2019年北京中考数学习题精选：解直角三角形及其应用

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1、一 、 选 择 题1、 （ 2019 北 京 海 淀 区 二 模 ） 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 高为 已知，冬至时北京的正午ACa日光入射角 约为 ，则立柱根部与圭表B26.5的冬至线的距离（即 的长）约为A Bsin.atan26.5C Dco26.5cos.答案：B二 、 填 空 题2、 （ 2018 北 京 丰 台 区 二 模 ） 如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，一辆小汽车车门宽 AO为 1.2 米，当车门打开角度AOB

2、为 40时，车门是否会碰到墙？ ；（填“是”或“否” ）请简述你的理由 （ 参 考 数 据 ： sin40 0.64， cos40 0.77， tan40 0.84）答案：否 ， 求 出 点 A 与 直 线 OB 的 距 离 d1， 通 过 计 算 可 得 d1 0.8，所以车门不会碰到墙3 （ 2018 北京市朝阳区一模）如图，某数学小组要测量校园内旗杆 AB 的高度，其中一名同学站在距离旗杆 12 米的点 C 处，测得旗杆顶端 A的仰角为 ，此时该同学的眼睛到地面的高 CD 为 1.5 米，则旗杆的高度为 （米）（用含 的式子表示）答案 1.5+12tan 4. （2018 北京房山区一模

3、）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 BC 为30m， 在 A 点测得 D 点的仰角EAD 为 45，在 B 点测得 D 点的仰角 CBD 为 60，则甲建筑物的高度为_ m，乙建筑物的高度为_ mAOBMNCB A光光光光 光光 光答案 ， ；303 303 305 （ 2018 北京石景山区初三毕业考试）某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m 的点 处，用高为 0.8m 的测角仪测得筒仓顶点BC 的仰角为 63，则筒仓 CD 的高约为_m（精确到 0.1m， ， ， ）sin630.89cos630.45ta

4、n631.9答案： 40.06.（2018 北京怀柔区第一学期期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点 E 处测得旗杆顶部 A 的仰角 为 45，旗杆底部 B 的俯角 为 60. 室外测量组测得 BF 的长度为5 米.则旗杆 AB=_米.答案： 5+5 . 37.（2018 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中 AB、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC 的长是 8 m，

5、则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高 度 h 是_m 答案：48.（2018 北京石景山区第一学期期末） “平改坡”D63CBA原原 原ABC3第 12 题是指在建筑结构 许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图根据图中的数据，如果要使坡面 BC 的坡度达到，那么立柱 AC 的长为 _米2.1:答案：2.59.（2018 北京顺义区初三上学期期末）在 中， ， ， ，ABC 456AB2C则 AC 的长为 答案： 2110.（2018 北京西城区第一学期期末）2017 年

6、9 月热播的专题片辉煌中国 圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图 1 所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图 2 的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD的中点为 E，最长的斜拉索 CE 长 577 m，记 CE 与大桥主梁所夹的锐角 为 ，那CED么用 CE 的长和 的三角函数表示主跨 BD 长的表达式应为 BD= (m) . 答案：11.（2018 北京燕山地区第一学期初四年级期末） 我国魏晋时

7、期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作 海岛算经中有一题 ： 今有望海岛， 立两表齐高三丈， 前后相去千步， 令后表与 前表参相直 从前表却行一百二十三步， 人目着地， 取望岛峰， 与表 末参合 从后表却行一百二十七步， 人目着地， 取望岛峰， 亦与表末 参合问岛高几何？译 文： 今 要 测 量 海 岛 上 一 座 山 峰 AH 的 高 度， 在 B 处和 D 处树立标杆 BC 和 DE，标杆的高都是 3 丈，B 和 D 两 处 相 隔 1000 步（1 丈 =10 尺，1 步 =6 尺 ） ， 并 且 AH，CB 和 DE 在同一平面内。从标杆 BC 后退 123 步的 F 处可以看到顶峰

8、A 和标杆顶端 C 在同一直线上；从标 杆 ED 后退 127 步的 G 处可以看到顶峰 A 和标 杆顶端 E 在同一直线上。则山峰 AH 的高度是 答案 ：1225 步12.（2018 北京朝阳区二模）2017 年 5 月 5 日我国自主研发的大型飞机 C919 成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有 m、 n 的式子表示 AB 的长为 答案： nm3三、解答题13.（2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点 用高D米的测角仪 测得塔顶 的仰角为 ，然后沿 方向前行 m 到达点1

9、.5DAM30DF40处，在 处测得塔顶 的仰角为 请根据他们的测量数据求此塔 的E6MF高 （结果精确到 m，参考数据： ， ， ）0.141.273.5.26解：由题意:AB=40，CF=1.5，MAC= 30，MBC =60， MAC=30，MBC =60，AMB=30AMB =MAB AB=MB=40 1 分在 Rt ACD 中， A BCD FEMA BCD FEM MCB=90，MBC =60， BMC =30 BC = =20 2 分12BM 3 分.，203C MC 34.6 4 分 MF= MC+CF=36.1. 5 分 塔 的高约为 36.1 米 5 分F14.（2018

10、北京大兴第一学期期末）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点 C 到地面的距离即 CD 的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1 ）在地面上选定点 A, B，使点 A，B，D 在同一条直线上，测量出 、 两点间的距离为 9 米；A（2 ）在教室窗户边框上的点 C 点处，分别测得点 ， 的B俯角ECA=35, ECB=45.请你根据以上数据计算出 的长. D（可能用到的参考数据：sin350.57 cos350.82 tan350.70）解：由题意可知：CDAD 于 D，ECB=CBD ，45ECA=CAD ，3AB 9.设 ，CDx 在 中，CDB90，CB

11、D45 ，RtB CD=BD= . 2 分 在 中，CDA 90 ，CAD 35，tA ， anCD 4 分t35x AB=9，AD=AB+ BD， .907x解得 21答：CD 的长为 21 米. 5 分15.（2018 北京丰台区第一学期期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点 A 处用高为 1.5m 的测角仪 AC 测得人民英雄纪念碑 MN 顶部 M的仰角为 35，然后在测量点 B 处用同样的测角仪 BD 测得人民英雄纪念碑 MN 顶部M 的仰角为 45，最后测量出 A，B 两点间的

12、距离为 15m，并且 N，B，A 三点在一条直线上，连接 CD 并延长交 MN 于点 E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑 MN 的高度. （参考数据：sin35 0.6，cos3 50.8，tan350.7）解：由题意得，四边形 ACDB，ACEN 为矩形，EN=AC=1.5.AB=CD=15.在 中，RtMEDAMED90，MDE45，EMDMDE45 .MEDE. 2 分设 MEDEx，则 ECx +15.在 中，MEC90，RtECAMCE35， ，tanM . .0.715x3x . 4 分3E . 6N人民英雄纪念碑 MN.的高度约为 36.5 米. 5 分16.（20

13、18 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，在 ABC 中， AB=AC，BDAC于点 DAC=10，cos A= ，求 BC 的长45OEABCDDCBA解：AC=AB，AB= 10，AC=10 1 分在 Rt ABD 中cos A= = ， DB45AD=8， 2 分DC=2. 3 分 . 4 分26A . 5 分10BCD17.（2018 年北京海淀区第一学期期末）如图，在ABC 中，B 为锐角， AB ，AC 5， ，求 BC 的长32sin3 CB A答案：DCBA18.（ 2018 北京怀柔区第一学期期末）如图，在ABC 中，tan A= ，B=45 ，AB=14. 求43BC

14、的长.解：过点 作 于点 ，如图. 1 分CDAB在 CDA 中，tan A= = Rt 43设 CD=3x，AD =4x. 2 分在 RtCDB 中，B=45tanB= = 1,sinB= = ,3 分DCCD2CD=3 x. BD=3x，BC= 3x=3 x.又AB=AD+BD =14，4 x+3x=14，解得 x=2.4 分BC =6 . 5 分219.（ 2018 北京怀柔区第一学期期末）已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD 是一条对角线，DBC=30 ，DBA=45，C=70.若 DC=a，AB= b, 请写出求 tanADB 的思路.（不用写出计算结果）CBA第 19 题图FE

15、ACBD解: (1)过 D 点作 DEBC 于点 E，可知 C DE 和DEB 都是直角三角形；1 分(2)由C=70，可知 sinC 的值，在 RtCDE 中，由 sinC 和 DC=a，可求 DE 的长；2 分(3)在 RtDEB 中, 由DBC =30，DE 的长，可求 BD 的长3 分(4)过 A 点作 AFBD 于点 F， 可知DFA 和 AFB 都是直角三角形； 4 分(5)在 RtAFB 中,由DBA=45，AB= b，可求 AF 和 BF 的长；(6)由 DB、BF 的长，可知 DF 的长；(7)在 RtDFA 中 ,由 ，可求 tanADB. 5 分DFA20.（ 2018

16、北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B 之间的距离 ，他在与小亭 A、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道 上某一观测点lM 处，测得亭 A 在点 M 的北偏东 60, 亭 B 在点 M 的北偏东 30,当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东l走 30 米时到达点 Q 处，此时亭 B 恰好位于点 Q 的正北方向.根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭 A、B 之间距离的思路.解 ： 根 据 题 意 补 全 图 形 如 下 : （ 1） 可 知 ， ， AMQ=30， BMQ=60 1

17、分60MN3 l光M BA（ 2） 在 Rt ADB 中，由 MN=60， AMQ=30， 根 据 三 角 函 数 可 得2 分203AN（3 ）过点 A 作 AKBQ 于 K，可得四边形 AKQN 是矩形，进而得出 AK=NQ=30， KQ=AN= 3 分203（ 4） 在 Rt BMQ 中，由 MQ=MN+NQ=90， BMQ=60， 根 据 三 角 函 数 可 得，进而可求出 BK= 4 分9B7（5 ） 在 RtAKB 中，根据勾股定理可以求出 AB 的 长 度 . 5 分21.（2018 北京密云区初三（上）期末）小明同学要测量学校的国旗杆 BD 的高度.如图，学校的国旗杆与教学楼之

18、间的距 AB=20m.小明在教学楼三层的窗口 C 测得国旗杆顶点 D 的仰角为 ，旗杆底部 B 的俯角为 .142（1）求 的大小.CD（2）求国旗杆 BD 的高度（结果精确到 1m.参考数 据:sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin140.24，cos140.97，tan140.25）答案： 解：（1）过 C 作 CE/AB 交 BD 于 E.由已知， 14,2DECB2 分36DCB（2）在 中， ，AB=20，RtE902Ban.42BE 8 3 分在 中， ，CE=AB=20，t 14DCEa0.5DCEl光KQNMBADCBADE 5 BD 13国旗杆 B

19、D 的高度约为 13 米.5 分22.（2018 北京密云区初三（上）期末）如图， 中， ，AB=2，BC=3，ABC60垂足为 D.求 AC 长. ADBC答案： 解： ，垂足为 DABC90D在 中， ,60,2ABsin,cosAB即 31,22解得： .3 分,DBC=3CD=2在 中， 5 分RtAC27ACD23.（ 2018 北京平谷区第一学期期末）缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题如图，当缆车经过点 A 到达点B 时，它走过了 700 米由 B 到达山顶 D 时，它又走过了 700 米已知线路 AB 与水平线的夹角 为 16，线路 BD 与水平线的夹

20、角 为 20，点 A 的海拔是126 米求山顶 D 的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可） 解：如图 ， .1D CBACEFHDBAG在 RtABC 中，ACB=90， =16，AB=700，由 sin ，可求 BC 的长 .2即 BC=ABsin =700sin16，在 RtBDE 中，DBE =90， =16，BD=AB=700，由 sin，可求 DE 的长 .3即 DE=BDsin=700sin20，由矩形性质，可知 EF=BC=700sin16， 4FH=AG=126从而，可求得 DH 的长 5即 DH=DE+EF+FH=700sin20+700sin16+12624.（2018

21、 北京石景山区第一学期期末）在 RtABC 中， ， 、 、 的90CABC对边分别为 、 、 若 ，sin ，求 和 abc2a31Abc答案： 解：在 Rt 中， ，BC90sin ， 1 分cA ， 3 分6sina . 5 分2422cb25.（2018 北京石景山区第一学期期末）如图，小明想测量山的高度他在点 B 处仰望山顶 A，测得仰角 ，再向山的方向（水平方向）行进 100m 至索道口点 C30BN处，在点 C 处仰望山顶 A，测得仰角 求这座山的高度（结果精确到45CN0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据： ， ）1.273.NM CBA解：过点 A 作 ADMN 于 D，

22、设山 AD 的高度为 x 米，1 分在 Rt ABD 中，ADB=90，ABN=30，BD= x， 2 分3在 Rt ACD 中，ADC=90 ，ACN=45，CD=AD =x，BC=BD-CD ， ，310解得：x=136.5 5 分即山的高度为 136.5 米；答：这座山的高 度约为 136.5 米26.（ 2018 北京顺义区初三上学期期末）如图所示，某小组同学为了测量对面楼 AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为 40 米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端 A 的仰角为 30，底端 B 的俯角为 10，请你根据以上数据，求出楼 AB 的高度 （精确到0.1 米）（参考数据：si

23、n100.17， cos100.98， t an100.18， 1.41 ， 1.73 ）23解：过点 D 作 DEAB 于点 E，NM DCB A在 RtADE 中，AED=90，tan1= ， 1=30， .1 分AEDAE=DE tan1=40tan30=40 40 1.73 23.1 2 分313在 Rt DEB 中，DEB =90，tan2= ， 2=10， .3 分BEBE=DE tan2=40tan10400.18=7.2 4 分AB=AE+BE 23.1+7.2=30.3 米 5 分27.（2018 北京通州区第一学期期末）如图，建筑物的高 为 17. 32 米.在其楼顶 ，测

24、CDC得旗杆底部 的俯角 为 ，旗杆顶部 的仰角 为 ，请你计算旗杆的高度.（B60A20， ， ， ，结果精确到 0.1 米）342.0sin34.tan94.20cos73.1答案：28.（2018 北京西城区第一学期期末）如图，线段 BC 长为 13，以 C 为顶点，CB 为一边的满足 锐角ABC 的顶点 A 落在 的另一边 l 上，且 满足 求5cos134sin5AABC 的高 BD 及 AB 边的长，并结合你的计算过程画出高 BD 及 AB 边 （图中提供的单位长度供补全图形使用）答案：29.（2018 北京燕山地区第一学期初四年级期末） 大 城 市 病 之 一 停 车难， 主 要

25、 表 现 在 居 住 停 车 位 不 足， 停 车 资 源 结 构 性失衡，中心城区供需差距大等等如图是王老师的车与墙平行停放的 平 面 示 意图， 汽 车 靠 墙 一 侧 OB 与 墙 MN 平 行 且 距 离 为 0.8 米， 已 知 小 汽 车 车 门 宽 AO 为 1.2 米， 当 车 门 打 开 角 度 AOB 为 40时，车 门 是 否会碰到墙？请说明理由。( 参考数据：sin 40 0.64，cos 40 0.77，tan 40 0.84)答案： 解：过点 A 作 OB 的垂线 AE，垂足是 E 因为 RtAEO, AO=1.2 ,AOE=40所以 Sin40=.2OEAE=si

26、n40OA0.641.2=0.7680.8.4汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，车门不会碰到墙答：车门是不会碰到墙的 .530.（2018 北京燕山地区第一学期初四年级期末） 如图，在 Rt ABC 中， C=90，点 D 是 BC 边的中点，BD=2，tan B=34（1）求 AD 和 AB 的长；（2）求 sin BAD 的值答案： 解：Rt ABC 中BC=CD=2,BC=4tanB= = . .14AC3AC=3 由勾股定理的，AB=5在 Rt ADC 中,.213,22D过点 D 作 DE ,垂足是 E，由 ACBEABS25DE=6 DE= .356在 Rt ADE 中, sin BAD= .513ADE401.2OBA