2019年北京中考数学习题精选：尺规作图

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1、一、 选择题1、 （2018 北京市丰台区初二期末）如图，已知射线 OM以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A 为圆心 ， AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，那么AOB 的度数是A90 B60 C45 D30答案：B二、填空题2.（2018 北京市怀柔区初二期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：AOB.求作：一个角，使它等于AOB.作法：（1）作射线 ；OA（2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；（3）以 为圆心，OC 为半径作弧 ， CE交 于 ；A（4）以 为圆心，CD 为半径作弧，交弧

2、于 ；CED（5）过点 作射线 .OB所以 就是所求作的角AEO CDDCBAOBA请回答：这样作一个角等于已知角的理由是 .答案：全等三角形的对应角相等；有三边分别相等的两个三角形全等；同圆（等圆）的半径相等.3.（2018 北京市顺义区八年级期末）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点 M，N ；12BC作直线 MN 交 AB 于点 D，连结 CD.请回答：若 CD=AC，A =50，则ACB 的度数为 .答案： 1054 （2018 北京市平谷区初二期末）阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线 l

3、 和直线 l 外一点P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQl 于点 Q.”小艾的做法如下：（1）在直线 l 上任取点 A， 以 A 为圆心，AP 长为半径画弧. （2）在直线 l 上任取点 B，以 B 为圆心，BP 长为半径画弧.（3）两弧分别交于点 P 和点 M （4）连接 PM，与直线 l 交于点 Q， 直线 PQ 即为所求 .老师表扬了小艾的作法是对的请回答：小艾这样作图的依据是_解： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线；（或 sss；全等三角形对应角相等；等腰三角形的三线合一）5、 （ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 下面是“作以已知线段为斜边的等

4、腰直角三角形”的尺规作图过程已知：线段 AB COQPABBA求作：以 为斜边的一个等腰直角三角形 ABC作法：如图，COQPABB（1）分别以点 和点 为圆心，大于 的长为AB12AB半径作弧，两弧相交于 ， 两点；PQ（2）作直线 ，交 于点 ；PQABO（3）以 为圆心， 的长为半径作圆，交直线 于点 ；OPC（4） 连接 ， ACB则 即为所求作的三角形请回答：在上面的作图过程中， 是直角三角形的依据是 ； 是ABC ABC等腰三角形的依据是 答案： 直径所对的圆周角为直角线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 6、 （2018 北京房山区二模）阅读下面材料：在数学课上，老师

5、提出如下问题：小亮的作法如下：DABC EAB 尺规作图：作一条线段等于已知线段.已知：线段 AB.求作：线段 CD，使 CD=AB.如图：（1） 作射线 CE；（2） 以 C 为圆心，AB 长为半径作弧交 CE 于 D.则线段 CD 就是所求作的线段.老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是_答案：两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等7、 （ 2018 北京东城区二模） 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下： 老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .答案： 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两

6、直线平行.8、 （2018 北京东城区二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 AD 平分BAC 的是A. 图 2 B. 图 1 与图 2 C. 图 1 与图 3 D. 图 2 与图 3答案 C9、 （2018 北京朝阳区二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：ABC.求作：ABC 的边 BC 上的高 AD.作法：如图，（1）分别以点 B 和点 C 为圆心， BA,CA 为半径作弧,两弧相交于点 E；（2）作直线 AE 交 BC 边于点 D.所以线段 AD 就是所求作的高 .请回答：该尺规作图的依据是 答案：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

7、；三角形的高的定义 .10、 （2018 北京通州区一模）答案11. （2018 北京门头沟区初三综合练习）下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程 ab已知：线段 a、b，求作： 使得斜边 ,RtABCABbCa作法：如图（ ）作射线 ，截取线段 ； 1Pb（2）以 AB 为直径，作O；（3）以点 为圆心，a 的长为半径作弧交O 于 点 C；A（4）连接 AC、CB.即为所求作的直角三角形BC请回答：该尺规作图的依据是_答案等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义12 （2018 北京顺义区初三练习）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形” 小华的做法

8、如下：PCOAB（1）如图 1，任取一点 O，过点 O 作直线 l1，l 2；（2）如图 2，以 O 为圆心，任意长为半径作圆，与直线 l1，l 2 分别相交于点A、C，B、D；（3）如图 3，连接 AB、BC、CD、DA 四边形 ABCD 即为所求作的矩形图3图2图1 OOO AB CDl1l2l1l2 l2l1DCBA老师说：“小华的作法正确” 请回答：小华的作图依据是 答案：同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形 （或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形 等等）13 （2018 北京石景山区初三毕业考试）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了

9、一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在 的两边 ， 上分别取 ；AOBBOMN（2）利用两个三角板，分别过点 ， 画 ， 的垂线，MN交点为 ；P（3）画射线 O则射线 为 的平分线AB请写出小林的画法的依据 答案：（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；（2）全等三角形的对应角相等14 （2018 北京平谷区中考统一练习）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程已知：如图 1，MON求作：射线 OP，使它平分 MON作法：如 图 2，AAPNBOOBM（1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B；（2）连结 AB；（3）分

10、别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；12（4）作射线 OP所以，射线 OP 即为所求作的射线请回答：该尺规作图的依据是 答案答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合一15 （2018 北京海淀区第二学期练习）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知：O 和O 上一点 P求作：O 的切线 MN，使 MN 经过点 P作法：如图，（1）作射线 OP；（2）以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧交射线 OP 于 A，B 两点；（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于 长为12AB半径作弧，两弧交 于 M，N 两点；（4

11、）作直线 MN.则 MN 就是所求作的O 的切线PONMBAPO请回答：该尺规作图的依据是 答案与一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.16. （2018 北京怀柔区一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：小明的作法如下：请回答：该尺规作图的依据是_.已知：ABC.求作：ABC 的内切圆.BAC如图,(1)作ABC，ACB 的平分线 BE和 CF，两线相交于点 O;(2)过点 O作 ODBC，垂足为点 D; (3)点 O为圆心，OD 长为半径作O.所以，O 即为所求作的圆.DOCA

12、B EF答案到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两 边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.17.（2018 北京市朝阳区综合练习（一）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线 a 和直线外一点 P. 求作：直线 a 的垂线，使它经过 P.作法：如图，（1）在直线 a 上取一点 A, 连接 PA；（2）分别以点 A 和点 P 为圆心，大于 AP 的长为半径作弧，两弧相交于 B，C 两点，连接 BC 交 PA 于点 D；（3）以点 D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点 E，作直线 PE.所以

13、直线 PE 就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是 答案与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角18 （2018 北京市大兴区检测）下面是“求作AOB 的角平分线”的尺规作图过程已知：如图，钝角AOB.求作：AOB 的角平分线.作法：在 OA 和 OB 上，分别截取 OD、OE，使 ODOE；分别以 D、E 为圆心，大于 12DE的长为半径作弧, 在AOB 内，两弧交于点 C；作射线 OC.所以射线 OC 就是所求作的AOB 的角平分线.请回答：该尺规作图的依据是 答案 SSS 公理，全等三角形的对应角相等.19 （2018 北京东城区一模）已知正

14、方形 ABCD.求 作 ： 正 方 形 ABCD 的 外 接 圆 . 作 法 ： 如 图 ，（ 1） 分 别 连 接 AC， BD， 交 于 点 O ; (2) 以 点 O 为 圆 心 ， OA 长 为 半 径 作 . 即为所求作的圆.A请 回 答 ： 该 作 图 的 依 据 是_.答案正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义20 （ 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ） 下 面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程 A已知：A. 求作：一个角，使它等于A.作法：如图，（1）以点 A 为圆心，任意长为半径作A ，交A 的两边于 B，C 两点；（2）以点 C 为圆心， BC 长为半径作弧，与A

15、 交于点 D，作射线 AD所以CAD 就是所求作的角请回答：该尺规作图的依据是 答案在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 个 圆 心 角 、 两 条 弧 、 两 条 弦 中 的 一 组 量 相 等 ， 那 么 它 们 所 对 应的 其 余 各 组 量 都 分 别 相 等 或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等21、（2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；第二步：以 B 点为圆心，1 为半径作弧交半圆于点 C（如图）；第三步

16、：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点 M.请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点 M 表示的数为_.(第 16题图)DCBAxA B01 C5O答案：22、 （2018 北京朝阳区第一学期期末检测）16. 下面是“作顶角为 120的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是 .答案：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；等边三角形的判定；圆的定义.23、 （2018 北京房山区第一学期检测）下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.已知：O.求作：O 的内接正方形

17、.作法：如图,（1）过圆心 O 作直线 AC，与O 相交于 A，C 两点；（2）过点 O 作直线 BDAC，交O 于 B， D 两点；（3）连接 AB，BC ，CD，DA.四边形 ABCD 为所求.ACBOACBCDBAO已知：ABC，AB AC， A120.求作：ABC 的外接圆.作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作O.O 即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是 （写出两条）答案：24、 （2018 北京大兴第一学期期末）下面是“作出 所在的圆”的尺规作图过程已知： 求作 ： 所在的

18、圆.作法：如图，（1） 在 上任取三个点 D， C， E；（2） 连接 DC， EC； （3） 分别作 DC 和 EC 的垂直平分线， 两垂直平分线的交点为点 O. （4） 以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，所以O 即为所求作的 所在的圆 请回答：该尺规作图的依据是 答案： 不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.25、 （2018 北京丰台区第一学期期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接 OA，OB，可证OAP =OBP = 90，理由是 ；（2）直线 PA，PB 是O 的切

19、线，依据是 答案：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.26、 （2018 年北京海淀区第一学期期末）下面是“作一个 30角”的尺规作图过程O PCNPOAMB已知：O 和O 外一点 P求作：过点 P 的O 的切线作法：如图，（1）连接 OP；（2）分别以点 O 和点 P 为圆心 ，大于 OP 的长为12半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；（3）作直线 MN，交 OP 于点 C；（4）以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆 ，交O 于 A，B 两点；（5）作直线 PA，PB 直线 PA，PB 即为所求作O 的切线已知：平面内一点 A求作：A，使得A 30作

20、法：如图，（1）作射线 AB；（2）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径 作圆，与射线 AB 相交于点 C；（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与O 交于点 D，作射线 ADDAB 即为所求的角请回答：该尺规作图的依据是 答案：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .1sin2A30A27、 （2018 北京怀柔区第一学期期末）阅读下面材料：在数学

21、课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：DC BOA已知：OAB.求作：O，使O 与OAB 的边 AB 相切.AOB小明的作法如下：请回答：这样做的依据是 答案：圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为 90，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.28、 （2018 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程 .请回答：该尺规作图的依据是_.答案：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；两点确定一条直线；互相垂直的DCNM BOA如图，取线段 OB 的中点 M；以 M 为圆心，MO 为半径作M，与

22、边 AB 交于点 C；以 O 为圆心，OC 为半径作O ； 所以，O 就是所求作的圆.CMAOB已知：O.求作：O 的内接正方形.作法：如图，（1）作O 的直径 AB；（2）分别以点 A，点 B 为圆心，大于 AB 的长为12半径作弧，两弧分别相交于 M、N 两点；（3）作直线 MN 与O 交于 C、D 两点,顺次连接 A、C、B、D.即四边形 ACBD 为所求作的圆内接正方形.直径将圆四等分；（圆内接正多边形定义）29、 （2018 北京密云区初三（上）期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程. O P请回答，该作图的依据是_.以上作图的依据是:_.答案：经过半径外端且并且垂直

23、于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角。 （其它情况酌情给分）30、 （2018 北京平谷区第一学期期末）下面是“作一个角等于 30”的尺规作图过程 作法：如图，（1）作射线 AD；（2）在射线 AD 上任意取一点 O（点 O 不与点 A 重合） ； （3）以点 O 为圆心， OA 为半径作O，交射线 AD 于点 B；（4）以点 B 为圆心，OB 为半径作弧，交O 于点 C；（5）作射线 ACDAC 即为所求作的 30角DCPOO PDCOA B已知：P 为 外一点.A求作：经过 P 点的 的切线.作法：如图，（1）连结 OP；（2）以 OP 为直径作圆，与 交于 C、D 两点.O

24、A（3）作直线 PC、PD.则直线 PC、PD 就是所求作经过 P 点的 的切线.A请回答： 该尺规作图的依据是 答案：答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半31、 （2018 北京通州区第一学期期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小霞的作法如下：尺规作图：作已知角的角平分线已知：如图，已知 .BAC求作： 的角平分线 .P（1 ） 如图，在平面内任取一点 ；O（2 ） 以点 为圆心， 为半径作圆，交射线 于点 ，交射线 于点 ；OAABDACE（3 ） 连接 ，过点 作射线 垂直线段 ，交 于点 ；DEPEOP（4 ） 连接 .P所以射线

25、 为所求.AP老师说：“小霞的作法正确 ”请回答：小霞的作图依据是 答案：32、 （2018 北京燕山地区第一学期初四年级期末） 在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知： ACB 是 ABC 的一个内角求作： APB= ACB小路的作法如下：如图， PCBOA密封线内不要答题作线段 AB 的垂直平分线 m；作线段 BC 的垂直平分线 n，与直线 m 交于点 O； On以点 O 为圆心，OA 为半径作 ABC 的外接圆； A B在弧 ACB 上 取一点 P，连结 AP，BP m所以 APB= ACB老师说：“小路的作法正确 ”请回答 ： （1） 点 O 为 ABC 外接圆圆心 （即

26、OA=OB=OC） 的依据是 ；（2） APB= ACB 的依据是 答案 ：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）同弧所对的圆周角相等33 （2018 北京延庆区初三统一练习）已知：AOB 及边 OB 上一点 C求作：OCD，使得OCD=AOB 要求：1尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个即可）2请你写出作图的依据解：（1）作图（略） 2 分（3）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. 5 分 34、 （2018 北京东城第一学期期末）如图，在 RtABC 中，A =90，C= 30.将ABC绕点

27、B 顺时针旋转 60得到 , 其中点 , 分别是点 ， 的对应点.ABCCFEMBCAD(1) 作出 (要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；ABC(2)连接 ,求 的度数. 答案： 22解：（1）则 为所求作的三角形 -3 分ABC（2）由作图可知， 为等边三角形， A 60AB ，90 -5 分15A35、 （2018 北京怀柔区第一学期期末）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形 ABCD 对角线 BD 上取一点 F，使 .51=DB小明的做法如下：如图 应用尺规作图作出边 AD 的中点 M; 应用尺规作图作出 MD 的中点 E; 连接 EC，交 BD 于点 F.FEMBCAD所以 F

28、 点就是所求作的点. 请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.答案：23.解：正确. 1 分理由如下： 由做法可知 M 为 AD 的中点，E 为 MD 的中点， = . 2 分ADE41四边形 ABCD 是正方形，AD=BC，EDBC. 3 分DEFBFC = 4 分BCDEFAD= BC = =BFDCE41 = 5 分D536、 （2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）尺规作图：如图，AC 为O 的直径（1）求作：O 的内接正方形 ABCD （要求：不写作法，保留作图痕迹） ；（2）当直径 AC=4 时，求这个正方形的边长答案：（1）如图所示 2 分（2）解： 直径 AC =4，OA

29、 =OB=2. 3 分正方形 ABCD 为O 的内接正方形，AOB= 90， 4 分 5 分. 22AB37.（2018 北京市怀柔区初二期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.DBCOA已知：AOB.求作：一个角，使它等于AOB.作法：（1）作射线 ；OA（2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；（3）以 为圆心，OC 为半径作弧 ， CE交 于 ；A（4）以 为圆心，CD 为半径作弧，交弧 于 ；CED（5）过点 作射线 .OB所以 就是所求作的角AEO CDDCBAOBA请回答：这样作一个角等于已知角的理由是 .答案：全等三角形的对应角相等；有

30、三边分别相等的两个三角形全等；同圆（等圆）的半径相等.38.（2018 北京市顺义区八年级期末）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点 M，N ；12BC作直线 MN 交 AB 于点 D，连结 CD.请回答：若 CD=AC，A =50，则ACB 的度数为 .答案： 10539 （2018 北京市平谷区初二期末）阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线 l 和直线 l 外一点P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQl 于点 Q.”小艾的做法如下：（1）在直线 l 上任取点 A， 以 A 为圆心，AP 长为半径

31、画弧. （2）在直线 l 上任取点 B，以 B 为圆心，BP 长为半径画弧.（3）两弧分别交于点 P 和点 M （4）连接 PM，与直线 l 交于点 Q， 直线 PQ 即为所求 .老师表扬了小艾的作法是对的请回答：小艾这样作图的依据是_解： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线；（或 sss；全等三角形对应角相等；等腰三角形的三线合一）40 （2018 北京市西城区八年级期末）如图，在 RtABC 中，B =90（1）作出BAC 的平分线 AM；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若BAC 的平分线 AM 与 BC 交于点 D，且 BD= ，3AC=10，

32、则DAC 的面积为 答案：（1）如图所示；（2 分）（2）15 （1 分）三、解答题41.（2018 北京昌平区初二年级期末）如图，已知ABC.（1）画出ABC 的高 AD；（2）尺规作出ABC 的角平分线 BE（要求保留作图痕迹，不用证明）. 解:（1）画出ABC 的高 AD. 2 分（2）尺规作出ABC 的角平分线 BE. 5 分42 （2018 北京市朝阳区初二年级第一学期期末）请按要求完成下面三道小题（1）如图 1， 这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴ABC（尺规作图，保留作图痕迹） ；如果不是，请说明理由aA CBDEBCA（2）如图 2，已知线段 和点 ABC求作线段 （不要求尺规作图） ，使它与 成轴对称，且 与 是对称点，标明CDABAC对称轴 ，并简述画图过程 b（3）如图 3，任意位置的两条线段 ， ， 你能通过对其中一条线段作ABCD有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由（1）答案不唯一，如：作 的平分线所在直线图略2 分BAC（2）如图所示