2019年广西柳州市中考数学总复习提分专练3：三角形的综合问题（含答案）

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1、提分专练(三)三角形的综合问题1.2018桂林 如图 T3-1,在平面直角坐标系中,M,N,C 三点的坐标分别为 ,1 ,(3,1),(3,0),点 A 为线段 MN 上的一个动点,连12接 AC,过点 A 作 ABAC 交 y 轴于点 B,当点 A 从 M 运动到 N 时,点 B 随之运动,设点 B 的坐标为(0,b), 则 b 的取值范围是 ( )图 T3-1A.- b1 B.- b1 C.- b D.- b114 54 94 12 942.如图 T3-2,在四边形 ABCD 中,AD BC ,B= 45,E 是 AB 的中点,DE=DC,EDC= 90,若 AB=2,则 AD 的长是 .

2、图 T3-23.2018德州一模 如图 T3-3,双曲线 y= (x0)经过OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C,ABx 轴,点 A 的坐标为(2,3),则OAC 的面积是 . 图 T3-34.探究:如图 T3-4 ,ABC 是等边三角形,AD 是 BC 边上的高,以 D 为中点作线段 EF,且 EF 不与 BC 边重合,以 EF 为边作等边三角形 EFG,连接 AG,GD,CF.图 T3-4求证:ADG C DF;应用:如图 ,将线段 EF 绕点 D 逆时针旋转,当点 F 落在 AD 上时,延长 CF 交 AG 于点 H,求AHF 的度数.5.2018遵义十一中模拟 如图 T3-5,在A

3、BCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 是 AD 上的点,且 AE=EF=FD,连接BE,BF,它们分别与 AO 相交于点 G,H.图 T3-5(1)求 EG BG 的值 ;(2)求证:AG=OG ;(3)设 AG=a,GH=b,HO=c,求 a b c 的值.6.2014来宾 如图 T3-6,AB 为O 的直径,BF 切O 于点 B,AF 交O 于 点 D,点 C 在 DF 上,BC 交O 于点 E,且BAF=2CBF,CG BF 于点 G,连接 AE.图 T3-6(1)直接写出 AE 与 BC 的位置关系;(2)求证:BCGACE ;(3)若F=60,GF=1,求O 的半径长

4、.7.2014桂林 如图 T3-7 , ABC 为圆 O 的内接三角形 ,P 为 BC 延长线上一点,PAC=B,AD 为O 的直径,过 C 作CGAD 于 E,交 AB 于 F,交O 于 G.图 T3-7(1)判断直线 PA 与O 的位置关系 ,并说明理由;(2)求证:AG 2=AFAB;(3)若O 的直径为 10,AC=2 ,AB=4 ,求AFG 的面积.5 58.2017遵义 如图 T3-8,边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上的一个 动点(点 P 与 A,C 不重合),连接 BP,将2BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ.连接 QP,QP 与 BC 交于点 E

5、.QP 的延长线与 AD(或 AD 的延长线)交于点 F.图 T3-8(1)连接 CQ,证明 :CQ=AP;(2)设 AP=x,CE=y,试写出 y 关于 x 的函数关系式,并求出当 x 为何值时,CE= BC;38(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系,并证明你的结论.9.如图 T3-9 ,在四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点 .过点 E 作 AB 的垂线,过点 F 作 CD 的垂线,两垂线 交于点 G,连接 GA,GB,GC,GD,EF.若AGD= BGC.图 T3-9(1)求证:AD=BC;(2)求证:AGDEGF;(3)如图 ,若 AD,BC 所在直线互相垂直

6、,求 的值.参考答案1.B 解析 如图 ,连接 CN,延长 NM,交 y 轴于点 D,设 AN=x,则 AD=3-x,点 B 的坐标为(0,b), DB= 1+|b|,N,C 两点的坐标分别为(3,1),(3,0),NC=1,ANNC,ACN+CAN=90,ABAC, BAD+CAN=90,ACN=BAD,又BDA= CNA=90, BDAANC, = ,即 = ,|b|+1=-x2+3x,3-1 1+|解得|b|=-x 2+3x-1=- + ,(-32)25454又当点 A 与点 N 重合时,点 B 与点 D 重合(如图 ),此时 b=1,- b1.故选 B.542. 解析 延长 DE 交

7、CB 的延长线于点 F,如图,22ADBC,ADE=F ,点 E 是 AB 的中点 ,AE=BE=1,在ADE 和BFE 中, = , = ,=, ADEBFE(AAS),AD=BF,DE=EF,ABC=F+BEF=45, DE=DC,EDC=90,CE D=F+ECF=45,CE= DE,2BEF=ECF,F=F , BEFECF, = ,即 = , = ,12AD= .223. 解析 点 A(2,3)在双曲线 y= (x0)上,92 k=23=6.如图,过点 C 作 CNy 轴,垂足为 N,延长 BA,交 y 轴于点 M,ABx 轴,BM y 轴,MBCN,OCNOBM,C 为 OB 的中

8、点,即 = ,12 = 2, 12A,C 都在双曲线 y= 上,6S OCN =SAOM =3,由 = ,33+ 14得:S AOB =9,则AOC 的面积= SAOB = .12 92故答案是: .924.解:探究:证明:EFG 是等边三角形 ,D 是 EF 的中点,GDEF.ADBC,ADF+ADG= CDF+ADF=90,ADG=CDF.ABC 与EFG 都是等边三角形,ABCGEF. = ,即 = ,ADG CDF.应用:ADGCDF,GAD= FCD.FDG=90,AFH =CFD ,GAD+AFH = FCD+CFD= 90,AHF= 90.5.解:(1)四边形 ABCD 是平行四

9、边形,ADBC,AEG CBG, = = .13(2)证明:由(1),得 = = ,13CG=3AG,即 OG+OC=3AG.又AO=OC,OG+AO= 3AG,即 OG+AG+OG=3AG,AG=OG.(3)AD BC,AHFCHB, = = ,23 = .+223又a=b+c,b c=3 2,a b=5 3,a b c=5 3 2.6.解析 (1)由 AB 为O 的直径即可得到 AE 与 BC 垂直.(2)易 证CBF=BAE,再结合条件BAF=2CBF 就可证得 CBF= CAE,易证CGB=AEC,从而证得BCGACE.(3)由F=60,GF=1 可求出 CG= ;连接 BD,容易证得

10、DBC= CBF,根据角平分线的性质可得 DC=CG= ;设圆 O3 3的半径为 r,易证 AC=AB,BAD=30, 从而得到 AC=2r,AD= r,由 DC=AC-AD= 可求出O 的半径长.3 3解:(1)AB 是O 的直径,AEB=90,AEBC.(2)证明:BF 与O 相切,ABF=90.CBF=90-ABE=BAE.BAF=2CBF,BAF=2BAE,BAE=CAE,CBF=CAE.CGBF ,AE BC,CGB=AEC=90.CBF=CAE,CGB= AEC,BCGACE.(3)连接 BD,如图所示 .DAE= DBE,DAE= CBF,DBE= CBF.AB 是O 的直径 ,

11、ADB= 90,BDAF.DBC=CBF,BDAF ,CGBF,CD=CG.F=60, GF=1,CGF=90,tanF= =CG=tan60= . 3CD= .3AFB=60,ABF=90,BAF=30.ADB= 90,BAF=30, AB=2BD.BAE=CAE,AEB=AEC,ABE=ACE.AB=AC.设O 的半径为 r,则 AC=AB=2r,BD=r.ADB= 90,BAD=30,AD= r.3DC=AC-AD=2r- r=(2- )r= .3 3 3r=2 +3.O 的半径长为 2 +3.3 37.解:(1)直线 PA 与O 相切,理由如下:CGAD,AC=AG,ACG=AGC.B

12、=AGC,PAC=B,PAC=ACG,PACE.CGAD,PAAD ,直线 PA 与O 相切.(2)证明:连接 BG,ABG= ACG,ACG=AGC,ABG= AGC.FAG= BAG,ABGAGF, = ,AG 2=AFAB.(3)连接 DG.AD 是O 的直径,AGD=90.ADG=ACG=AGE,AEG=90,ADG AGE, = .由 AG=AC=2 ,AD=10,得 AE=2.5根据勾股定理,得 EG= =4.2-2由 AG2=AFAB,得 AF= ,5再根据勾股定理,得 EF= =1,2-2FG=EG-EF=3,S AFG = FGAE=3.128.解:(1)证明:如图 ,四边形

13、 ABCD 是正方形,AB=BC,ABC=90.BP=BQ,PBQ=90,ABP=CBQ ,ABP CBQ,CQ=AP.(2)正方形的边长为 2 ,AC=4.2ABP CBQ,BAP=BCQ=45,PC=4-x.又ACB=45,PCQ=90.CQ=AP=x,则在 Rt PCQ 中 ,PQ= = = .2+2 (4-)2+2 22-8+16在 Rt PBQ 中,PB= = .22 22-8+162-4+8BPE=BCP=45,PBE=CBP,PBE CBP, = ,即 = ,2-4+822- 222-4+8y=- x2+ x.24 2当 CE= BC 时 ,CE= .38 324当 y= 时,

14、=- x2+ x,即 x2-4x=-3,解得 x1=1,x2=3.324 324 24 2当 x 为 1 或 3 时,CE= BC.38(3)PF 与 EQ 的数量关系为 PF=EQ.证明如下:如图 ,当 F 在边 AD 上时,过 P 作 PGFQ,交 AB 于 G,连接 FG,则GPF=90,BPQ= 45,GPB=45,GPB= PQB=45,PB=BQ,ABP=CBQ,PGBQEB,EQ=PG,BAD= 90,F,A,G,P 四点共圆 ,FGP= FAP=45,FPG 是等腰直角三角形,PF=PG,PF=EQ.当 F 在 AD 的延长线上时 ,如图 ,同理可得:PF=PG=EQ.9.解:

15、(1) 证明:GE 是 AB 的垂直平分线,GA=GB.同理 GD=GC.在AGD 和 BGC 中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC ,AGD BGC ,AD=BC.(2 )证明:AGD= BGC,AGB= DGC.在AGB 和DGC 中, = ,AGB=DGC,AGBDGC, = ,GAE=GDC.又GEAB,GFCD,AGE= DGF,AGD= EGF.又 = ,AGDEGF.(3)如图,延长 AD 交 GB 于点 M,交 BC 的延长线于点 H,则 AHBH.由AGDBGC,知GAD=GBC.在GAM 和HBM 中,GAD=GBC,GMA=HMB,AGB= AHB=90,AGE= AGB= 45, = .12 2又AGD EGF, = = .2