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）A水中捞月 B瓮中捉鳖 C守株待兔 D拔苗助长【分析】分别根据确定事件与随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；

11、B、瓮中捉鳖是一定能发生的事件，属必然事件，故本选项正确；C、守株待兔是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，故本选项错误；D、拔苗助长是一定不会发生的事件，是不可能事件，故本选项错误故选：B【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键4抛物线 y（x 2） 2+3 的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴【解答】解：y（x 2） 2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故选：A【点评

12、】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式 ya（xh） 2+k，顶点坐标是（h，k ），对称轴是 xh5某一超市在“五一”期间开展有奖促销活动，每买 100 元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）A能中奖一次 B能中奖两次C至少能中奖一次 D中奖次数不能确定【分析】由于中奖概率为 ，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生【解答】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定故选 D【点评】解答此题要明确概率和事件的关系：P（A）0，为不可能事件；P（A）1 为必然事件；0P（A）1 为随机事件6若关于 x 的一元二次方程 kx

13、22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk 1 且 k0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， ，即 ，解得 k1 且 k0故选：B【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键7如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（ ）A BC D【分析】分三种情况讨论，即可得到直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体【解答】解：将直角三角形绕较长直角

14、边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕较短直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周后形成的几何体为：故选：C【点评】本题主要考查了面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界8如图，直线 AB 与O 相切于点 A，O 的半径为 2，若OBA30，则 OB 的长为（ ）A B4 C D2【分析】由于直线 AB 与O 相切于点 A，则OAB90 ，而 OA2，OBA30，根据三角函数定义即可求出 OB【解答】解：直线 AB 与 O 相切于点 A，则OAB90OA2，OB 4故选：B【点评】本题主要利用了切线的性质和

15、锐角三角函数的概念解直角三角形问题9如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】由正方形的边长为 3，可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形 DAB，计算即可【解答】解：正方形的边长为 3，弧 BD 的弧长6，S 扇形 DAB 639故选：D【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式 S 扇形 DAB 10已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论（1）4a+2b+c0；（2）方程 a

16、x2+bx+c0 两根之和小于零；（3）y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数 yx+bc 的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：（1）由图象可知：x2，y0，4a+2b+c0，故（1）正确；（2）方程 ax2+bx+c0 两根之和为 ，而抛物线的对称轴为：x ，且 0， 0，故（2）错误；（3）当 x 时，y 随着 x 的增大而减少，当 x 时，y 随着 x 的增大而增大，故（3）错误；（4）由图象可知：c0，a0，b0，bc0，一次函数一定不过第四象限，故（4）错误，故选：D【点评】本题考

17、查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 24 分）11若点（a，1）与（2，b）关于原点对称，则 ab 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y ），关于原点的对称点是（x，y ），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆【解答】解：点（a，1）与（2，b）关于原点对称，b1，a2，a b2 1 故答案为： 【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系12若 x1，x 2 是方程 x2+x10

18、 的两个根，则 x12+x22 3 【分析】先根据根与系数的关系求出 x1+x2 和 x1x2 的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把 x1+x2 和 x1x2 的值整体代入计算即可【解答】解：x 1，x 2 是方程 x2+x10 的两个根，x 1+x2 1，x 1x2 1，x 12+x22（x 1+x2） 22x 1x2（1） 22（1） 1+23故答案是：3【点评】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式解题的关键是先求出 x1+x2 和 x1x2 的值13如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 为 CD 延长线上一点若 B 110，则ADE 的度数为 110 【分析】根据圆内接四

19、边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案【解答】解：B110，ADE110故答案为：110【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理14如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，点 D 为 AB 的中点，已知扇形 EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点 A、点 B，且 AC2，则图中阴影部分的面积为 2 （结果不取近似值）【分析】用三角形 ABC 的面积减去扇形 EAD 和扇形 FBD 的面积，即可得出阴影部分的面积【解答】解：BCAC，C90，AC2，AB2 ，点 D 为 AB 的中点，ADBD ，S 阴影 S ABC S 扇形

20、 EADS 扇形 FBD 22 2，2 故答案为：2 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：S1510 月 14 日，韵动中国2018 广安国际红色马拉松赛激情开跑上万名跑友将在小平故里展开激烈的角逐某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是 【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 20 种等可能的结果，选出一男一女的有 12 种情况，选出一男一女的概率是： 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树

21、状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比16在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了 110 件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为 x 人，则根据题意可列方程为 x（x1）110 【分析】设有 x 人参加聚会，则每人送出（x1）件礼物，根据共送礼物 110 件，列出方程【解答】解：设有 x 人参加聚会，则每人送出（x1）件礼物，由题意得，x（x 1）110故答案是：x（x 1）110【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意

22、，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程17若ABC 的周长为 20cm，面积为 32cm2，则ABC 的内切圆半径为 3.2cm 【分析】利用圆的内切圆的性质，以及三角形的面积公式：三角形的面积 三角形的周长内切圆的半径即可求解【解答】解：设内切圆的半径是 r，则 20r32，解得：r3.2故答案是：3.2cm【点评】本题考查了三角形的面积公式以及三角形的内切圆，理解三角形的面积 三角形的周长内切圆的半径是关键18抛物线 yn（n+1）x 2（3n+1）x+3 与直线 ynx+2 的两个交点的横坐标分别是 x1、x 2，记 dn| x1x 2|，则代数式 d1+d2+d3+d2018 的值

23、为 【分析】联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察 dn 表达式的规律，根据规律进行求解即可【解答】解：依题意，联立抛物线和直线的解析式有：n（n+1）x 2（3n+1）x+3nx+2，整理得：n（n+1）x 2（2n+1）x+10，解得 x1 ，x 2 ；所以当 n 为正整数时，d n ，故代数式 d1+d2+d3+d20181 + + 1 ，故答案为 【点评】此题主要考查的是函数图象交点坐标的求法，能够发现所求代数式中的规律是解决问题的关键三、解答题（本大题共 2 个小题，第 19 题每小题 8 分，第 20 题 6 分，共 14 分）19解下列方程：（1）x 23x1

24、（2） （y+2） 260【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；【解答】解：（1）将原方程化为一般式，得 x23x10，b 24ac130 ， （2）（y+2） 212， 或 ， ， 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20已知实数 a 满足 a2+2a150，求 的值【分析】先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把 a2+2a150 进行配方，得到一个 a+1 的值，再把它整体代入即可求出答案【解答】解： ，a 2+2a150

25、，（a+1） 216，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值四、实践应用（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）21某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了 5 个主要观点并在本班 50 名学生中进行了调査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统计图（1）该班学生选择“和谐”观点的有 5 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 36 （2）如果该校有 1500 名初三学生利用样

26、本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 420 人（3）如果数学兴趣小组在这 5 个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率【分析】（1）选择“和谐”观点的人数等于总人数乘以和谐观点的百分率，圆心角就是用圆周角乘以和谐观点的百分率；（2）用总人数乘以持感恩观点的所占的百分比即可得到选择感恩观点的学生数；（3）列出表格，然后求解答案【解答】解：（1）共调查了 50 名学生，选择“和谐”观点的占 10%，5010%5，36010%36；（2）选择“感恩”的占 28%，150028%420 人，（3）互动 平等 思取 和谐 感恩互动 （互动，平等） （互动，思取

27、） （互动，和谐） （互动，感恩）平等 （平等，互动） （平等，思取） （平等，和谐） （平等，感恩）思取 （思取，互动） （思取，平等） （思取，和谐） （思取，感恩）和谐 （和谐，互动） （和谐，平等） （和谐，思取） （和谐，感恩）感恩 （感恩，互动） （感恩，平等） （感恩，思取） （感恩，和谐）恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率 【点评】本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22如图，下列网格中，每个小方格的边长都是 1（1）分别作出四边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴、原点的对称图形；（2

28、）求出四边形 ABCD 的面积【分析】（1）分别作 A，B，C ，D 关于 x 轴、y 轴、原点的对称点的坐标，即可得出答案；（2）根据三角形底乘以高除以 2，即可得出答案【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形 ABCD 的面积 【点评】此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称的图形作法和三角形面积求法，得出对应点的坐标是解决问题的关键23如图，PA、PB 是 O 的切线，CD 切O 于点 E，PCD 的周长为 12，APB60求：（1）PA 的长；（2）COD 的度数【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形 PDE 的周长等于 PA+PB 的结论，即可求出 PA 的长；（

29、2）根据三角形的内角和求出ADC 和BEC 的度数和，然后根据切线长定理，得出EDO 和DEO 的度数和，再根据三角形的内角和求出 DOE 的度数【解答】解：（1）CA，CE 都是圆 O 的切线，CACE，同理 DEDB ，PA PB，三角形 PDE 的周长PD +CD+PCPD +PC+CA+BD PA+PB2PA12，即 PA 的长为 6；（2）P60，PCE+ PDE 120，ACD+CDB360120240，CA，CE 是圆 O 的切线，OCEOCA ACD；同理：ODE CDB，OCE+ODE （ACD +CDB）120，COD18012060【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定

30、理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长24某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润（售价成本）售出件数”，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值【解答】解：（1）由题意，可设

31、 ykx+b（k0），把（5，30000），（6，20000）代入得： ，解得： ，所以 y 与 x 之间的关系式为：y 10000x+80000；（2）设利润为 W 元，则 W（x4）（10000x +80000）10000（x4）（x 8）10000（x 212x +32）10000（x6） 2410000（x6） 2+40000所以当 x6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元【点评】本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题关键是要分析题

32、意根据实际意义求解注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识五、推理与论证25如图，Rt ABC 中，ABC90，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE（1）求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC30，DE2，求 AD 的长【分析】（1）连接 OD，OE，由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形，再由 E 为斜边BC 的中点，得到 DEBEDC，再由 OBOD，OE 为公共边，利用 SSS 得到三角形 OBE 与三角形 ODE 全等，由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD

33、 垂直，即可得证；（2）在直角三角形 ABC 中，由BAC 30，得到 BC 为 AC 的一半，根据 BC2DE 求出 BC 的长，确定出 AC 的长，再由C 60，DE EC 得到三角形 EDC 为等边三角形，可得出 DC 的长，由 ACCD 即可求出 AD 的长【解答】（1）证明：连接 OD，OE，BD ，AB 为圆 O 的直径，ADBBDC90，在 Rt BDC 中， E 为斜边 BC 的中点，DEBE，在OBE 和ODE 中，OBEODE（SSS），ODE ABC 90，则 DE 为圆 O 的切线；（2）在 RtABC 中，BAC30，BC AC，BC2DE4，AC8，又C60，DEC

34、E，DEC 为等边三角形，即 DCDE2，则 ADACDC6【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键六、拓展探究26如图 ，已知抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标

35、【分析】（1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了 M 点的坐标，由于 C 是抛物线与 y 轴的交点，因此 C 的坐标为（ 0，3），根据 M、C 的坐标可求出 CM 的距离然后分三种情况进行讨论：当 CPPM 时，P 位于 CM 的垂直平分线上求 P 点坐标关键是求 P 的纵坐标，过 P 作 PQy轴于 Q，如果设 PMCPx，那么直角三角形 CPQ 中 CPx，OM 的长，可根据 M 的坐标得出，CQ3x，因此可根据勾股定理求出 x 的值，P 点的横坐标与 M 的横

36、坐标相同，纵坐标为x，由此可得出 P 的坐标当 CMMP 时，根据 CM 的长即可求出 P 的纵坐标，也就得出了 P 的坐标（要注意分上下两点）当 CMCP 时，因为 C 的坐标为（ 0，3），那么直线 y3 必垂直平分 PM，因此 P 的纵坐标是6，由此可得出 P 的坐标；（3）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EFx 轴于 F，四边形 BOCE 的面积三角形 BFE 的面积+直角梯形 FOCE 的面积直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了OC 的长在三

37、角形 BFE 中， BFBOOF ，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值即可求出此时 E 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），解得：所求抛物线解析式为：yx 22x+3；（2）抛物线解析式为：yx 22x+3，其对称轴为 x 1，设 P 点坐标为（1，a），当 x0 时，y 3，C（0，3），M（1，0）当 CPPM 时，（1

38、） 2+（3a） 2a 2，解得 a ，P 点坐标为：P 1（1， ）；当 CMPM 时，（1） 2+32a 2，解得 a ，P 点坐标为：P 2（1， ）或 P3（1， ）；当 CMCP 时，由勾股定理得：（ 1） 2+32（1） 2+（3a） 2，解得 a6，P 点坐标为：P 4（1，6）综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 P（1， ）或 P（1， ）或 P（1，6）或 P（1， ）；（3）过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E（a，a 22a+3）（ 3a0）EFa 22a+3，BFa+3，OFaS 四边形 BOCE BFEF+ （OC+EF）OF （a+3）（a 22a+3）+ （a 22a+6）（a） +当 a 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 此时，点 E 坐标为（ ， ）【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解