2019届高考数学（理科）冲刺大题提分（10）圆锥曲线~定点、定值问题-名师讲义（含答案）

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1、精选大题2019甘肃联考已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 的斜率为2:10xyCabFMF，2且原点到直线 的距离为 FM63（1）求椭圆 的标准方程；C（2）若不经过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且与圆:0,lykxmCAB相切1xy试探究 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由ABF【答案】 （1） ；（2） 213xy3【解析】 （1）由题可知， ， ，则 ，,0c,Mb2c直线 的方程为 ，即 ，所以 ，FM1xyb0xy263b解得 ， ，1b2c又 ，所以椭圆 的标准方程为 23aC213xy（2）因为直线 与圆 相切，:0,lykxm2所以 ，即 21

2、k22设 ， ，联立 ，得 ，1,Axy2,Bxy213xykm22316310kxkm所以 ，2222236140kmk圆锥曲线：定点、定值问题大题精做十， ，12631kmx2231xk所以 22 2131ABkkm又 ，所以 22m26ABk因为 ，同理 2221111 163xAFxyxx 263BFx所以 ，1263B所以 的周长是 ，AF 2631mkx则 的周长为定值 23模拟精做12019安庆期末已知椭圆 过点 ，焦距长 ，过点 的直2:10xyCab61,221,0Q线 交椭圆 于 ， 两点lCAB（1）求椭圆 的方程；（2）已知点 ，求证： 为定值7,04PPAB22019

3、东莞期末已知椭圆 的中心在坐标原点，左右焦点分别为 和 ，且椭圆C1,0F21,经过点 C31,2M（1）求椭圆 的标准方程；（2）过椭圆的右顶点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与椭圆交于点 ， （均异于点 ） ，D1l2 ABD求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标AB32019漳州一模已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，且椭圆 的一个顶点与抛物线CxC的焦点重合，离心率为 24xy12（1）求椭圆 的标准方程；（2）过椭圆 的右焦点 且斜率存在的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的垂直平分线交CFlCPQP轴于 点，证明： 为定值xMPQ答案与解析1 【答案】 （1） ；（2） 2

4、14xy56【解析】 （1）由条件焦距为 ，知 ，从而将 代入方程 ，2c61,221xya可得 ， ，故椭圆方程为 24a2b4xy（2）当直线 的斜率不为 0 时，设直线 交椭圆于 ， ，l :1lm1,Axy2,Bxy由 ，可得 ，21 4xmy230y， ， ， ，1212ym17,4PAxy27,4PBxy，211217394 6PABx m 化简得 ，23695当直线 斜率为 0 时， ， ， ，l,0A2,B151,0,46PAB即证 为定值，且为 PAB1562 【答案】 （1） ；（2）见解析243xy【解析】 （1）设椭圆 的标准方程为 ，C21xyab， ，21 5MF2

5、23MF ， ， ，2134aa22413bac所以椭圆的标准方程为 21xy（2）直线 斜率存在，设直线 ， ， ，AB:ABykxm1,Axy2,Bxy联立方程 ，消去 得 ，2 143ykxmy22348430kxm， ，2260kk20，又 ，122122834 mxk22 212121134mkykxmkxmx由 ，得 ，ADBADB即 ， ，121yx121240yxx ，22234364mkmk 解得 ， ，且均满足 ，227160127k2340km当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；1kABykx,0当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 27m72,7由椭圆的

6、对称性所得，当直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，易得直线 ，1l245131:2lyx，直线 ， 分别与椭圆交于点 ， ，2:lyx1l2 2,7A2,7B此时直线 斜率不存在，也过定点 ，AB,0综上所述，直线 恒过定点 ,73 【答案】 （1） ；（2）详见解析2143xy【解析】解法一：（1）设椭圆 的标准方程为 ，C210xyab由抛物线 的焦点为 ，得 ， 又 ，2xy0,3b2ce由及 ，解得 ，2abca所以椭圆 的标准方程为 C2143xy（2）依题意设直线 的方程为 ，l1ykx设点 ， ，当 时，联立方程 ，1,Pxy2,Qx021 43ykx得 ， ，2234841kk22

7、281410kkk所以 ， ， 的中点坐标为 ，122x213xPQ223,的垂直平分线为 ，PQ2244kkyx令 ，得 ， ，0y23Mxk223134Fkk又 ，所以 ，2 22 21 16434kPQ14MFPQ当 时，点 与原点重合，则 ， ，所以 ；0k1F4PQFP综上所述， 为定值 MFPQ14解法二：（1）同解法一（2）依题意，当直线 的斜率不为 0 时，设直线的方程为 ，l 10xmy设点 ， ，联立方程 ，得 ，1,Pxy2,Qxy21 43xmy2469所以 ，22236410m， ，12y1293y，222212 163644mmPQ ，21212 2683434mxmy所以 的中点坐标为 ，PQ2,的垂直平分线为 ，23434yx令 ，得 ，所以 ，所以 ；0y21Mxm221134mF14MFPQ当直线 的斜率为 0 时，点 与原点重合，则 ， ，所以 ；l M综上所述， 为定值 FPQ14