湖南省长沙市2019届高三统一检测文科数学试卷（含答案解析）

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1、第 1 页，共 15 页湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测文科数学（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若集合 ， ，则 =|30 0实数 m 的取值范围是 (0,+)故选：C利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3. 下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是 ( )A. B. ()= ()=(1)(+1)C. D. ()=+2 ()=2【答案】D【解析】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，依次分析选项：第

2、 2 页，共 15 页对于 A， ，有 ，为奇函数，其导数()= ()=()=()，()=10则 在其定义域上为减函数，不符合题意；()对于 B， ，其定义域为 ，不是奇函数，不符合题意；()=(1)(+1) (1,+)对于 C， ，有 ，为偶函数，不符合题意；()=+2 ()=+2 =+2 =()对于 D， ，有 ，为奇函数，()=2 ()=2 =(2 )=()其导数 ，则 在其定义域上为增函数，符合题意()=+2 0 ()故选：D根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，属于基础题4. 某人睡午觉醒

3、来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于 5 分钟的概率是 ( )A. B. C. D. 16 112 160 172【答案】B【解析】解：设电台的整点报时之间某刻的时间 x，由题意可得， ，060等待的时间不多于 5 分钟的概率为 ，=560=112故选：B由于电台的整点报时之间的间隔 60 分，等待的时间不多于 5 分钟，根据几何概率的计算公式可求高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到.5

4、. 设 a，b，c 表示不同直线， ， 表示不同平面，下列命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；/ / / / / /若 ， ，则 ； 若 ， ， ，则/ / / / /真命题的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】解：由 a，b，c 表示不同直线， ， 表示不同平面，知： 在 中，若 ， ，则由平行公理得 ，故 正确； / / / 在 中，若 ， ，则 或 ，故 错误； / / / 在 中，若 ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 错误； / / 第 3 页，共 15 页在 中，若 ， ， ，则 a 与 b 平行或异面，故 错误 / 故选：A在 中，

5、由平行公理得 ；在 中，则 或 ；在 中，a 与 b 相交、平行 / / 或异面；在 中，a 与 b 平行或异面本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6. 若 x，y 满足 ，则 的取值范围是 +001 =2 ( )A. B. C. D. 0,3 1,3 3,0 3,1【答案】A【解析】解：不等式组 表示的可行域如图所示：+001 联立方程组 ，解得 ；+=0=0 (0,0)联立方程组 ，解得 ；=1+=0 (1,1)化目标函数 为 ，=2 =2由图可知，当直线 过点 A 时，=2直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 ；200

6、=0当直线 过点 B 时，=2直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 ；21(1)=3的取值范围是 =23 0,3故选：A画出不等式组表示的可行域，求出最优解，计算目标函数的最大和最小值即可本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题7. 已知 ， 是双曲线 C： 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点，1 2 22=1且以 为直径的圆经过点 P，则 的面积为 12 12 ( )A. B. C. 2 D. 1222第 4 页，共 15 页【答案】A【解析】解： ， 是双曲线 C： 的上、下焦点，1 2 22=1， ，一条渐近线方程为 ，1(0,2) 2(0,2) =设点 ，(,)， ，1

7、=(, 2) 2=(,2)以 为直径的圆经过点 P， 12，12，1 2=2+22=222=0解得 ，=1即点 P 到 y 轴的距离为 1，的面积 ，12 =12|12|=12221=2故选：A根据双曲线的性质可得 ， ，一条渐近线方程为 ，设点 ，1(0,2) 2(0,2) = (,)根据向量的运算以及以 为直径的圆经过点 P，可求出 m 的值，再求出面积即可12本题主要考查双曲线的渐近线、向量的坐标运算等基础知识以及等价转化思想和数形结合思想的应用，考查考生的运算求解能力8. 若 ， ， ，则 的最小值为 0 0 += + ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】解：

8、在等式 两边同时除以 ab，得 ，+=1+1=1由基本不等式可得 ，+=(+)(1+1)=+22+2=4当且仅当 时，即当 时，等号成立，= =所以， 的最小值为 4+故选：B在等式 两边同时除以 ab，得 ，将代数式 和 相乘，展开后+=1+1=1 + 1+1利用基本不等式可求出 的最小值+本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解决这类问题的关键在于对代数式进行灵活配凑，同时也考查了计算能力，属于基础题9. 已知 是函数 图象的一个最高点，B，C 是(12,2) ()=(+)(0,0)与 P 相邻的两个最低点 若 ，则 的图象对称中心可以是 . |=6 () ( )A. B. C. D. (

9、0,0) (1,0) (2,0) (3,0)【答案】C第 5 页，共 15 页【解析】解：由题意有 ，当 时函数取最大值，=6 =12即 的图象对称中心为 ，() (12+4+2,0)即 的图象对称中心为： ， ，() (3+2,0)当 时， 的图象对称中心可以是 ，=0 () (2,0)故选：C由三角函数图象的性质、周期及对称性得： 的图象对称中心为 ，取值() (12+4+2,0)可得解本题考查了三角函数图象的性质、周期及对称性，属中档题10. 在 中， ， ， ，且 O 是 的外心，则 =10=6 =8 =()A. 16 B. 32 C. D. 16 32【答案】D【解析】解： 是以 A

10、B 为斜边的直角三角形，2=2+2外心 O 是 AB 的中点，故选：D=(12)=12()=12122=1282=32先判断出三角形是以 AB 为斜边的直角三角形，从而得到 O 为 AB 的中点，然后将 转化为 ，再计算12=12() 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题11. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，点 在 C 上， 若直线 AF2=8 (1,)(0) |=3.与 C 交于另一点 B，则 的值是 | ( )A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5【答案】C【解析】解：因为 在 C 上，所以 ，(1,)(0) 2=8解得 或 舍去 ，=22 =22( )故直线 AF

11、的方程为 ，=22(2)由 =22(2)2=8 消去 y，得 ，25+4=0解得 ， ，1=1 2=4第 6 页，共 15 页则 (4,42) |=(41)2+(4222)2=9故选：C可得 ，故直线 AF 的方程为 ，联立直线 AF 与抛物线方程，由(1,22) =22(2)韦达定理，求出 B 的坐标，然后求解 AB本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力12. 已知 ，若函数 有三个零点，则()=|1|+1 ()=()2+(2)()2实数 a 的取值范围是 ( )A. B. C. D. (2,1) (1,0) (0,1) (1,2)【答案】A【解析】解：若 有三个零点

12、，()=()2+(2)()2=()2()+即 有三个根，()=()2()+=0即 或 ()=2 ()=当 时，由 ，即 ，则()=2 |1|+1=2 |1|=1或 ，1=1 1=1即 或 ，=2 =0则 或 x 无解，此时方程只有一个解，=2则 有两个不同的根，()=.作出 的图象如图：()由图象知，则 ，即 ，12018第 9 页，共 15 页【答案】解： 根据题意，数列 满足 ，即( ) 2+1+2=0，+2=2+1则数列 为等差数列，又由 ， ，则数列 的公差 ， 1=3 3=7 =312 =2则 ；=1+(1)=2+1，=21=2+1 根据题意，设 ，( ) =1+2+由 的结论， ，

13、( ) =21=2+1则 =1+2+=(21+1)+(22+1)+(2+1)=(21+22+23+2)+=2+1+2，若 ，则 ，且 ，1+2+20182+1+2020则 ，即使 成立的最小正整数 n 的值为 1010 1+2+2018【解析】 根据题意，分析可得数列 满足 ，据此可得数列( ) +2=2+1为等差数列，求出其公差，分析可得数列 的通项公式，又由 ，分析 =21可得答案； 根据题意，设 ，结合 的结论，分析可得( ) =1+2+ ( )=1+2+=(21+1)+(22+1)+(2+1)=(21+22+23+2)+=2+1+2，据此分析可得答案本题考查数列的求和以及等差数列的通项

14、公式，关键是求出数列 的通项公式18. 已知三棱锥 如图一 的平面展开图 如图二 中，四边形 ABCD 为边长等于( ) ( )的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：2 证明：平面 平面 ABC；( ) 求三棱锥 的表面积和体积( ) 【答案】证明： 取( )BC 中点 O，连结OP，OB，由题意得 ，第 10 页，共 15 页，=2， ， ，=1 是二面角 的平面角， ， ，2+2=2 ，=90平面 平面 ABC； 解： 三棱锥 的表面积为：( ) =+=12+1260+12+1260=1222+122232+1222+122232=2+3三棱锥 的体积为：=13=1312221=13

15、【解析】 取 BC 中点 O，连结 OP，OB ，推导出 是二面角 的平面角，( ) 求出 ，由此能证明平面 平面 ABC=90 三棱锥 的表面积为 ，三棱锥( ) =+的体积 =13本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19. 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查 已知.该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过 1 小时 不超过 1 小时男生 20 8女生 12 m

16、 求 m，n；( ) 能否有 的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过 1 小时与性( ) 95%别有关？ 以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，( )现从该校学生中随机调査 6 名学生，试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数附：第 11 页，共 15 页(2) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8282= ()2(+)(+)(+)(+)【答案】解： 根据分层抽样法，抽样比例为 ，( )960=20+8560；=48；=4820812=8 根据题意完善 列联表，如下；( ) 22超过 1 小时 不超

17、过 1 小时 合计男生 20 8 28女生 12 8 20合计 32 16 48计算 ，2=48(208128)2321620280.68570) 13 1 2圆 C 上一点， ，且 212 |2|=83 求椭圆 C 的方程；( ) 设椭圆 C 的左、石顶点为 、 ，过 、 分别作 x 轴的垂线 、 ，椭圆( ) 1 2 1 2 1 2C 的条切线 l： 与 、 交于 M、N 两点，求证： 为定值=+1 2 1第 12 页，共 15 页【答案】解： 椭圆 C： 的离心率为 ，即 ，( )22+22=1(0) 13 =13， ， ，|1|+|2|=2 |2|=83 212，|1|2=|2|2+|

18、12|2即 ，(283)2=(83)2+(2)2=(83)2+(23)2解得 ， ，=3 =1，2=22=8椭圆方程为 ，29+28=1 证明：由题设知 ： ， ： ，( ) 1 =3 2 =3l 与 C 的方程联立可得 ，消去 y 可得 ，29+28=1=+ (1+92)2+18+9(28)=0，()与 C 相切，“ ”中 ， =1822236(1+92)(28)=0，292=8l 与 ， 联立得 ， ，11 2 (3,3+) (3,3+)又 ，1(1,0)，1 1=(2,3+)(4,3+)=8+292=8+8=011即 ，1=2故 为定值，定值为 12【解析】 根据离心率公式和椭圆的定义，

19、以及勾股定理可得 ， ，即可求( ) =3 =1出椭圆的方程； 由题设知 ： ， ： ，l 与 C 的方程联立消去 y 可得( ) 1 =3 2 =3， ， ，根据判别式可得 ，再(1+92)2+18+9(28)=0 () () 292=8求出点 M，N 的坐标，根据向量的数量积即可证明本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的数量积，直线方程的综合应用，考查计算能力，属于中档题21. 已知函数 ， ()=+1()=+(1)+1 试讨论 的单调性；( ) () 记 的零点为 ， 的极小值点为 ，当 时，求证： ( ) () 0 () 1 (1,4) 01【答案】解： ，

20、( )()=1+12=2+12 (0)若 ，则 ， 在 递增；0 ()0 () (0,+)第 13 页，共 15 页若 ，则 一正一负两根，且正根是 ，0 ()时， ， 递减；(1142 ,+) ()0)故 在 递增，() (0,+)又 ， ，(1)=10 (12)=24+0 () (0,+)故 01【解析】 求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；( ) 结合函数的极小值点，得到 ，又 ，故( ) (1)=(11)1 1=2(12,1)，从而证明结论(1)=(11)11若 ，对 ， ，都有不等式 恒成立，求 a(2)0 (, ()|+54|+|的取值范围【答案】解： ，

21、(1)(1)+(1)=|1|1+|1若 ，则 ，得 ，即 时恒成立，1 1+1+1 21 1若 ，则 ，得 ，即 ，11 1 21综上所述，a 的取值范围是 (,12)由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，(2) ()|+54|+|当 时， ，(, ()=2+,()=(2)=24因为 ，所以当 时，|+54|+|+54| 54,，|+54|+|=|+54|=+54即 ，解得 ，结合 ，所以 a 的取值范围是 24+54 15 0 (0,5第 15 页，共 15 页【解析】 利用 ，通过 ， ，(1) (1)+(1)=|1|1+|1 1 11，分别求解即可1要使得不等式恒成立，只需 ，通过二次函数的最值，(2) ()|+54|+|绝对值的几何意义，转化求解即可本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用