2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类：解析几何

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1、十三、直线与圆的方程（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末13 填 空 直线与圆的位置关系2018无锡期末10 填 空 直线与圆的位置关系2018镇江期末11 填 空 圆的标准方程2018南京盐城期末12 填 空 直线与圆的位置关系数形结合2018苏州期末11 填 空 圆的标准方程2018苏北四市期末12 填 空 圆的标准方程、对称性（二）试题解析1.（2018南通泰州期末13）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，从直线 上一点 向圆xOy(4,0)A(,)BABP引两条切线 ， ，切点分别为 ， .设线段 的中点为 ，则线24xyPCDCDM段 长的最

2、大值为 .AM【答案】 322.（2018 无锡期末10）过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 和 ，且 ，则四边216xy(2,3)PABCD形 的面积为 ACBD【答案】19 3.（2018 镇江期末11）已知圆 C 与圆 x2 y 2 10x 10 y 0 相切于原点，且过点 A(0,6) ，则圆 C 的标准方程为 【答案】(x+ 3)2 ( y+3) 2 4.（2018 南京盐城期末12）. 在平面直角坐标系 中，若直线 上存在一点 ，圆 上存xOy(3)ykxP22(1)xy在一点 ，满足 ，则实数 的最小值为 Q3P【答案】 7.（2018 苏州期末11）在平面直角坐标系 xOy 中，

3、已知过点 的圆 和直线 x y 1 相切，且圆心在直线 (2,1)ACy 2x 上，则圆 C 的标准方程为 【答案】 22(1)()y8.（2018 苏北四市期末12）在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 ，且点 关于直线xO1： 22()(0)xyrP的对称点 在圆 上，则 的取值范围是 0xyQ2C： ()1【答案】 21,十四、圆锥曲线（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末1 填 空 集合的运算2018无锡期末1 填 空 集合的运算2018镇江期末1 填 空 集合的运算2018扬州期末1 填 空 集合的运算2018常州期末1 填 空 集合的运算20

4、18南京盐城期末1 填 空 集合的运算2018苏州期末22018苏北四市期末1（二）试题解析1.（2018南通泰州期末7）在平面直角坐标系 中，已知点 为抛物线 的焦点，则点 到双曲线xOyF28yxF的渐近线的距离为 .2169xy【答案】 52.（2018 无锡期末11）已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数，2:1(0,)xyCab216xy设 分别为双曲线 的左，右焦点， 为右支上任意一点，则 的最小值为 12,FP21PF【答案】83.（2018 镇江期末5）已知双曲线 左焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的右准线方12yax xy12程为 【答案】83x4.（2018 扬州

5、期末10）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 - =1（a0，b0）的渐近线与圆 x2+y2-2xy6y+5=0 没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】 3(1,)25.（2018 常州期末9）在平面直角坐标系 中，设直线 与双曲线 的两条xOy:10lxy2:1(0,)xyCab渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 的取值范围是 e【答案】 (1,2)6.（2018 南京盐城期末6 ）. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为 2ypx2145xyp【答案】67.（2018 苏州期末3）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点坐标为 2

6、8yx【答案】 (2,0)8.（2018 苏北四市期末6 ）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为xOy21(0,)xyab，则该双曲线的离心率为 20xy【答案】 5十五、解析几何综合题（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末17 解 答 2018无锡期末18 解 答 2018镇江期末18 解 答 2018扬州期末18 解 答 2018常州期末18 解 答 2018南京盐城期末18 解 答 2018苏州期末18 解 答 2018苏北四市期末18 解 答 （二）试题解析1.（2018南通泰州期末17）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离

7、心率为 ，两xOy21xyab(0)2条准线之间的距离为 .42（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为 ，点 在圆 上，直线 与椭圆相交于另一点AM289xyAM，且 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程. BAOB【答案】 【解】 （1）设椭圆的焦距为 ，由题意得， ，2c2ca42c解得 ， ，所以 .2acb所以椭圆的方程为 .214xy（2）方法一：因为 ，AOBMS所以 ，B所以点 为 的中点.M因为椭圆的方程为 ，214xy所以 .(,0)A设 ，则 .xy00(2,)Bxy所以 ， ，208922(14由得 ，2091860x解得 ， （舍去）.030把 代入，得 ，

8、02x023y所以 ，1ABk因此，直线 的方程为 即 ， .1(2)yx20y20xy方法二：因为 ，所以 ，所以点 为 的中点.2AOBMSABMAB设直线 的方程为 .()ykx由 得 ，21,4()xyk22()840kxk所以 ，解得 ，22()1)40x21Bkx所以 ， ，2(BMk2()Mykk代入 得 ，289xy2248()()19k化简得 ，420k即 ，解得 ，22(7)112k所以，直线 的方程为 即 ， .AB()yx20y20xy2.（2018无锡期末18）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为左，右焦点，2:1(0,)xyEab212,F分别为左，右顶点，原点 到直线

9、 的距离为 .设点 在第一象限，且,ABOBD63P轴，连接 交椭圆于点 .PxPAC（1 ）求椭圆 的方程；E（2 ）若三角形 的面积等于四边形 的面积，求直线 的方程；ABCOBPCPA（3 ）求过点 的圆方程（结果用 表示）.,Pt【答案】解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，2:1(0)xyEab2所以 ， ，2acb所以直线 的方程为 ，DB2yxb又 到直线 的距离为 ，所以 ，OBD636312b所以 ， ，1b2a所以椭圆 的方程为 .E21xy（2 ）设 ， ，(,)Pt0直线 的方程为 ，A(2)tyx由 ，整理得 ，21(2)xty22(4)80txt解得： ，则点 的坐标是

10、 ，24CtxC24(,)t因为三角形 的面积等于四边形 的面积，所以三角形 的面积等于三角形ABOBPAOC的面积，P，2214AOCttS，322()4PBttt则 ，解得 .324ttt所以直线 的方程为 .PA20xy（3 ）因为 ， ， ，(,0)B(,)t244(,)tC所以 的垂直平分线 ，2y的垂直平分线为 ，C4ttx所以过 三点的圆的圆心为 ，,BCP28(,)4tt则过 三点的圆方程为 ，,222()()ttxy42()tt即所求圆方程为 .2284txy2804t3.（2018 镇江期末18）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率)0(1:2bayxE为

11、 ，左焦点 F (2,0) ，直线 l : y t 与椭圆交于 A, B 两点，M 为椭圆上异于 A, 2B 的点.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若 ，以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，求圆 P 的标准方程；1,6M（3）设直线 MA, MB 与 y 轴分别交于 C, D ，证明： OC OD 为定值.【答案】 （1）因为 ，且 ，所以 ，2ceac2,ab所以椭圆 E 的方程为 .2184xy(2)设 ，则 ，且 (,)Ast(,)Bst28t因为以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，所以 ，所以AB0MA又 ，所以 (6,1)(6,1)MAstBst226(1)st由解得： ，或 （

12、舍） ，所以 .32709s又圆 P 的圆心为 AB 的中点 ，半径为 ，(0,)tAB所以圆 P 的标准方程为 .2213xy(3)设 M ，则 的方程为 ，若 k 不存在，显然不符合条件.0(,)xyMAl 00()tyxs令 得 ；同理0ctsx0Dt所以22000cDtytxstxsyOCys为定值.2222000(8)()84ttty4.（2018 扬州期末18）已知椭圆 E1： + =1（ab0） ，若椭圆 E2： + =1（ab0，m1） ，则称2xyx2y椭圆 E2 与椭圆 E1“相似”.(1) 求经过点( ,1)，且与椭圆 E1： +y2=1“相似”的椭圆 E2 的方程；x(

13、2) 若 m=4，椭圆 E1 的离心率为 ，P 在椭圆 E2 上，过 P 的直线 交椭圆 E1 于 A,B 两点，且 ，=若 B 的坐标为 (0,2)，且 ，求直线 l 的方程；=2若直线 OP,OA 的斜率之积为 ，求实数 的值.1【答案】解：设椭圆 的方程为 ，代入点 得 ，2E21xym(2,1)m所以椭圆 的方程为 3 分24xy因为椭圆 的离心率为 ，故 ，所以椭圆1E22ab221:Exyb又椭圆 与椭圆 “相似” ，且 ，所以椭圆 ，2m8设 ，120(,)(,)(,)AxyBPxy方法一：由题意得 ，所以椭圆 ，将直线 ，b21:Exy:2lykx代入椭圆 得 ，21:8E()

14、80k解得 ，故 ，2,0kxx214,yy所以 5 分2284(,)1A又 ，即 为 中点，所以 ， 6 分PBAP2281(,)k代入椭圆 得 ，2:3Exy22()31kk即 ，即 ，所以4200k001所以直线 的方程为 8 分l321yx方法二：由题意得 ，所以椭圆 ，b21:8Ey2:3Exy设 ，则 ，(,)0,2AxB(,4)P代入椭圆得 ，解得 ，故 6 分228(4)3xy12y302x所以 ，301k所以直线 的方程为 8 分l 2yx方法一： 由题意得 ，2222018,bybxyb，即 ，01yx1xy，则 ，解得 12 分APB0121(,)(,)xy012()xy

15、所以 220101()()xyb则 22 22001100114()()xyyb22()()xyyx所以 ，即 ，所以 .16 分2228bb()5方法二：不妨设点 在第一象限，设直线 ，代入椭圆 ，P:0OPykx22:8Exyb解得 ，则 ，021xk021y直线 的斜率之积为 ，则直线 ，代入椭圆 ，,OA1:Ayxk221:xyb解得 ，则12bkx12byk，则 ，解得 ，APB0121(,)(,)xxy012()xy所以 220101)()yb则 22 2200110011)4()xxxyyb22()( )yyx所以，2 2222228(1)()(111bkbkb b 即 ，即 ，

16、所以24(55.（2018 常州期末18）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，点 是xOy)0(1:2bayxCFA椭圆的左顶点，过原点的直线 与椭圆交于 两点（ 在第三象限） ，与椭圆的右准MNN,M线交于 点已知 ，且 PA243Ab（1）求椭圆 的离心率 ； Ce（2）若 ，求椭圆 的标准方程103AMNPOFSaC【答案】解：（1）由题意 ，消去 y 得 ，解得2221()()xyba220cxab，212abxc， 所以 ， ， ，所以 ；(,0)M2243MAabOxcca32e（2）由（1） ，右准线方程为 ，2(,)3bx直线 的方程为 ，所以 ，Nyx436(,)

17、Pb， ，21346=2POFPSb 2243AMNOMSAybb所以 ， ，所以 ，210+a203b2,ba椭圆 的标准方程为 C8yx6.（2018 南京盐城期末18）. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的下顶点为 ，点xOy2:1(0)xyCabB是椭圆上异于点 的动点，直线 分别与 轴交于点 ，且点 是,MNB,MBNx,PQ线段 的中点当点 运动到点 处时，点 的坐标为 OPN3()223()（1 ）求椭圆 的标准方程；C（2 ）设直线 交 轴于点 ，当点 均在 轴右侧，且 时，求MNyD,MNy2DNM直线 的方程B【答案】解：（1）由 ，得直线 的方程为 32(,)(,0)N

18、QNQ32yx2 分令 ，得点 的坐标为 0xB,所以椭圆的方程为 213xya4 分将点 的坐标 代入，得 ，解得 N(,)2223()1a24a所以椭圆 的标准方程为 C143xy8 分（2 ）方法一：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 BM(0)kBM3ykx在 中，令 ，得 ，而点 是线段 的中点，所以3ykxyPxQOP2Q所以直线 的斜率 BN0(3)2BNQkk10 分联立 ，消去 ，得 ，解得 2314ykxy2(34)830kxk2834Mkx用 代 ，得 k26Nx12 分xyOBNMPQD第 18 题图又 ，所以 ，得 2DNM2()NMNxx23MNx14 分故 ，又

19、 ，解得 22831634kk06k所以直线 的方程为 Byx16 分方法二：设点 的坐标分别为 ,MN12(,),y由 ，得直线 的方程为 ，令 ，得(03)13x0y1Pxy同理，得 23Qxy而点 是线段 的中点，所以 ，故 OP2PQx1233xy10 分又 ，所以 ，得 ，从而 ，2DNM212()x2103x1243y解得 2143y12 分将 代入到椭圆 C 的方程中，得 2134xy 221(43)197xy又 ，所以 ，即 ，2211()3x21214()(3)397y21330y解得 （舍）或 又 ，所以点 的坐标y110xM为 14 分42(,)3M故直线 的方程为 B6

20、32yx16 分7.（2018 苏州期末18）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的离心率为 ，椭圆上动2:1(0)xyCab2点 到一个焦点的距离的最小值P为 3(21)（1 ）求椭圆 C 的标准方程；（2 ）已知过点 的动直线 l 与椭圆 C(0,)M交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由【答案】解（1）由题意 ，故 ， 1 分2cac又椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ，所以 ，P3(21)32ac2 分解得 ， ，所以 ， 4 分3c2229bc所以椭圆 C 的标准方程为 .6 分18xy（2 ）当直线 l 的斜率为 0 时，令 ，则 ，4x此时以

21、 AB 为直径的圆的方程为 7 分2()6当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 ， 8 分29y联立 解得 ，即两圆过点 2(1)6,9xy0,3xy(0,3)T猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 9 分()T对一般情况证明如下：设过点 的直线 l 的方程为 与椭圆 C 交于 ,(0,1)M1ykx12(,)()AxyB则 整理得 ，28,ykx2()460所以 12 分11224xk（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 3 分）因为 121212(,3)(,)3()9TAByxyy2()xkx 12124()6kxkx，22660k所以 所以存在 以

22、 AB 为直 径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为 16 分(,3)8.（2018 苏北四市期末18）OyxBAM如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且21(0)xyab12过点 . 为椭圆的右焦点， 为椭 圆上关于原点对称的两点，连接 分312(， )F,AB,AFB别交椭圆于 两点.,CD求椭圆的标准方程；若 ，求 的值；AB设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，若存在，1k2m21k求出 的值；若不存在，请说明理由 .m【答案】 （1）设椭圆方程为 ，由题意知： 221(0)xyab2194cab分解之得： ，所以椭圆方程为： 4 分23ab

23、2143xy（2）若 ，由椭圆对称性，知 ，所以 ， AFC(,) A3(,)2B此时直线 方程为 ， 6 分B40xy由 ，得 ，解得 （ 舍去） ，8 分2340,1xy2761317x故 10 分()37FD（3）设 ，则 ，0,)Axy（ 0(,)Bxy直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得12143xy，22000(156)85因为 是该方程的一个解，所以 点的横坐标 ，12 分0xC0852Cx又 在直线 上，所以 ，(,)cCy0(1)yx003(1)cyyx同理， 点坐标为 ， ， 14 分来源:D085(203学科网ACyDBOxF（第 18 题）所以 ，002 100355283yyxkkx即存在 ，使得 16 分3m21k