沪科版八年级数学下册《19.3.3正方形》课件
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1、19.3.3 正方形,第19章 四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1. 探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点) 2探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点) 3会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点),导入新课,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形,在生活中无处不在.,情景引入,你还能举出其他的例子吗?,讲授新课,矩 形,问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?,问题引入,正方形,问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?,正方形,邻
2、边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定义:,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,归纳总结,已知:如图,四边形ABCD是正方形. 求证:正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明:四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC (正方形的定义). 又正方形是平行四边形.正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义).A=B =C =D = 90,AB= BC=CD=AD.,证一证,已知:如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明:正方形ABCD
3、是矩形, AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性: . 对称轴: .,轴对称图形,4条,A,B,C,D,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:,性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,归纳总结,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图
4、,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.,求证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.,典例精析,例2 如图,在正方形ABCD中, BEC是等边三角形, 求证: EADEDA15 .,证明: BEC是等边三角形, BE=CE=BC,EBC=ECB=60, 四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD,ABC=DCB=90, AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30, AB
5、E,DCE是等腰三角形, BAE= BEA= CDE= CED=75, EAD= EDA=90-75=15.,【变式题1】四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边ADE,求BEC的大小,解:当等边ADE在正方形ABCD外部时,如图,ABAE,BAE9060150. AEB15. 同理可得DEC15. BEC60151530;,当等边ADE在正方形ABCD内部时,如图, ABAE,BAE906030, AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述,BEC的大小为30或150.,易错提醒:因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边,所以边相等本题分两种
6、情况:等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部,【变式题2】 如图,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD (1)求证:APBDPC;,解:四边形ABCD是正方形, ABC=DCB=90 PB=PC, PBC=PCB ABC-PBC=DCB-PCB, 即ABP=DCP 又AB=DC,PB=PC, APBDPC,证明:四边形ABCD是正方形, BAC=DAC=45 APBDPC, AP=DP 又AP=AB=AD, DP=AP=AD APD是等边三角形 DAP=60 PAC=DAP-DAC=15 BAP=BAC-PAC=30 BAP=2PAC,(2)求证:BAP=2P
7、AC,例3 如图,在正方形ABCD中,P为BD上一点,PEBC于E, PFDC于F.试说明:AP=EF.,解:,连接PC,AC.,又PEBC , PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90, AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.,AP=PC.,AP=EF.,在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质,角平分线性质,等腰三角形等来说明.,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( )A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线
8、平分一组对角D.对角线相等,B,D,练一练,2.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO2,求正方形的周长与面积,解:四边形ABCD是正方形, ACBD,OAOD2. 在RtAOD中,由勾股定理,得正方形的周长为4AD ,面积为AD28.,活动1 准备一张矩形的纸片,按照下图折叠,然后展开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证.,正方形,猜想 满足怎样条件的矩形是正方形?,矩形,正方形,一组邻边相等,对角线互相垂直,已知:如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, ACDB. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO
9、=DO ,ADC=90.ACDB, AD=AB=BC=CD,四边形ABCD是正方形.,证一证,A,B,C,D,O,对角线互相垂直的矩形是正方形.,活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,猜想 满足怎样条件的菱形是正方形?,正方形,一个角是直角,对角线相等,已知:如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形, DAB=AB
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