2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类:数列、存在性问题
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1、七、数列(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末8 填 空 等比数列2018无锡期末9 填 空 等差数列2018镇江期末7 填 空 等比数列2018扬州期末9 填 空 等比数列、等差数列2018常州期末8 填 空 等比数列2018南京盐城期末10 填 空 等差数列前 n 项和2018苏州期末8 填 空 等比数列2018苏北四市期末11 填 空 等差数列2018南通泰州期末20 解答 数列综合、新定义2018无锡期末19 解答 数列综合、存在性2018镇江期末20 解答 数列综合、恒成立2018扬州期末20 解答 数列综合、存在性2018常州期末19 解答
2、数列综合、存在性2018南京盐城期末19 解答 数列综合、存在性2018苏州期末19 解答 数列综合、存在性2018苏北四市期末20 解答 数列综合(二)试题解析1.(2018南通泰州期末8)在各项均为正数的等比数列 中,若 , ,则 的值为 .na21864a3a【答案】 32.(2018 无锡期末9)已知等比数列 满足 ,且 , , 成等差数列,则na253a4572a的最大值为 12a 【答案】10243.(2018 镇江期末7)设等比数列 an 的前 n 项和 Sn ,若 a1 2, S6 9S3 , 则 a5 的值为 【答案】 324.(2018 扬州期末9)已知各项都是正数的等比数
3、列a n的前 n 项和为 Sn,若 4a4,a3,6a5 成等差数列,且a3=3a22,则 S3=_.【答案】 175.(2018 常州期末8)各项均为正数的等比数列 中,若 ,则 的最小值为 na234234aa3【答案】 36.(2018 南京盐城期末10). 设 为等差数列 的前 项和,若 的前 2017 项中的奇数项和为 2018,nSnana则 的值为 2017【答案】40347.(2018 苏州期末8)已知等比数列 的前 n 项和为 ,且 , ,则 的值为 nanS6319842158a3a【答案】 948.(2018 苏北四市期末11)已知等差数列 满足 , ,则 的值为 na1
4、3579+10a2836a1a【答案】 11.(2018南通泰州期末20)若数列 同时满足:对于任意的正整数 , 恒成立;对于给定的正整数 ,nan1ank对于任意的正整数 恒成立,则称数列 是“ 数列”.2k()kna()R(1)已知 判断数列 是否为“ 数列” ,并说明理由;,na为 奇 数 ,为 偶 数 na(2)(2)已知数列 是“ 数列” ,且存在整数 ,使得 , , ,nb(3)R1p3pb13pb成等差数列,证明: 是等差数列.3pbn【答案】 【解】 (1)当 为奇数时, ,所以 .12()0nan1na.2na(2)1()2(1)nna当 为偶数时, ,所以 .0an1.2n
5、()()4所以,数列 是“ 数列”.n2R(2)由题意可得: ,3nbb则数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,147 1d数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,2b38 2数列 , , , 是等差数列,设其公差为 .69 3因为 ,所以 ,1n31234nnbb所以 ,21()bdd所以 , .1()221d若 ,则当 时,不成立;210d12bnd若 ,则当 时,不成立;21112若 ,则和都成立,所以 .0d12d同理得: ,所以 ,记 .13123d3d设 ,33ppbb1pb则 1213()()nnnp.3pd同理可得: ,所以 .313nnbbd1nbd所以 是等差数列
6、.【另解】 , 313p23(1)(2)pp23b,31pb1212()bpddb,313以上三式相加可得: ,所以 ,2dd所以 ,321()nb1(3)bn,312nd1()d1(3)dbn,()bbn所以 ,所以 ,13n 13b所以,数列 是等差数列.nb2.(2018 无锡期末19)已知数列 满足 , , 是数列 的前 项的na121()()naa *NnSna和.(1 )求数列 的通项公式;n(2 )若 , , 成等差数列, ,18, 成等比数列,求正整数 的值;pa30qSpaqS,pq(3 )是否存在 ,使得 为数列 中的项?若存在,求出所有满足条*kN16kna件的 的值;若
7、不存在,请说明理由.【答案】解:(1)因为 , ,121()()naa *N所以当 时, , ,n11当 时,2由 和 ,12()a ()na121()()naa两式相除可得, ,即1na1(2)na所以,数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.n于是, .1a(2)因为 ,30, 成等差数列, ,18, 成等比数列,pqSpaqS所以 ,于是 ,或 .26018qpa654pq546q当 时, ,解得 ,54qS(3)29当 时, ,无正整数解,6pqa154()6q所以 , .59(3 )假设存在满足条件的正整数 ,使得 ,k*16()kmaN则 ,(1)261km平方并化简得, ,2
8、2()(3)k则 ,(5mk所以 ,或 ,或 ,26125213km25917mk解得: , 或 , , , (舍去) ,54k综上所述, 或 14.33.(2018 镇江期末20)已知数列 an 的前 n 项和 Sn ,对任意正整数 n ,总存在正数 p, q, r 使得恒成立:数列 bn 的前 n 项和 ,且对任意正整数 n,rqSpn,1 nT恒成立.bT2(1)求常数 p, q, r 的值;(2)证明数列 bn 为等差数列;(3)若 ,记 ,是2 nnnnn ababaP 1232142 否存在正整数 k ,使得对任意正整数 n , Pn k 恒成立,若存在,求正整数 k 的最小值,若
9、不存在,请说明理由.【答案】因为 ,所以 , ( )nSqr1nSqr2得: ,即 , ( ) ,11nn na又 ,所以 , ( ) ,1nap2时, , 时,22q33pq又 p, q 为 正数 ,解得 p q 2,又因为 , ,且 ,所以1a1Sr1aS1r(2 )因为 ,当 时, nbT112()nnTb得: ,即 ,1()n()又 ,+得: ,1()nb112()nnnbb即 , ( ) ,所以数列 bn 为等差数列.12nn(3)因为 ,又 ,由( 2)知数列 bn 为等差数列,所以 .0b2 2nb又由(1)知 ,1na所以 ,123242nnnnP又 ,124n所以 ,1212
10、14nnn令 得 ,0P0所以 ,解得612342nn1所以 时, ,即 ,10nP210P时,因为 , ,所以 ,即 ,n6132nn240n此时 ,即 ,1n234所以 的最大值为 ,P2+7=若存在正整数 k ,使得对任意正整数 n , Pn k 恒成立,则 ,max72kP所以正整数 k 的最小值为 4.4.(2018 扬州期末20)已知各项都是正数的数列a n的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an2+an,数列 bn满足b1= ,2b n+1=bn+ .a(1) 求数列a n、b n的通项公式;(2) 设数列c n满足 cn= ,求和 c1+c2+cn;S2(3)是否存在正整数 p
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