2019届高考数学（理科）冲刺大题提分（8）立体几何~动点与设未知量-名师讲义（含答案）

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1、精选大题2019遵义航天中学如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，PABCDAB60ABC为正三角形，且侧面 底面 ， 为线段 的中点， 在线段 上PAB EMPD（1）当 是线段 的中点时，求证： 平面 ；MPD（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请MC60说明理由【答案】 （1）见解析；（2）存在 13PMD【解析】 （1）证明：连接 交 于 点，连接 ，BACH四边形 是菱形，点 为 的中点，ABCDHBD又 为 的中点， ，MPMP又 平面 ， 平面 ， 平面 AC ACM（2） 是菱形， ， 是 的中点， ，AB60BEBEB立体几何

2、：动点与设未知量大题精做二 数列大题精做八又 平面 ，PEABCD以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，EPxyzExyz则 ， ， ， ， 0,1,0,30,C2,30D假设棱 上存在点 ，设点 坐标为 ， ，PDM,xyz1PM则 ， ，,32,3xyz2,31 ， ，,1E 0,EC设平面 的法向量为 ，CM,xyzn则 ，解得 23100xEyn 0231yxz令 ，则 ，得 z 3,n 平面 ，平面 的法向量 ，PABCDAB0,1m ，22cos, 763431nm二面角 的大小为 ，ME60 ，即 ，解得 ，或 （舍去）217632113在棱 上存在点

3、 ，当 时，二面角 的大小为 PD3PDMECD60模拟精做12019跃华中学如图所示，正四棱椎 中，底面 的边长为 2，侧棱长为 PABCDAB2（1）若点 为 上的点，且 平面 ，试确定 点的位置；EPDPB EAC（2）在（1）的条件下，点 为线段 上的一点且 ，若平面 和平面 所成的锐FPFAECBDF二面角的余弦值为 ，求实数 的值1422019湖北联考 如图，在四棱锥 中， ， ， ，且PABCDPADBC ， 2PCBADC2（1）证明： 平面 ；PABCD（2）在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？如果存在，求MACD60的值；如果不存在，请说明理由MD32019

4、西城 44 中如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧PABCDAB135BCD面 底面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，点PABCD90BAP2ACPEFBCAD在线段 上M（1）求证： 平面 ；EFPAC（2）若 为 的中点，求证： 平面 ；MDME PAB（3）如果直线 与平面 所成的角和直线 与平面 所在的角相等，求 的值BCDPMD答案与解析1 【答案】 （1） 为 中点；（2） EPD15【解析】 （1）设 交 于点 ，连结 ，BACOE 平面 ，平面 平面 ， ，P BPBOE又 为 的中点，在 中， 为 中点O D（2）连结 ，由题意得 平面 ，且 ，OPABCDB以

5、 为原点， 、 、 所成直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，OCODPxyz，26P ， ， ， ， ，,0A,20B,0,20D,6P则 ， ， ， ，26,E,OC 6,E ,20O设平面 的法向量 ，A,xyzm则 ，令 ，得平面 的一个法向量 ，20602xCEyz 1zAEC0,31m设平面 的法向量 ，BDF,xn由 ，得 ， ，PA2,062,6DF ，令 ，得 ，0xyzOD n 1z31,0n平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值为 ，AECBF4 ，解得 21cos,23mn152 【答案】 （1）见证明；（2）见解析【解析】 （1）在底面 中， ， ，且 ，ABCDB

6、ADC22BADC ， ， ，ABC2又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，PPPPA又 平面 ， ，AB ， ， ，2A2C又 ， ， 平面 ， 平面 ，PBABDABCD 平面 CD（2）方法一：在线段 上取点 ，使 ，则 ，AN2MNP又由（1）得 平面 ， 平面 ，PABCDMNABCD又 平面 ， ，作 于 ，CO又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，MNONAMNO又 平面 ， ，A又 ， 是二面角 的一个平面角，ANMCD设 ，则 ， ，PxD12xPx2ONAx这样，二面角 的大小为 ，MCD60即 ，tantan3NOx即 ，满足要求的点 存在，且 423PxDM423PD方

7、法二：取 的中点 ，则 、 、 三条直线两两垂直BCEA可以分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，DPxyz且由（1）知 是平面 的一个法向量，0,2APACD设 ，则 ， ，,1MxD12NxPx2ANDx ， ，0,2x ,0设 是平面 的一个法向量，则 ，,AQabcACM20AQMxbcCa ，2xcb令 ，则 ，它背向二面角，2,2AQxx又平面 的法向量 ，它指向二面角，这样，二面角 的大小为 ，CD0,PMACD60即 ，2221cos cos6022, xPAx 即 ，满足要求的点 存在，且 423xM43PD3 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（

8、3） 2【解析】 （1）证明：在平行四边形 中，ABC ， ， ， ，ABC15D45AC ， 分别为 ， 的中点， ， ，EFEF侧面 底面 ，且 ， 底面 ， ，PAB90PBDPAEF又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 CAEFC（2）证明： 为 的中点， 为 的中点， ，MDFDM又 平面 ， 平面 ， 平面 ，FPABPB PAB同理，得 平面 ，E又 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，FEFEEF PAB又 平面 ， 平面 MM PAB（3）解： 底面 ， ， ， ， 两两垂直，PABCDAC故以 ， ， 分别为 轴， 轴和 轴建立如图空间直角坐标系，Bxyz则 ， ， ， ， ， ，0,A2,0B,20C,2P,0D1,E ， ， ，,P,PD,B设 ，则 ，0,1M2,M ， ，2,1,2E易得平面 的法向量 ，ABCD0,m设平面 的法向量为 ，则 ，P,xyzn0BCPn即 ，令 ，得 ，20xyz1,1直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，MEPBCABCD ，即 ，,coscosmnMEmn ，解得 或 （舍去） ，233232故 PMD