2017-2018学年辽宁省辽阳市八年级下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018 学年辽宁省辽阳市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1观察下列四个平面图形，其中是中心对称图形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）Ay 22y+4（y2） 2B10x 25x 5x（2x 1）Ca（x+y） ax+ayDt 216+3t（ t+4）（t4）+3t3小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）A Ba 3aa 2C D 14下列命题：直角三角形两锐角互余； 全等三角形的对应角相等； 两

2、直线平行，同位角相等： 对角线互相平分的四边形是平行四边形其中逆命题是真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D45在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点6如果点 P（3m，1）在第二象限，那么关于 x 的不等式（ 2m ）x+2m 的解集是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 17如果解关于 x 的方程 +1 （m 为常数）时产生增根，那么 m 的值为（ ）A1 B1 C2 D28炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 88 台空调，乙安装队为 B 小区安装 80 台空调，两队同时开工

3、且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台，设乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A B C D 9如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 的长为 6cm，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到AB C ，AC 与 BC相交于点 H，则图中AHC 的面积等于（ ）A126 B146 C186 D18+610如图，ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD AB，PEBC，PFAC，若ABC 的周长为 18，则 PD+PE+PF（ ）A18 B9C6 D条件不够，不能确定二、填空题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）11分解因式：9aa 3 12

4、一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 13用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于 60”，第一步应假设 14若关于 x 的分式方程 1 的解为正数，那么字母 a 的取值范围是 15已知平行四边形 ABCD 中，AB5，AE 平分DAB 交 BC 所在直线于点 E，CE2，则 AD 16若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是 17如图所示，已知函数 y2x+b 与函数 ykx 3 的图象交于点 P，则不等式 kx32x+b 的解集是 18如图，正ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正AB 1C1，ABC 与AB 1C1 公

5、共部分的面积记为 S1；再以正AB 1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正AB 2C2，AB 1C1 与AB 2C2公共部分的面积记为 S2；，以此类推，则 Sn （用含 n 的式子表示）三、解答题（共 54 分）19（4 分）解分式方程： 1 20（6 分）解不等式组： ，并求出它的整数解的和21（6 分）先化简，再求值：（ x1） ，其中 x 22（6 分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫作格点ABC 的三个顶点 A，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90得到AB C （1）在正方形网格中，画出ABC；（2）画出ABC向

6、左平移 4 格后的ABC；（3）计算线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积23（8 分）为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买 10 个足球和若干件（不少于 10 件）对抗训练背心甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价 120 元，对抗训练背心每件 15 元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠（1）设购买对抗训练背心 x 件，在甲商店付款为 y 甲 元，在乙商店付款为 y 乙 元，分别写出 y 甲 ，y 乙 与 x 的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？24（6 分）如图

7、，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，且CF BC，连结 CD、EF ，那么 CD 与 EF 相等吗？请证明你的结论25（8 分）某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了 15000 元，乙型号书柜共花了 18000 元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了 300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的 2 倍求甲、乙型号书柜各购进多少个？26（10 分）我们定义：如图 1、图 2、图 3，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，

8、连接 BC ，当+180时，我们称ABC是ABC 的“旋补三角形”，AB C 边 BC上的中线 AD叫做ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”图 1、图 2、图 3 中的ABC均是ABC 的 “旋补三角形”（1） 如图 2，当ABC 为等边三角形时，“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系为：AD BC；如图 3，当 BAC90，BC 8 时，则“旋补中线” AD 长为 （2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系，并给予证明2017-2018 学年辽宁省辽阳市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 道小题，每小题

9、 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1观察下列四个平面图形，其中是中心对称图形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：第一个，是中心对称图形，故选项正确；第二个，是中心对称图形，故选项错误正确；第三个，不是中心对称图形，故选项错误；第四个，是中心对称图形，故选项错误正确故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合2下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）Ay 22y+4（y2） 2B10x 25x 5x（2x 1）Ca（x+y） ax

10、+ayDt 216+3t（ t+4）（t4）+3t【分析】根据因式分解的意义，可得答案【解答】解：A、分解不正确，故 A 不符合题意；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 符合题意；C、是整式的乘法，故 C 不符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意；故选：B【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式3小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）A Ba 3aa 2C D 1【分析】分式乘方，等于把分子分母分别乘方，同底数幂的除法法则为：底数不变，指数相减，异分母分式相加减，先通分，再运算【解答】解：A、（

11、 ） 2 ，故 A 选项错误；B、a 3aa 2，故 B 选项正确；C、 + ，要选通分，故 C 选项错误；D、没有公因式不能约分，故 D 选项错误，故选：B【点评】本题考查的知识点比较多，需要熟练掌握每个知识点，这样解题才不会出现错误4下列命题：直角三角形两锐角互余； 全等三角形的对应角相等； 两直线平行，同位角相等： 对角线互相平分的四边形是平行四边形其中逆命题是真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可【解答】解：直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三

12、角形全等是假命题；两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；故选：C【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论5在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答【解答】解：点到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选：C【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平

13、分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键6如果点 P（3m，1）在第二象限，那么关于 x 的不等式（ 2m ）x+2m 的解集是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 1【分析】先由点 P 在第二象限得出 m3，据此知 2m 0，继而根据不等式的性质求解可得【解答】解：点 P（3m， 1）在第二象限，3m0，解得：m3，则 2m0，（2m）x+2m，（2m）xm2，x1，故选：B【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握第二象限内点的坐标符号特点及不等式的性质7如果解关于 x 的方程 +1 （m 为常数）时产生增根，那么 m 的值为（ ）A1 B1 C2 D2【分析】分式方程去

14、分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到 x50，求出 x 的值，代入整式方程计算即可求出 m 的值【解答】解：方程两边都乘以 x5，得：x6+x 5m ，方程有增根，x5，将 x5 代入 x6+x 5m，得：m1，故选：A【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值8炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 88 台空调，乙安装队为 B 小区安装 80 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台，设乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A B C D 【分析】关键描述语为：“两

15、队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间乙队所用时间【解答】解：乙队用的天数为： ，甲队用的天数为： 则所列方程为： 故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间工作总量工作效率9如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 的长为 6cm，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到AB C ，AC 与 BC相交于点 H，则图中AHC 的面积等于（ ）A126 B146 C186 D18+6【分析】如图，首先运用勾股定理求出 AC6 ；运用旋转变换的性质证明BAH30，此为解决问题的关键性结论；运用直角三角形的边角关系求出

16、 BH 的长度，进而求出ABH的面积，即可解决问题【解答】解：如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 的长为 6，由勾股定理得：AC 26 2+62，AC6 ；由题意得： CAC 15，BAH 45 1530 ；设 BH ；tan30 ，BH6 2 ，S ABH ，S AHC 186 ，故选：C【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键10如图，ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD AB，PEBC，PFAC，若ABC 的周长为 18，则 PD+P

17、E+PF（ ）A18 B9C6 D条件不够，不能确定【分析】因为要求证明 PD+PE+PF 的值，而 PD、PE、PF 并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于 AB，根据三角形的周长求出 AB 即可【解答】解：延长 EP 交 AB 于点 G，延长 DP 交 AC 与点 H，PDAB，PEBC，PF AC，四边形 AFPH、四边形 PDBG 均为平行四边形，PDBG ，PHAF又ABC 为等边三角形，FGP 和HPE 也是等边三角形，PEPH AF，PFGF ，PE+PD+ PFAF +BG+FGAB 6，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关

18、键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系二、填空题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）11分解因式：9aa 3 a（3+a）（3a） 【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案【解答】解：原式a（9a 2）a（3+a）（3a），故答案为：a（3+a）（3a）【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式与平方差公式是解题关键12一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题【解答】解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的

19、2 倍，则内角和是 720 度，720180+26，这个多边形是六边形故答案为：6【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键13用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于 60”，第一步应假设 三角形的三个内角都小于 60 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于 60【点评】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定14若

20、关于 x 的分式方程 1 的解为正数，那么字母 a 的取值范围是 a1 且 a2 【分析】将 a 看做已知数求出分式方程的解得到 x 的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到 a 的范围【解答】解：分式方程去分母得：2xax1，解得：xa1，根据题意得：a10 且 a110，解得：a1 且 a2故答案为：a1 且 a2【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键注意分式方程分母不等于 015已知平行四边形 ABCD 中，AB5，AE 平分DAB 交 BC 所在直线于点 E，CE2，则 AD 3 或 7 【分析】画出符合的两种图形，根据角平分线的定义可得DAEBAE，再根

21、据两直线平行，内错角相等可得DAE AEB，求出BAEAEB，推出 ABBE，即可求出答案【解答】解：分为两种情况：E 点在线段 BC 上，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEAEB，AE 平分DAB，DAEBAE，BAE AEB，ABBE5，CE2，ADBCBE +CE5+2 7；当 E 在 BC 延长线时，ABBE5，CE2，ADBC523；即 AD3 或 7，故答案为：3 或 7【点评】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键16若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是 a1 【分析

22、】将不等式组解出来，根据不等式组 无解，求出 a 的取值范围【解答】解：解 得 ， 无解，a1故答案为：a1【点评】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值17如图所示，已知函数 y2x+b 与函数 ykx 3 的图象交于点 P，则不等式 kx32x+b 的解集是 x 4 【分析】直线 ykx3 落在直线 y2x +b 上方的部分对应的 x 的取值范围即为所求【解答】解：函数 y2x +b 与函数 ykx 3 的图象交于点 P（4，6），不等式 kx32x+b 的解集是 x4故答案为 x4【点评】本题主要考查一次函数

23、和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合18如图，正ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正AB 1C1，ABC 与AB 1C1 公共部分的面积记为 S1；再以正AB 1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正AB 2C2，AB 1C1 与AB 2C2公共部分的面积记为 S2；，以此类推，则 Sn （ ） n （用含 n 的式子表示）【分析】由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点，求出BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出

24、S1，同理求出 S2，依此类推，得到 Sn【解答】解：等边三角形 ABC 的边长为 2，AB 1BC ，BB 11，AB2，根据勾股定理得：AB 1 ，S 1 （ ） 2 （ ） 1；等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB 2B 1C1，B 1B2 ，AB 1 ，根据勾股定理得：AB 2 ，S 2 （ ） 2 （ ） 2；依此类推，S n （ ） n故答案为： （ ） n【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键三、解答题（共 54 分）19（4 分）解分式方程： 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验

25、即可得到分式方程的解【解答】解：两边都乘以（x1）（x+2），得：x （x+2）（x1）（x +2）3，解得：x1，检验：当 x1 时，（x 1）（x +2）20，所以分式方程的解为 x1【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根20（6 分）解不等式组： ，并求出它的整数解的和【分析】先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解【解答】解：解不等式，得：x2，解不等式 4x25x 1，得：x 1，则不等式组的解集为1x2，所以不等式组的整数解的和为 0+1+23【点评】本题主要考查解一元一次不等式组及其整数解，注意各

26、个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集但本题是要求整数解，所以要找出在这范围内的整数21（6 分）先化简，再求值：（ x1） ，其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ ） （x+2）（x 1）x 2x+2，当 x 时，原式（ ） 2（ ）+22+ +2 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则22（6 分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫作格点ABC 的三个顶点 A，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90得到AB C

27、（1）在正方形网格中，画出ABC；（2）画出ABC向左平移 4 格后的ABC；（3）计算线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用扇形面积求法得出答案【解答】解：（1）如图所示：ABC即为所求；（2）如图所示：ABC 即为所求；（3）线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积为： 【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键23（8 分）为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买 10 个足球和若干件（不少于 10 件）对抗

28、训练背心甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价 120 元，对抗训练背心每件 15 元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠（1）设购买对抗训练背心 x 件，在甲商店付款为 y 甲 元，在乙商店付款为 y 乙 元，分别写出 y 甲 ，y 乙 与 x 的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？【分析】（1）在甲店购买的付款数10 个足球的总价+（x10）件对抗训练背心的总价，把相关数值代入化简即可；在乙店购买的付款数10 个足球的总价的总价0.9+x 件对抗训练背心0.9；（2）分别根据 y 甲 y 乙 时

29、，y 甲 y 乙 时，y 甲 y 乙 时列出对应式子求解即可【解答】解：（1）y 甲 12010+15（x10）1050+15x（x10）；y 乙 1200.910+150.9x13.5x +1080（x 10）；（2）y 甲 y 乙 时，1050+15 x13.5x+1080，解得 x20，即当 x20 时，到两店一样合算；y 甲 y 乙 时，1050+15 x13.5 x+1080，解得 x20，即当 x20 时，到乙店合算；y 甲 y 乙 时，1050+15 x13.5 x+1080，x4，解得 10x 20，即当 10x20 时，到甲店合算【点评】本题考查了一次函数的应用，解答这类问题

30、时，要先建立函数关系式，然后再分类讨论24（6 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，且CF BC，连结 CD、EF ，那么 CD 与 EF 相等吗？请证明你的结论【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DEBC，DE BC，然后求出四边形 DEFC 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可【解答】解：结论：CDEF理由：D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DEBC，DE BC，CF BC，DECF，四边形 DEFC 是平行四边形，CDEF 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

31、，平行四边形的判定与性质，熟记定理并确定出平行四边形是解题的关键25（8 分）某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了 15000 元，乙型号书柜共花了 18000 元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了 300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的 2 倍求甲、乙型号书柜各购进多少个？【分析】设购进甲型号书柜 x 个，则购进乙型号书柜 2x 个，根据单价总价数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了 300 元，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设购进甲型号书柜 x 个，则购进乙型号书柜 2x 个，根据题意得： 30

32、0，解得：x20，经检验，x20 是原方程的解，2x40答：购进甲型号书柜 20 个，购进乙型号书柜 40 个【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键26（10 分）我们定义：如图 1、图 2、图 3，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC ，当+180时，我们称ABC是ABC 的“旋补三角形”，AB C 边 BC上的中线 AD叫做ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”图 1、图 2、图 3 中的ABC均是ABC 的 “旋补三角形”（1） 如图 2，当ABC 为等

33、边三角形时，“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系为：AD BC；如图 3，当 BAC90，BC 8 时，则“旋补中线” AD 长为 4 （2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系，并给予证明【分析】（1）首先证明ADB是含有 30是直角三角形，可得 AD AB即可解决问题；首先证明 BACB AC，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD BC如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 ADDM ，连接 BM，CM，首先证明四边形 ACMB是平行四边形，再证明 BAC ABM，即可解决问题；【解答】解：（1）如图 2 中，ABC 是等

34、边三角形，ABBCACAB AC，DBDC，ADB C ，BAC60，BAC+BAC 180，BAC120，BC30，AD AB BC，故答案为 如图 3 中，BAC90，BAC+BAC 180，BACBAC90，ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC，BDDC，AD BC BC4，故答案为 4（2）结论：AD BC理由：如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 ADDM ，连接 BM ，C MBDDC，ADDM ，四边形 ACMB 是平行四边形，ACBMAC，BAC+ BAC180，BAC + AB M 180，BACMBA，ABAB，BACAB M，BCAM，AD BC【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形 30 度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题